18. 如图，直线CD与直线AB相交于点C.
(1)按要求画图.
①过点P画$PQ// CD$，交AB于点Q；
②过点P画$PR⊥ CD$，垂足为点R.
(2)在(1)所画的图形中，按要求回答下列问题.
①点P到直线CD的距离是线段的长；
②写出$∠ PQB$与$∠ DCA$的数量关系，并说明理由.

18. (1)略 (2)①$PR$
②$∠ PQB+∠ DCA=180°$，理由略。

【分析】
本题分为作图和性质应用两部分。作图部分：①画平行线时，可利用“平移三角板”的方法，保证同位角相等即可得到平行关系；②画垂线时，利用直角三角板的直角，保证所作线与CD夹角为90°，且过点P。性质应用部分：①回忆点到直线距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可找到对应线段；②推导角的数量关系时，先结合平行线的性质找到与∠PQB相等的角，再结合邻补角的和为180°，即可推出两个角的关系。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 画$PQ// CD$：将三角板的一条边与直线CD重合，用直尺紧贴三角板的另一条边，沿直尺平移三角板，当三角板与CD重合的边经过点P时，沿该边画直线，交AB于点Q，PQ即为所求；
② 画$PR⊥ CD$：将三角板的一条直角边与直线CD重合，沿CD移动三角板，当另一条直角边经过点P时，沿该直角边画直线，交CD于点R，R为垂足，PR即为所求。
(2) ① 根据点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。这里PR是点P到CD的垂线段，因此点P到直线CD的距离是线段PR的长。
② 数量关系：$∠ PQB + ∠ DCA = 180°$。
理由：$\because PQ// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ PQB = ∠ DCB$；
又$\because ∠ DCB$和$∠ DCA$是邻补角，$\therefore ∠ DCB + ∠ DCA = 180°$；
通过等量代换可得$∠ PQB + ∠ DCA = 180°$。
【答案】
(1) 画图见解析；
(2) ① $PR$；② $∠ PQB+∠ DCA=180°$
【知识点】
平行线的性质；点到直线的距离；邻补角的定义
【点评】
本题侧重考察几何基本作图能力和基础几何性质的应用，属于常规基础题，需要熟练掌握平行线、垂线的作图方法，准确理解点到直线距离的概念，能灵活运用平行线性质和邻补角的性质推导角的数量关系。
【难度系数】
0.8

19. 小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：

(1)如图①，已知$AB// CD$，点$E$为$AB$、$CD$之间一点，连结$BE$、$DE$，得到$∠ BED$. 请猜想$∠ BED$与$∠ B$、$∠ D$之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，已知$AB// CD$，点$E$为$AB$、$CD$之间一点，$∠ ABE$和$∠ CDE$的平分线相交于点$F$，若$∠ BED=70°$，求$∠ BFD$的度数；
(3)小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图③，已知：$AB// CD$，点$E$的位置移到$AB$上方，点$F$在$EB$延长线上，且$BG$平分$∠ ABF$与$∠ CDE$的平分线$DG$相交于点$G$，请直接写出$∠ G$与$∠ E$之间的数量关系.

19. (1)$∠ BED=∠ B+∠ D$，理由略。
(2)$BFD=145°$。
(3)$2∠ G=∠ E+180°$。

【分析】
(1) 本题属于平行线间的基础拐点问题，解题核心是过拐点E作AB的平行线，利用平行公理的推论得到该线也平行于CD，再结合两直线平行内错角相等的性质，将∠BED拆分为两个分别与∠B、∠D相等的角，即可得到三者的数量关系。
(2) 先过点E作AB的平行线，利用两直线平行同旁内角互补，推导出∠ABE、∠CDE与∠BED的和为360°，代入∠BED的度数求出∠ABE与∠CDE的和；再根据角平分线的定义求出两个角的一半之和，最后过点F作AB的平行线，利用内错角相等将∠BFD转化为两个半角的和，即可算出结果。
(3) 可通过设角平分线分出的角为参数，过G、E分别作AB的平行线，利用平行线的性质用参数分别表示出∠G和∠E，消去参数即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 猜想：$∠ BED=∠ B+∠ D$，理由如下：
过点$E$作$EF// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\because EF// AB$，$\therefore ∠ B=∠ BEF$（两直线平行，内错角相等），
$\because EF// CD$，$\therefore ∠ D=∠ DEF$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ BED=∠ BEF+∠ DEF=∠ B+∠ D$。
(2) 过点$E$作$EM// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore EM// CD$，
$\therefore ∠ ABE+∠ BEM=180°$，$∠ CDE+∠ DEM=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
两式相加得：$∠ ABE+∠ CDE+∠ BEM+∠ DEM=360°$，即$∠ ABE+∠ CDE+∠ BED=360°$，
已知$∠ BED=70°$，代入得$∠ ABE+∠ CDE=360°-70°=290°$。
$\because BF$平分$∠ ABE$，$DF$平分$∠ CDE$，
$\therefore ∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABE$，$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDE$，
$\therefore ∠ ABF+∠ CDF=\frac{1}{2}(∠ ABE+∠ CDE)=\frac{1}{2}×290°=145°$。
过点$F$作$FN// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore FN// CD$，
$\therefore ∠ ABF=∠ BFN$，$∠ CDF=∠ DFN$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ BFD=∠ BFN+∠ DFN=∠ ABF+∠ CDF=145°$。
(3) 设$∠ ABG=∠ GBF=x$，$∠ CDG=∠ GDE=y$，
$\because BG$平分$∠ ABF$，$\therefore ∠ ABF=2x$，$∠ ABE=180°-2x$（平角的定义），
$\because DG$平分$∠ CDE$，$\therefore ∠ CDE=2y$。
过点$G$作$GH// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore GH// CD$，
$\therefore ∠ BGH=∠ ABG=x$，$∠ DGH=∠ CDG=y$，
$\therefore ∠ G=∠ DGH-∠ BGH=y-x$。
过点$E$作$EI// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore EI// CD$，
$\therefore ∠ BEI=∠ ABE=180°-2x$，$∠ DEI=∠ CDE=2y$，
$\therefore ∠ E=∠ DEI-∠ BEI=2y-(180°-2x)=2(y-x)-180°$，
将$∠ G=y-x$代入得：$∠ E=2∠ G-180°$，整理得$2∠ G=∠ E+180°$。
【答案】
(1) $∠ BED=∠ B+∠ D$
(2) $∠ BFD=145°$
(3) $2∠ G=∠ E+180°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；拐点辅助线作法
【点评】
本题是平行线性质的典型综合应用题，核心解题方法是过拐点作已知平行线的平行线，将未知角转化为平行线间的内错角或同旁内角，结合角平分线的性质进行角度推导，既考查了基础性质的应用，也锻炼了辅助线构造和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6