20. 阅读下列材料，回答下列问题：平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图①，若$AB// CD$，点P在AB、CD之间，若$∠ BPD=80°$，$∠ B=58°$，求$∠ D$的度数；
(2)在图①中，将直线AB绕点B逆时针旋转一定角度交直线CD于点Q，如图②，请写出$∠ BPD$、$∠ B$、$∠ D$、$∠ BQD$之间的数量关系并说明理由；
(3)利用(2)的结论，求图③中$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F+∠ G$的度数.

20. (1)$∠ D=22°$
(2)$∠ BPD=∠ B+∠ BQD+∠ D$，理由略。
(3)如图，设AC与BG交于点H，
由(2)中的结论可得$∠ AHB=∠ A+∠ B+∠ F$，

即$∠ GHC=∠ A+∠ B+∠ F$，
又$\because$五边形CDEGH中，$∠ C+∠ D+∠ E+∠ G+∠ GHC=540°$，
$\therefore ∠ C+∠ D+∠ E+∠ G+∠ A+∠ B+∠ F=540°$。

【分析】
(1) 这是平行线间的拐点问题，过拐点P作AB的平行线，利用平行线内错角相等的性质，可将∠BPD拆分为∠B与∠D的和，代入已知角度即可计算出∠D的度数。
(2) 要推导四个角的数量关系，可延长BP交CD于点E，借助三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，先得到∠BED和∠B、∠BQD的关系，再得到∠BPD和∠BED、∠D的关系，等量代换即可得到结论。
(3) 直接利用(2)的结论，把∠A、∠B、∠F的和转化为五边形CDEGH的一个内角，再结合五边形内角和公式即可求出所有角的总度数。
【解析】
(1) 过点P作$PE// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore PE// AB// CD$，
由平行线内错角相等，可得$∠ B=∠ BPE$，$∠ D=∠ DPE$，
$\therefore ∠ BPD=∠ BPE+∠ DPE=∠ B+∠ D$，
已知$∠ BPD=80°$，$∠ B=58°$，
$\therefore ∠ D=∠ BPD-∠ B=80°-58°=22°$。
(2) 数量关系：$\boldsymbol{∠ BPD=∠ B+∠ BQD+∠ D}$。
理由：延长BP交CD于点E，
$\because ∠ BED$是$△ BQE$的外角，$\therefore ∠ BED=∠ B+∠ BQD$，
又$\because ∠ BPD$是$△ PDE$的外角，$\therefore ∠ BPD=∠ D+∠ BED$，
将$∠ BED=∠ B+∠ BQD$代入，可得$∠ BPD=∠ B+∠ BQD+∠ D$。
(3) 设AC与BG交于点H，

由(2)的结论可得$∠ AHB=∠ A+∠ B+∠ F$，
$\because ∠ AHB$和$∠ GHC$是对顶角，$\therefore ∠ GHC=∠ AHB=∠ A+∠ B+∠ F$，
五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，在五边形CDEGH中：
$∠ C+∠ D+∠ E+∠ G+∠ GHC=540°$，
将$∠ GHC$替换为$∠ A+∠ B+∠ F$，可得：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F+∠ G=540°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ D=22°}$
(2) $\boldsymbol{∠ BPD=∠ B+∠ BQD+∠ D}$
(3) 如图，设AC与BG交于点H，

由(2)中的结论可得$∠ AHB=∠ A+∠ B+∠ F$，
即$∠ GHC=∠ A+∠ B+∠ F$，
又$\because$五边形CDEGH中，$∠ C+∠ D+∠ E+∠ G+∠ GHC=540°$，
$\therefore ∠ C+∠ D+∠ E+∠ G+∠ A+∠ B+∠ F=540°$，即$\boldsymbol{∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°}$。
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质、多边形内角和
【点评】
本题是几何递进探究类题目，从基础平行线性质应用到模型推导，再到模型拓展应用，逻辑连贯，解题核心是运用转化思想实现角的等量代换，有助于提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6