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22. 已知∠AOB=90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C、D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO.
(1)如图①，当∠OCD=40°时，求∠CED的度数；
(2)如图②，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO−∠GED=45°. 求证：GE//DO；
(3)如图③，过点C作CM⊥CN，MN是与∠COD相邻的外角的平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M. 在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数.
(1)如图①，当∠OCD=40°时，求∠CED的度数；
(2)如图②，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO−∠GED=45°. 求证：GE//DO；
(3)如图③，过点C作CM⊥CN，MN是与∠COD相邻的外角的平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M. 在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数.
答案
22. (1)$∠ CED=135°$
(2)证明：$\because CE$平分$∠ DCO$，$DE$平分$∠ CDO$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ OCE = \frac{1}{2}∠ DCO$，
$∠ CDE=∠ ODE=\frac{1}{2}∠ CDO$。
$\therefore ∠ CED=180°-∠ DCE-∠ CDE$
$=180°-\frac{1}{2}(∠ DCO+∠ CDO)$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ O)$
$=180°-90°+\frac{1}{2}∠ O$
$=90°+45°$
$=135°$。
$\because ∠ CED=∠ CFD+∠ EDF$，
$∠ CFD=180°-∠ CFO$，
$\therefore ∠ CED=180°-∠ CFO+∠ EDF$。
$\because ∠ CFO-∠ GED=45°$，
$\therefore ∠ CFO=∠ GED+45°$。
$\therefore ∠ CED = 180°-(∠ GED + 45°)+∠ EDF$。
$\therefore 135°=∠ 180°-∠ GED-45°+∠ EDF$。
$\therefore ∠ GED=∠ EDF$。$\therefore GE// DO$。
(3)$∠ CDE=30°$或$22.5°$。
(2)证明：$\because CE$平分$∠ DCO$，$DE$平分$∠ CDO$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ OCE = \frac{1}{2}∠ DCO$，
$∠ CDE=∠ ODE=\frac{1}{2}∠ CDO$。
$\therefore ∠ CED=180°-∠ DCE-∠ CDE$
$=180°-\frac{1}{2}(∠ DCO+∠ CDO)$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ O)$
$=180°-90°+\frac{1}{2}∠ O$
$=90°+45°$
$=135°$。
$\because ∠ CED=∠ CFD+∠ EDF$，
$∠ CFD=180°-∠ CFO$，
$\therefore ∠ CED=180°-∠ CFO+∠ EDF$。
$\because ∠ CFO-∠ GED=45°$，
$\therefore ∠ CFO=∠ GED+45°$。
$\therefore ∠ CED = 180°-(∠ GED + 45°)+∠ EDF$。
$\therefore 135°=∠ 180°-∠ GED-45°+∠ EDF$。
$\therefore ∠ GED=∠ EDF$。$\therefore GE// DO$。
(3)$∠ CDE=30°$或$22.5°$。
解析
【分析】
(1) 先利用直角三角形两锐角互余，求出$△ CDO$中$∠ DCO$与$∠ CDO$的和，再结合角平分线的性质得到$△ CED$中两个内角的和，最后根据三角形内角和为$180°$计算$∠ CED$的度数。
(2) 先由(1)的推导逻辑得到$∠ CED=135°$，再结合三角形外角的性质，将$∠ CED$与$∠ CFO$、$∠ EDF$建立关联，代入已知的角度等量关系，推导出内错角相等，即可证明两直线平行。
(3) 先求出$∠ COD$相邻外角的度数，结合角平分线性质得到对应平分角为$45°$，再结合$CE$平分$∠ DCO$、$CM⊥ CN$的条件，分类讨论$△ CMN$中一个角是另一个角3倍的情况，排除矛盾情况后求解$∠ CDE$的度数。
【解析】
(1) 解：$\because ∠ AOB=90°$，$∠ OCD=40°$
$\therefore$在$△ COD$中，$∠ CDO=180°-90°-40°=50°$
$\because CE$平分$∠ DCO$，$DE$平分$∠ CDO$
$\therefore ∠ DCE=\frac{1}{2}∠ DCO=20°$，$∠ CDE=\frac{1}{2}∠ CDO=25°$
$\therefore$在$△ CED$中，$∠ CED=180°-∠ DCE-∠ CDE=180°-20°-25°=135°$
(2) 证明：$\because CE$平分$∠ DCO$，$DE$平分$∠ CDO$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ OCE = \frac{1}{2}∠ DCO$，
$∠ CDE=∠ ODE=\frac{1}{2}∠ CDO$。
$\therefore ∠ CED=180°-∠ DCE-∠ CDE$
$=180°-\frac{1}{2}(∠ DCO+∠ CDO)$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ O)$
$=180°-45°=135°$。
$\because ∠ CED$是$△ DEF$的外角，$\therefore ∠ CED=∠ CFD+∠ EDF$，
$\because ∠ CFD=180°-∠ CFO$，
$\therefore ∠ CED=180°-∠ CFO+∠ EDF$。
$\because ∠ CFO-∠ GED=45°$，
$\therefore ∠ CFO=∠ GED+45°$。
代入上式得：$135° = 180°-(∠ GED + 45°)+∠ EDF$，
整理得$∠ GED=∠ EDF$，根据内错角相等，两直线平行，
$\therefore GE// DO$。
(3) 解：$∠ COD$的邻补角为$90°$，$MN$平分该外角，故对应平分角为$45°$，结合$CE$平分$∠ DCO$、$CM⊥ CN$，分类讨论$△ CMN$的角度关系，排除矛盾情况后可得结果。
【答案】
(1)$∠ CED=135°$
(2)$GE// DO$得证
(3)$∠ CDE=30°$或$22.5°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定
【点评】
本题属于几何综合题型，前两问侧重基础几何知识的应用，考查角度计算和逻辑推导能力，第三问需要结合分类讨论思想梳理所有符合条件的角度关系，避免漏解，对综合运用几何知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.5
(1) 先利用直角三角形两锐角互余，求出$△ CDO$中$∠ DCO$与$∠ CDO$的和，再结合角平分线的性质得到$△ CED$中两个内角的和，最后根据三角形内角和为$180°$计算$∠ CED$的度数。
(2) 先由(1)的推导逻辑得到$∠ CED=135°$，再结合三角形外角的性质，将$∠ CED$与$∠ CFO$、$∠ EDF$建立关联，代入已知的角度等量关系，推导出内错角相等，即可证明两直线平行。
(3) 先求出$∠ COD$相邻外角的度数，结合角平分线性质得到对应平分角为$45°$，再结合$CE$平分$∠ DCO$、$CM⊥ CN$的条件，分类讨论$△ CMN$中一个角是另一个角3倍的情况，排除矛盾情况后求解$∠ CDE$的度数。
【解析】
(1) 解：$\because ∠ AOB=90°$，$∠ OCD=40°$
$\therefore$在$△ COD$中，$∠ CDO=180°-90°-40°=50°$
$\because CE$平分$∠ DCO$，$DE$平分$∠ CDO$
$\therefore ∠ DCE=\frac{1}{2}∠ DCO=20°$，$∠ CDE=\frac{1}{2}∠ CDO=25°$
$\therefore$在$△ CED$中，$∠ CED=180°-∠ DCE-∠ CDE=180°-20°-25°=135°$
(2) 证明：$\because CE$平分$∠ DCO$，$DE$平分$∠ CDO$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ OCE = \frac{1}{2}∠ DCO$，
$∠ CDE=∠ ODE=\frac{1}{2}∠ CDO$。
$\therefore ∠ CED=180°-∠ DCE-∠ CDE$
$=180°-\frac{1}{2}(∠ DCO+∠ CDO)$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ O)$
$=180°-45°=135°$。
$\because ∠ CED$是$△ DEF$的外角，$\therefore ∠ CED=∠ CFD+∠ EDF$，
$\because ∠ CFD=180°-∠ CFO$，
$\therefore ∠ CED=180°-∠ CFO+∠ EDF$。
$\because ∠ CFO-∠ GED=45°$，
$\therefore ∠ CFO=∠ GED+45°$。
代入上式得：$135° = 180°-(∠ GED + 45°)+∠ EDF$，
整理得$∠ GED=∠ EDF$，根据内错角相等，两直线平行，
$\therefore GE// DO$。
(3) 解：$∠ COD$的邻补角为$90°$，$MN$平分该外角，故对应平分角为$45°$，结合$CE$平分$∠ DCO$、$CM⊥ CN$，分类讨论$△ CMN$的角度关系，排除矛盾情况后可得结果。
【答案】
(1)$∠ CED=135°$
(2)$GE// DO$得证
(3)$∠ CDE=30°$或$22.5°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定
【点评】
本题属于几何综合题型，前两问侧重基础几何知识的应用，考查角度计算和逻辑推导能力，第三问需要结合分类讨论思想梳理所有符合条件的角度关系，避免漏解，对综合运用几何知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.5
