8. 如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路. 小亮由此抽象出如图2所示的多边形ABCDEF，则这个多边形的内角和为.

$\boldsymbol{720°}$

解：多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，
由图可知多边形$ABCDEF$是六边形，边数$n=6$，
代入公式得内角和为$(6-2)×180°=720°$。

9. 已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多$180°$.
(1)求这个多边形的边数；
(2)若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？

解：
(1) 设这个多边形的边数为$n$。
多边形的外角和恒为$360°$，根据题意列方程：
$(n-2)×180° = 3×360° + 180°$
化简得：
$n-2=7$
解得：
$n=9$
(2) 该多边形的内角和为$3×360°+180°=1260°$，
正多边形的所有内角都相等，因此一个内角的度数为：
$1260°÷9=140°$
答：(1) 这个多边形的边数为9；(2) 该正多边形一个内角的度数是$140°$。

10. 如图，在六边形$ABCDEF$中，$∠ A = ∠ D = 140°$，其余四个内角都相等.
(1)求$∠ ABC$的度数.
(2)连接$BF$，若$∠ ABF = ∠ AFB$，判断$BC$与$BF$的位置关系并说明理由.

解：
(1) 六边形的内角和为$(6-2)×180°=720°$，
已知$∠ A=∠ D=140°$，其余四个内角都相等，
因此其余每个内角的度数为$\frac{720° - 140° × 2}{4}=110°$，
即$∠ ABC=110°$。
(2) $BC⊥ BF$，理由如下：
在$△ ABF$中，$∠ A=140°$，
所以$∠ ABF + ∠ AFB = 180° - 140° = 40°$，
又因为$∠ ABF = ∠ AFB$，
所以$∠ ABF = \frac{1}{2}×40° = 20°$，
由(1)得$∠ ABC=110°$，
因此$∠ FBC = ∠ ABC - ∠ ABF = 110° - 20° = 90°$，
所以$BC⊥ BF$。

11. 如图，将正五边形剪掉一个角(裁剪线不经过顶点)，则∠1 + ∠2的度数和为（）A. 108° B. 180° C. 252° D. 288°第11题图第12题图

解：正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，
正五边形每个内角的度数为$540°÷5=108°$。
由于裁剪线不经过顶点，剪掉一个角后得到的图形是六边形，
该六边形的内角和为$(6-2)×180°=720°$。
六边形中除$∠1$、$∠2$外的其余4个内角均为原正五边形的内角，它们的和为$4×108°=432°$，
因此$∠1+∠2=720°-432°=288°$。
答案选D。

12. 如图，在拧开一个边长为$ a $的正六边形螺帽时，扳手张开的开口宽度$ b = 20 \, \mathrm{mm} $，则正六边形的边长$ a $是（）

A.$\frac{20}{3} \, \mathrm{mm}$
B.$\frac{20\sqrt{3}}{3} \, \mathrm{mm}$
C.$\frac{15\sqrt{3}}{2} \, \mathrm{mm}$
D.$12 \, \mathrm{mm}$

B

扳手开口宽度b是正六边形一组平行对边的间距，因此正六边形的边心距为$\frac{b}{2}=10\ \mathrm{mm}$。根据正六边形的性质，边长为$a$时，边心距等于$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}a=10$，解得$a=\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{mm}$。