21. 已知$ON ⊥ GM$于点$O$，直线$CD$交$ON$于点$B$，点$A$在射线$OM$上.
(1)如图①，若$CD ⊥ AB$于点$B$，$AE$平分$∠ OAB$，交$CD$于点$E$，交$ON$于点$F$，求证：$∠ BEF=∠ BFE$；
(2)如图②，若$CD$平分$∠ NBA$，$OE$平分$∠ BOG$交$CD$于点$E$，$∠ OAB=58°$，则$∠ OEB$的度数为；
(3)如图③，若$CD$平分$∠ NBA$，$OE$平分$∠ BOG$交$CD$于点$E$，$BF$平分$∠ OBA$交$OE$反向延长线于点$F$，在$△ BEF$中，如果一个角是另一个角的3倍，请求出$∠ BAO$的度数.

21. (1)证明略 (2)$61°$
(3)解：$\because CD$平分$∠ NBA$，$BF$平分$∠ OBA$，
$\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABN$，$∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABO$。
$\therefore ∠ CBF = ∠ ABC + ∠ ABF =\frac{1}{2}(∠ ABN+∠ ABO)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
$\therefore ∠ EBF=180°-∠ CBF=90°$。
$\therefore ∠ F+∠ BEF=90°$。
$\because OE$平分$∠ BOG$，
$\therefore ∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOG=45°$。
$\because ∠ BOE + ∠ BOF = 180°$，$∠ F + ∠ OBF+∠ BOF=180°$，
$\therefore ∠ BOE=∠ F+∠ OBF=45°$。
$\therefore ∠ F＜45°$。
$\therefore ∠ BEF＞45°$。
当$∠ EBF=3∠ F$时，$∠ F=30°$，
$\therefore ∠ BEF=60°$。
$\therefore ∠ OBE=180°-∠ BOE-∠ BEF=75°$。
$\therefore ∠ OBF=∠ EBF-∠ OBE=15°$。
$\therefore ∠ ABO=2∠ OBF=30°$。
$\therefore ∠ BAO=90°-∠ ABO=60°$。
当$∠ BEF=3∠ F$时，
$\because ∠ BEF+∠ F=90°$，
$\therefore ∠ F=22.5°$，$∠ BEF=67.5°$。
$\therefore ∠ OBE=180°-∠ BOE-∠ BEF=67.5°$。
$\therefore ∠ OBF=∠ EBF-∠ OBE=22.5°$。
$\therefore ∠ ABO=2∠ OBF=45°$。
$\therefore ∠ BAO=90°-∠ ABO=45°$。

【分析】
(1) 要证∠BEF=∠BFE，可结合垂直的性质得到直角，利用同角的余角相等转化角的关系：首先由ON⊥GM、CD⊥AB得两个直角，根据直角三角形两锐角互余，分别得到∠OAF与∠AFO互余、∠BAE与∠BEF互余；再结合AE平分∠OAB得∠OAF=∠BAE，推出∠AFO=∠BEF，最后结合对顶角相等即可得证。
(2) 求∠OEB的度数，先由OE平分90°的∠BOG得∠BOE=45°，再计算出Rt△AOB中∠ABO的度数，结合平角定义和角平分线性质求出△BOE中∠EBO的度数，最后利用三角形内角和即可算出结果。
(3) 首先结合角平分线性质推导得∠EBF=90°，即△BEF是直角三角形，两锐角和为90°；再结合∠BOE=45°推出∠F＜45°、∠BEF＞45°，分两种情况讨论：①直角∠EBF是∠F的3倍；②锐角∠BEF是∠F的3倍，分别计算即可得到∠BAO的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because ON ⊥ GM$，$CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ AOB=∠ ABE=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，$∠ OAF + ∠ AFO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE + ∠ BEF=90°$，
$\because AE$平分$∠ OAB$，
$\therefore ∠ OAF=∠ BAE$，
$\therefore ∠ AFO=∠ BEF$，
又$\because ∠ AFO=∠ BFE$（对顶角相等），
$\therefore ∠ BEF=∠ BFE$。
(2) 解：
$\because ON ⊥ GM$，
$\therefore ∠ BOG=∠ AOB=90°$，
$\because OE$平分$∠ BOG$，
$\therefore ∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOG=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ OAB=58°$，
$\therefore ∠ ABO=90°-∠ OAB=32°$，
$\because ∠ ABN + ∠ ABO=180°$，
$\therefore ∠ ABN=180°-32°=148°$，
$\because CD$平分$∠ ABN$，
$\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABN=74°$，
$\because D、B、C$共线，
$\therefore ∠ EBO=180°-∠ ABC-∠ ABO=180°-74°-32°=74°$，
在$△ BOE$中，$∠ OEB + ∠ BOE + ∠ EBO=180°$，
$\therefore ∠ OEB=180°-45°-74°=61°$。
(3) 解：
$\because CD$平分$∠ NBA$，$BF$平分$∠ OBA$，
$\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABN$，$∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABO$，
$\therefore ∠ CBF=∠ ABC+∠ ABF=\frac{1}{2}(∠ ABN+∠ ABO)$，
$\because ∠ ABN+∠ ABO=180°$（平角定义），
$\therefore ∠ CBF=\frac{1}{2}×180°=90°$，
$\therefore ∠ EBF=180°-∠ CBF=90°$，
$\therefore △ BEF$中，$∠ F+∠ BEF=90°$，
$\because OE$平分$∠ BOG$，$∠ BOG=90°$，
$\therefore ∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOG=45°$，
在$△ BOF$中，$∠ F+∠ OBF+∠ BOF=180°$，
又$\because ∠ BOE+∠ BOF=180°$（平角定义），
$\therefore ∠ BOE=∠ F+∠ OBF=45°$，
$\therefore ∠ F＜45°$，$∠ BEF=90°-∠ F＞45°$，
分两种情况讨论：
① 当$∠ EBF=3∠ F$时：
$90°=3∠ F$，解得$∠ F=30°$，
$\therefore ∠ BEF=90°-30°=60°$，
在$△ BOE$中，$∠ OBE=180°-∠ BOE-∠ BEF=180°-45°-60°=75°$，
$\therefore ∠ OBF=∠ EBF-∠ OBE=90°-75°=15°$，
$\because BF$平分$∠ OBA$，
$\therefore ∠ ABO=2∠ OBF=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ BAO=90°-∠ ABO=60°$；
② 当$∠ BEF=3∠ F$时：
$\because ∠ BEF+∠ F=90°$，
$\therefore 3∠ F+∠ F=90°$，解得$∠ F=22.5°$，
$\therefore ∠ BEF=3×22.5°=67.5°$，
在$△ BOE$中，$∠ OBE=180°-∠ BOE-∠ BEF=180°-45°-67.5°=67.5°$，
$\therefore ∠ OBF=∠ EBF-∠ OBE=90°-67.5°=22.5°$，
$\because BF$平分$∠ OBA$，
$\therefore ∠ ABO=2∠ OBF=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ BAO=90°-∠ ABO=45°$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boxed{61°}$；
(3) $∠ BAO$的度数为$\boxed{45°}$或$\boxed{60°}$。
【知识点】
角平分线的性质，三角形内角和定理，垂直的性质
【点评】
本题是角的运算与三角形性质结合的综合题，难度逐层递进，前两问侧重基础性质的应用，第三问需要结合直角三角形的特点分类讨论，解题时注意不要漏解，能有效锻炼逻辑推理和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.5