登录
5. 关于$x$的方程$\dfrac{2ax+3}{a-x}=\dfrac{3}{4}$的解为$x=1$，则$a=$（
A.1
B.3
C.$-1$
D.$-3$
D
）A.1
B.3
C.$-1$
D.$-3$
答案
D
解析
【分析】
根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知x=1是原分式方程的解，所以第一步先将x=1代入原方程，把原方程转化为只含未知数a的分式方程，再按照分式方程的解法求解，最后检验求出的a是否让原方程分母不为0，保证解有效。
【解析】
解：
∵x=1是方程$\dfrac{2ax+3}{a-x}=\dfrac{3}{4}$的解
∴将x=1代入原方程，可得：
$\dfrac{2a+3}{a-1}=\dfrac{3}{4}$
交叉相乘去分母，得：
$4(2a+3)=3(a-1)$
去括号：
$8a+12=3a-3$
移项合并同类项：
$8a-3a=-3-12$
$5a=-15$
系数化为1：
$a=-3$
检验：当a=-3，x=1时，原方程分母$a-x=-3-1=-4≠0$，符合分式方程分母不为0的要求，所以a=-3是有效解。
【答案】D
【知识点】
1. 方程解的定义
2. 分式方程求解
【点评】
本题是基础运算类题型，解题关键是利用方程解的含义，将已知解代入方程转化为参数方程求解，要注意解分式方程必须检验分母不为零，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知x=1是原分式方程的解，所以第一步先将x=1代入原方程，把原方程转化为只含未知数a的分式方程，再按照分式方程的解法求解，最后检验求出的a是否让原方程分母不为0，保证解有效。
【解析】
解：
∵x=1是方程$\dfrac{2ax+3}{a-x}=\dfrac{3}{4}$的解
∴将x=1代入原方程，可得：
$\dfrac{2a+3}{a-1}=\dfrac{3}{4}$
交叉相乘去分母，得：
$4(2a+3)=3(a-1)$
去括号：
$8a+12=3a-3$
移项合并同类项：
$8a-3a=-3-12$
$5a=-15$
系数化为1：
$a=-3$
检验：当a=-3，x=1时，原方程分母$a-x=-3-1=-4≠0$，符合分式方程分母不为0的要求，所以a=-3是有效解。
【答案】D
【知识点】
1. 方程解的定义
2. 分式方程求解
【点评】
本题是基础运算类题型，解题关键是利用方程解的含义，将已知解代入方程转化为参数方程求解，要注意解分式方程必须检验分母不为零，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
6. 若存在无数个 $ x $ 使得等式 $ \frac{5x - 7}{x^2 - 4x - 5} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 5} $ 成立,则 $ A,B $ 的值为 $\quad (\quad)$
A.$ A=3、B=-2 $
B.$ A=2、B=3 $
C.$ A=3、B=2 $
D.$ A=-2、B=3 $
A.$ A=3、B=-2 $
B.$ A=2、B=3 $
C.$ A=3、B=2 $
D.$ A=-2、B=3 $
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察等式右侧是两个异分母分式相加，先对右侧通分，通分后公分母恰好与左侧分母相同。要让等式对无数个使分母不为0的x都成立，左右两边的分子必须恒等，也就是两个多项式的同类项系数对应相等，据此列关于A、B的二元一次方程组，求解即可得到A、B的取值。
【解析】
1. 对等式右侧通分，公分母为$(x+1)(x-5)=x^2-4x-5$，和左侧分母一致：
$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 5}=\frac{A(x-5)+B(x+1)}{(x+1)(x-5)}=\frac{A(x-5)+B(x+1)}{x^2-4x-5}$
2. 由于等式对无数个x成立，因此左右两侧分子恒等：
$5x-7=A(x-5)+B(x+1)$
3. 展开并整理右侧式子：
右侧$=Ax-5A+Bx+B=(A+B)x+(-5A+B)$
4. 根据多项式恒等时同类项系数对应相等，列方程组：
$\begin{cases}A+B=5\\-5A+B=-7\end{cases}$
5. 解方程组：用第一个方程减第二个方程得$6A=12$，解得$A=2$；把$A=2$代入$A+B=5$，得$B=3$。
【答案】
B
【知识点】
分式恒等变形；多项式系数对应相等；二元一次方程组求解
【点评】
本题是分式运算的常考题型，解题核心是通过通分将异分母分式转化为同分母分式，再利用分子恒等的性质建立方程求解，掌握通分运算和多项式恒等性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察等式右侧是两个异分母分式相加，先对右侧通分，通分后公分母恰好与左侧分母相同。要让等式对无数个使分母不为0的x都成立，左右两边的分子必须恒等，也就是两个多项式的同类项系数对应相等，据此列关于A、B的二元一次方程组，求解即可得到A、B的取值。
【解析】
1. 对等式右侧通分，公分母为$(x+1)(x-5)=x^2-4x-5$，和左侧分母一致：
$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 5}=\frac{A(x-5)+B(x+1)}{(x+1)(x-5)}=\frac{A(x-5)+B(x+1)}{x^2-4x-5}$
2. 由于等式对无数个x成立，因此左右两侧分子恒等：
$5x-7=A(x-5)+B(x+1)$
3. 展开并整理右侧式子：
右侧$=Ax-5A+Bx+B=(A+B)x+(-5A+B)$
4. 根据多项式恒等时同类项系数对应相等，列方程组：
$\begin{cases}A+B=5\\-5A+B=-7\end{cases}$
5. 解方程组：用第一个方程减第二个方程得$6A=12$，解得$A=2$；把$A=2$代入$A+B=5$，得$B=3$。
【答案】
B
【知识点】
分式恒等变形；多项式系数对应相等；二元一次方程组求解
【点评】
本题是分式运算的常考题型，解题核心是通过通分将异分母分式转化为同分母分式，再利用分子恒等的性质建立方程求解，掌握通分运算和多项式恒等性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7. 在某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向车道，其中AB=16米，BC=8米.在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的1.2倍.设小刚通过AB的速度为x米/秒，则根据题意列方程为
（
A.$\frac{24}{x}+\frac{16}{1.2x}=10$
B.$\frac{16}{x}+\frac{24}{1.2x}=10$
C.$\frac{16}{x}+\frac{8}{1.2x}=10$
D.$\frac{8}{x}+\frac{16}{1.2x}=10$
（
C
）A.$\frac{24}{x}+\frac{16}{1.2x}=10$
B.$\frac{16}{x}+\frac{24}{1.2x}=10$
C.$\frac{16}{x}+\frac{8}{1.2x}=10$
D.$\frac{8}{x}+\frac{16}{1.2x}=10$
答案
C
解析
【分析】
本题是行程类列方程问题，核心思路是利用“时间=路程÷速度”的基本关系，结合“通过AB的时间+通过BC的时间=总用时10秒”的等量关系列方程。首先明确两段路程的长度和对应速度：AB段路程16米，速度为x米/秒；BC段路程8米，速度是AB速度的1.2倍即1.2x米/秒，分别计算两段路程的用时后相加等于总用时即可得到方程。
【解析】
根据行程问题基本公式$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$分步推导：
1. 计算AB段用时：AB路程为16米，通行速度为x米/秒，因此通过AB的时间为$\frac{16}{x}$秒；
2. 计算BC段用时：BC路程为8米，通行速度是AB速度的1.2倍，即1.2x米/秒，因此通过BC的时间为$\frac{8}{1.2x}$秒；
3. 已知通过AC的总用时为10秒，即两段路程的用时之和为10秒，可列方程：$\frac{16}{x}+\frac{8}{1.2x}=10$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题公式，列分式方程
【点评】
本题是行程类列方程的基础题型，解题关键是找准不同路段对应的路程、速度，再结合总时间的等量关系列式，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题是行程类列方程问题，核心思路是利用“时间=路程÷速度”的基本关系，结合“通过AB的时间+通过BC的时间=总用时10秒”的等量关系列方程。首先明确两段路程的长度和对应速度：AB段路程16米，速度为x米/秒；BC段路程8米，速度是AB速度的1.2倍即1.2x米/秒，分别计算两段路程的用时后相加等于总用时即可得到方程。
【解析】
根据行程问题基本公式$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$分步推导：
1. 计算AB段用时：AB路程为16米，通行速度为x米/秒，因此通过AB的时间为$\frac{16}{x}$秒；
2. 计算BC段用时：BC路程为8米，通行速度是AB速度的1.2倍，即1.2x米/秒，因此通过BC的时间为$\frac{8}{1.2x}$秒；
3. 已知通过AC的总用时为10秒，即两段路程的用时之和为10秒，可列方程：$\frac{16}{x}+\frac{8}{1.2x}=10$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题公式，列分式方程
【点评】
本题是行程类列方程的基础题型，解题关键是找准不同路段对应的路程、速度，再结合总时间的等量关系列式，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
8. 若$ a $为正整数，下列关于分式$\frac{2a - 2}{a^2 - 1}$的值的结论正确的是（
A.有最大值是 2
B.有最大值是$\frac{2}{3}$
C.有最小值是 1
D.有最小值，没有最大值
B
）A.有最大值是 2
B.有最大值是$\frac{2}{3}$
C.有最小值是 1
D.有最小值，没有最大值
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要考虑分式有意义的条件，即分母不为0，先确定正整数a的取值范围；再对分式的分子分母因式分解后约分，化简分式；最后结合a的取值范围分析分式的最值情况，即可判断正确选项。
【解析】
要使分式$\frac{2a - 2}{a^2 - 1}$有意义，则分母不能为0，即：
$a^2 - 1 ≠ 0$，解得$a ≠ \pm 1$
已知a为正整数，因此a的取值为大于等于2的正整数（$a≥2$，且a为整数）。
对分式化简：
$\frac{2a - 2}{a^2 - 1} = \frac{2(a-1)}{(a-1)(a+1)}$
因为$a≠1$，所以可以约去公因式$(a-1)$，得化简结果：$\frac{2}{a+1}$
分析取值：
因为$a≥2$且a为正整数，所以$a+1≥3$，因此$\frac{2}{a+1} ≤ \frac{2}{3}$；
当a增大时，$a+1$随之增大，$\frac{2}{a+1}$的值会逐渐减小，无限趋近于0，没有最小值。
因此该分式有最大值$\frac{2}{3}$，无最小值，只有B选项符合结论。
【答案】
B
【知识点】
分式有意义的条件、分式的约分、分式最值分析
【点评】
本题易错点是容易忽略分式有意义的前提，错误将a=1代入计算得到错误结论，解题时需先确定字母的合法取值范围，再化简分析最值，是分式部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要考虑分式有意义的条件，即分母不为0，先确定正整数a的取值范围；再对分式的分子分母因式分解后约分，化简分式；最后结合a的取值范围分析分式的最值情况，即可判断正确选项。
【解析】
要使分式$\frac{2a - 2}{a^2 - 1}$有意义，则分母不能为0，即：
$a^2 - 1 ≠ 0$，解得$a ≠ \pm 1$
已知a为正整数，因此a的取值为大于等于2的正整数（$a≥2$，且a为整数）。
对分式化简：
$\frac{2a - 2}{a^2 - 1} = \frac{2(a-1)}{(a-1)(a+1)}$
因为$a≠1$，所以可以约去公因式$(a-1)$，得化简结果：$\frac{2}{a+1}$
分析取值：
因为$a≥2$且a为正整数，所以$a+1≥3$，因此$\frac{2}{a+1} ≤ \frac{2}{3}$；
当a增大时，$a+1$随之增大，$\frac{2}{a+1}$的值会逐渐减小，无限趋近于0，没有最小值。
因此该分式有最大值$\frac{2}{3}$，无最小值，只有B选项符合结论。
【答案】
B
【知识点】
分式有意义的条件、分式的约分、分式最值分析
【点评】
本题易错点是容易忽略分式有意义的前提，错误将a=1代入计算得到错误结论，解题时需先确定字母的合法取值范围，再化简分析最值，是分式部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
三、计算题。
解下列分式方程：
1. $\dfrac{4+x}{x-1} - 5 = \dfrac{2x}{x-1}$；
2. $\dfrac{2}{x-3} = \dfrac{3}{x}$。
解下列分式方程：
1. $\dfrac{4+x}{x-1} - 5 = \dfrac{2x}{x-1}$；
2. $\dfrac{2}{x-3} = \dfrac{3}{x}$。
答案
1. $x=\dfrac{3}{2}$. 2. $x=9$.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，常规解题步骤为：1. 确定各分式的最简公分母，明确分母不为0的限制条件；2. 方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；3. 按照整式方程的解法求解；4. 验根：将解得的根代入最简公分母，若公分母不为0，则为原方程的解，若公分母为0则是增根，需要舍去。
【解析】
1. 解方程 $\dfrac{4+x}{x-1} - 5 = \dfrac{2x}{x-1}$：
该方程最简公分母为 $x-1$，且$x≠1$。
方程两边同时乘$(x-1)$，得：
$4+x -5(x-1) = 2x$
去括号，得：$4+x-5x+5=2x$
合并同类项，得：$9-4x=2x$
移项整理，得：$6x=9$
系数化为1，得：$x=\dfrac{3}{2}$
检验：将$x=\dfrac{3}{2}$代入$x-1$，得$\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}≠0$，因此$x=\dfrac{3}{2}$是原方程的解。
2. 解方程 $\dfrac{2}{x-3} = \dfrac{3}{x}$：
该方程最简公分母为 $x(x-3)$，且$x≠0,x≠3$。
方程两边同时乘$x(x-3)$，得：
$2x=3(x-3)$
去括号，得：$2x=3x-9$
移项整理，得：$x=9$
检验：将$x=9$代入$x(x-3)$，得$9×(9-3)=54≠0$，因此$x=9$是原方程的解。
【答案】
1. $x=\dfrac{3}{2}$；2. $x=9$
【知识点】
分式方程的解法，整式方程求解，分式方程验根
【点评】
这两道是分式方程的基础典型题，重点考察解分式方程的常规步骤，解题时要注意去分母不要漏乘常数项，同时必须养成验根的习惯，避免增根导致答案错误。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，常规解题步骤为：1. 确定各分式的最简公分母，明确分母不为0的限制条件；2. 方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；3. 按照整式方程的解法求解；4. 验根：将解得的根代入最简公分母，若公分母不为0，则为原方程的解，若公分母为0则是增根，需要舍去。
【解析】
1. 解方程 $\dfrac{4+x}{x-1} - 5 = \dfrac{2x}{x-1}$：
该方程最简公分母为 $x-1$，且$x≠1$。
方程两边同时乘$(x-1)$，得：
$4+x -5(x-1) = 2x$
去括号，得：$4+x-5x+5=2x$
合并同类项，得：$9-4x=2x$
移项整理，得：$6x=9$
系数化为1，得：$x=\dfrac{3}{2}$
检验：将$x=\dfrac{3}{2}$代入$x-1$，得$\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}≠0$，因此$x=\dfrac{3}{2}$是原方程的解。
2. 解方程 $\dfrac{2}{x-3} = \dfrac{3}{x}$：
该方程最简公分母为 $x(x-3)$，且$x≠0,x≠3$。
方程两边同时乘$x(x-3)$，得：
$2x=3(x-3)$
去括号，得：$2x=3x-9$
移项整理，得：$x=9$
检验：将$x=9$代入$x(x-3)$，得$9×(9-3)=54≠0$，因此$x=9$是原方程的解。
【答案】
1. $x=\dfrac{3}{2}$；2. $x=9$
【知识点】
分式方程的解法，整式方程求解，分式方程验根
【点评】
这两道是分式方程的基础典型题，重点考察解分式方程的常规步骤，解题时要注意去分母不要漏乘常数项，同时必须养成验根的习惯，避免增根导致答案错误。
【难度系数】
0.8
1. A,B两地的距离是80千米,一辆公共汽车从A地驶出3小时后,一辆小汽车也从A地出发,它的速度是公共汽车的3倍,已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地,求两车的速度.
答案
公共汽车和小汽车的速度分别是 20 千米/时,60 千米/时.
解析
【分析】
这是典型的行程问题，核心公式为路程=速度×时间，解题思路如下：
1. 先明确已知量：A、B两地路程固定为80千米，小汽车速度是公共汽车的3倍，公共汽车先出发3小时，最终小汽车比公共汽车晚20分钟到达B地。
2. 找等量关系：公共汽车行驶全程的时间减去小汽车行驶全程的时间，等于公共汽车先出发的3小时减去小汽车晚到的20分钟（注意需先将20分钟换算为1/3小时，统一时间单位）。
3. 设公共汽车速度为未知数，可表示出小汽车速度，再结合时间=路程÷速度代入等量关系列分式方程求解即可，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：设公共汽车的速度为$x$千米/时，则小汽车的速度为$3x$千米/时，
20分钟$=\frac{1}{3}$小时，根据题意列方程得：
$\frac{80}{x} - \frac{80}{3x} = 3 - \frac{1}{3}$
方程左边通分计算得：$\frac{240 - 80}{3x} = \frac{160}{3x}$
方程右边计算得：$\frac{8}{3}$
因此方程化简为：$\frac{160}{3x} = \frac{8}{3}$
两边同时乘$3x$去分母得：$160 = 8x$
解得：$x = 20$
检验：当$x=20$时，$3x=60≠0$，所以$x=20$是原方程的解，且符合实际行驶的速度要求。
则小汽车的速度为$3×20=60$（千米/时）
【答案】
公共汽车的速度是20千米/时，小汽车的速度是60千米/时。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题公式
3. 单位换算
【点评】
本题是行程类应用题的常考题型，解题的关键是准确梳理两车行驶的时间差，注意运算前统一时间单位，解分式方程后要检验根是否满足实际意义，避免出现增根或不符合常识的解。
【难度系数】
0.7
这是典型的行程问题，核心公式为路程=速度×时间，解题思路如下：
1. 先明确已知量：A、B两地路程固定为80千米，小汽车速度是公共汽车的3倍，公共汽车先出发3小时，最终小汽车比公共汽车晚20分钟到达B地。
2. 找等量关系：公共汽车行驶全程的时间减去小汽车行驶全程的时间，等于公共汽车先出发的3小时减去小汽车晚到的20分钟（注意需先将20分钟换算为1/3小时，统一时间单位）。
3. 设公共汽车速度为未知数，可表示出小汽车速度，再结合时间=路程÷速度代入等量关系列分式方程求解即可，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：设公共汽车的速度为$x$千米/时，则小汽车的速度为$3x$千米/时，
20分钟$=\frac{1}{3}$小时，根据题意列方程得：
$\frac{80}{x} - \frac{80}{3x} = 3 - \frac{1}{3}$
方程左边通分计算得：$\frac{240 - 80}{3x} = \frac{160}{3x}$
方程右边计算得：$\frac{8}{3}$
因此方程化简为：$\frac{160}{3x} = \frac{8}{3}$
两边同时乘$3x$去分母得：$160 = 8x$
解得：$x = 20$
检验：当$x=20$时，$3x=60≠0$，所以$x=20$是原方程的解，且符合实际行驶的速度要求。
则小汽车的速度为$3×20=60$（千米/时）
【答案】
公共汽车的速度是20千米/时，小汽车的速度是60千米/时。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题公式
3. 单位换算
【点评】
本题是行程类应用题的常考题型，解题的关键是准确梳理两车行驶的时间差，注意运算前统一时间单位，解分式方程后要检验根是否满足实际意义，避免出现增根或不符合常识的解。
【难度系数】
0.7
2. 某商场经理预测一种应季羊毛衫能在市场上畅销，就用5 000元购进一批这种羊毛衫，上市后果然供不应求.于是经理又用11 000元购进了第二批这种羊毛衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了5元.求该商场第一批羊毛衫每件的进价.
答案
该商场第一批羊毛衫每件的进价是 50 元.
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题时先明确题目中的两个核心等量关系：①第二批羊毛衫的购进数量=第一批购进数量×2；②第二批每件进价比第一批贵5元。我们可以设第一批羊毛衫每件的进价为未知数，用含未知数的式子分别表示出两批羊毛衫的购进数量，再根据数量的倍数关系列方程求解，最后注意分式方程需要检验解是否符合要求。
【解析】
解：设该商场第一批羊毛衫每件的进价是$ x $元，则第二批羊毛衫每件的进价是$ (x+5) $元。
根据“第二批所购数量是第一批购进量的2倍”，结合“数量=总价÷单价”，列方程得：
$ 2× \dfrac{5000}{x} = \dfrac{11000}{x+5} $
化简得：$ \dfrac{10000}{x} = \dfrac{11000}{x+5} $
交叉相乘去分母得：$ 10000(x+5) = 11000x $
展开得：$ 10000x + 50000 = 11000x $
移项合并同类项得：$ 1000x = 50000 $
解得：$ x = 50 $
检验：当$ x=50 $时，$ x(x+5)=50× 55=2750≠ 0 $，所以$ x=50 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
该商场第一批羊毛衫每件的进价是 50 元。
【知识点】
分式方程的应用、单价数量总价关系、分式方程检验
【点评】
本题是常见的销售类应用题，解题核心是找准数量间的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验，既要排除增根，也要确认解符合实际场景。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，解题时先明确题目中的两个核心等量关系：①第二批羊毛衫的购进数量=第一批购进数量×2；②第二批每件进价比第一批贵5元。我们可以设第一批羊毛衫每件的进价为未知数，用含未知数的式子分别表示出两批羊毛衫的购进数量，再根据数量的倍数关系列方程求解，最后注意分式方程需要检验解是否符合要求。
【解析】
解：设该商场第一批羊毛衫每件的进价是$ x $元，则第二批羊毛衫每件的进价是$ (x+5) $元。
根据“第二批所购数量是第一批购进量的2倍”，结合“数量=总价÷单价”，列方程得：
$ 2× \dfrac{5000}{x} = \dfrac{11000}{x+5} $
化简得：$ \dfrac{10000}{x} = \dfrac{11000}{x+5} $
交叉相乘去分母得：$ 10000(x+5) = 11000x $
展开得：$ 10000x + 50000 = 11000x $
移项合并同类项得：$ 1000x = 50000 $
解得：$ x = 50 $
检验：当$ x=50 $时，$ x(x+5)=50× 55=2750≠ 0 $，所以$ x=50 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
该商场第一批羊毛衫每件的进价是 50 元。
【知识点】
分式方程的应用、单价数量总价关系、分式方程检验
【点评】
本题是常见的销售类应用题，解题核心是找准数量间的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验，既要排除增根，也要确认解符合实际场景。
【难度系数】
0.7
