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13. 如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的度数为。
答案
$\boldsymbol{36°}$
解析
解：
正五边形的内角和为：$(5-2)×180°=540°$
正五边形每个内角的度数为：$540°÷5=108°$
$\therefore ∠ ABC=∠ BCD=108°$
$\therefore ∠ FBC=180°-∠ ABC=72°$，$∠ FCB=180°-∠ BCD=72°$
在$△ FBC$中，
$∠ F=180°-∠ FBC-∠ FCB=180°-72°-72°=36°$
最终
正五边形的内角和为：$(5-2)×180°=540°$
正五边形每个内角的度数为：$540°÷5=108°$
$\therefore ∠ ABC=∠ BCD=108°$
$\therefore ∠ FBC=180°-∠ ABC=72°$，$∠ FCB=180°-∠ BCD=72°$
在$△ FBC$中，
$∠ F=180°-∠ FBC-∠ FCB=180°-72°-72°=36°$
最终
14. 如图，用一条足够长的矩形纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平，就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，对角线AD与BE交于点F.
(1)求∠AFE的度数；
(2)判断四边形BCDF是哪种特殊的四边形，并说明理由.
(1)求∠AFE的度数；
(2)判断四边形BCDF是哪种特殊的四边形，并说明理由.
答案
解：
(1) ∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ 正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且$AB=AE=DE$。
在$△ ABE$中，$∠ ABE=∠ AEB=\frac{180° - ∠ BAE}{2}=\frac{180° - 108°}{2}=36°$，
同理可得$∠ EAD=36°$，
∴ $∠ AFE=180° - ∠ AEB - ∠ EAD=180° - 36° - 36°=108°$。
(2) 四边形$BCDF$是菱形，理由如下：
∵ $∠ CBE = ∠ ABC - ∠ ABE = 108° - 36° = 72°$，
∴ $∠ CBE + ∠ BCD = 72° + 108° = 180°$，
∴ $BE// CD$。
同理可得$∠ ADC = ∠ CDE - ∠ ADE = 108° - 36° = 72°$，
∴ $∠ ADC + ∠ BCD = 72° + 108° = 180°$，
∴ $BC// AD$。
∴ 四边形$BCDF$是平行四边形，
又∵ 正五边形$ABCDE$中，$BC=CD$，
∴ 平行四边形$BCDF$是菱形。
(1) ∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ 正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且$AB=AE=DE$。
在$△ ABE$中，$∠ ABE=∠ AEB=\frac{180° - ∠ BAE}{2}=\frac{180° - 108°}{2}=36°$，
同理可得$∠ EAD=36°$，
∴ $∠ AFE=180° - ∠ AEB - ∠ EAD=180° - 36° - 36°=108°$。
(2) 四边形$BCDF$是菱形，理由如下：
∵ $∠ CBE = ∠ ABC - ∠ ABE = 108° - 36° = 72°$，
∴ $∠ CBE + ∠ BCD = 72° + 108° = 180°$，
∴ $BE// CD$。
同理可得$∠ ADC = ∠ CDE - ∠ ADE = 108° - 36° = 72°$，
∴ $∠ ADC + ∠ BCD = 72° + 108° = 180°$，
∴ $BC// AD$。
∴ 四边形$BCDF$是平行四边形，
又∵ 正五边形$ABCDE$中，$BC=CD$，
∴ 平行四边形$BCDF$是菱形。
15. 阅读与思考
关于“等角准正多边形”的研究报告
【一般概念】对于一个凸多边形(边数为偶数)，若其所有的内角都相等，且有两条边不等于其他相等的边，我们称这个凸多边形为等角准正多边形.
如图1，我们学习过的矩形(正方形除外)就是等角准正四边形，类似地，还有等角准正六边形、等角准正八边形……
【特例研究】根据等角准正多边形的定义，对等角准正六边形研究如下.
概念理解：如图2，如果在六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，AB=CD=DE=FA，且BC≠AB，EF≠AB，那么六边形ABCDEF是等角准正六边形.
性质探索：根据定义，探索等角准正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等角准正六边形的每个内角的度数均为. 每个外角的度数均为.
(1)直接写出研究报告中空缺的内容：，.
(2)在图2中，等角准正六边形ABCDEF的三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？请证明你的结论.
(3)如图3，已知在八边形ABCDEFGH中，AB//EF，BC//GF，CD//HG，DE//AH，∠A=∠B=∠C=135°，AB=AH=HG=CD=DE=EF，且BC≠AB，GF≠AB.
求证：八边形ABCDEFGH是等角准正八边形.
关于“等角准正多边形”的研究报告
【一般概念】对于一个凸多边形(边数为偶数)，若其所有的内角都相等，且有两条边不等于其他相等的边，我们称这个凸多边形为等角准正多边形.
如图1，我们学习过的矩形(正方形除外)就是等角准正四边形，类似地，还有等角准正六边形、等角准正八边形……
【特例研究】根据等角准正多边形的定义，对等角准正六边形研究如下.
概念理解：如图2，如果在六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，AB=CD=DE=FA，且BC≠AB，EF≠AB，那么六边形ABCDEF是等角准正六边形.
性质探索：根据定义，探索等角准正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等角准正六边形的每个内角的度数均为. 每个外角的度数均为.
(1)直接写出研究报告中空缺的内容：，.
(2)在图2中，等角准正六边形ABCDEF的三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？请证明你的结论.
(3)如图3，已知在八边形ABCDEFGH中，AB//EF，BC//GF，CD//HG，DE//AH，∠A=∠B=∠C=135°，AB=AH=HG=CD=DE=EF，且BC≠AB，GF≠AB.
求证：八边形ABCDEFGH是等角准正八边形.
答案
解：
(1) $120°$，$60°$
(2) 三组正对边分别平行，即$AB// DE$，$BC// EF$，$CD// AF$。
证明：延长$AB$、$DC$交于点$M$。
∵六边形$ABCDEF$是等角准正六边形，
∴$∠ ABC=∠ BCD=120°$，
∴$∠ MBC=∠ MCB=180°-120°=60°$，
∴$∠ M=180°-60°-60°=60°$。
同理，延长$CD$、$FE$交于点$N$，可得$∠ N=60°$，
∴$∠ M=∠ N$，
∴$AB// DE$。
同理可证：$BC// EF$，$CD// AF$。
(3) 证明：延长$AB$、$DC$交于点$Q$，延长$BC$、$FG$交于点$R$，延长$EF$、$HG$交于点$S$，延长$AH$、$ED$交于点$P$。
∵$∠ ABC=∠ BCD=135°$，
∴$∠ QBC=∠ QCB=180°-135°=45°$，
∴$∠ Q=180°-45°-45°=90°$。
∵$AB// EF$，$CD// HG$，
∴$∠ Q+∠ S=180°$，得$∠ S=90°$，
同理可得$∠ R=∠ P=90°$，
∴四边形$PQRS$是矩形。
由已知$AB=AH=HG=CD=DE=EF$，结合四个角为$45°$的等腰直角三角形性质，可推得八边形剩余的所有内角均为$135°$，即$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=∠ E=∠ F=∠ G=∠ H=135°$。
又∵八边形边数为8（偶数），$AB=AH=HG=CD=DE=EF$，且$BC≠ AB$，$GF≠ AB$，完全符合等角准正多边形的定义，
∴八边形$ABCDEFGH$是等角准正八边形。
(1) $120°$，$60°$
(2) 三组正对边分别平行，即$AB// DE$，$BC// EF$，$CD// AF$。
证明：延长$AB$、$DC$交于点$M$。
∵六边形$ABCDEF$是等角准正六边形，
∴$∠ ABC=∠ BCD=120°$，
∴$∠ MBC=∠ MCB=180°-120°=60°$，
∴$∠ M=180°-60°-60°=60°$。
同理，延长$CD$、$FE$交于点$N$，可得$∠ N=60°$，
∴$∠ M=∠ N$，
∴$AB// DE$。
同理可证：$BC// EF$，$CD// AF$。
(3) 证明：延长$AB$、$DC$交于点$Q$，延长$BC$、$FG$交于点$R$，延长$EF$、$HG$交于点$S$，延长$AH$、$ED$交于点$P$。
∵$∠ ABC=∠ BCD=135°$，
∴$∠ QBC=∠ QCB=180°-135°=45°$，
∴$∠ Q=180°-45°-45°=90°$。
∵$AB// EF$，$CD// HG$，
∴$∠ Q+∠ S=180°$，得$∠ S=90°$，
同理可得$∠ R=∠ P=90°$，
∴四边形$PQRS$是矩形。
由已知$AB=AH=HG=CD=DE=EF$，结合四个角为$45°$的等腰直角三角形性质，可推得八边形剩余的所有内角均为$135°$，即$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=∠ E=∠ F=∠ G=∠ H=135°$。
又∵八边形边数为8（偶数），$AB=AH=HG=CD=DE=EF$，且$BC≠ AB$，$GF≠ AB$，完全符合等角准正多边形的定义，
∴八边形$ABCDEFGH$是等角准正八边形。
