1. 如图,在直线$l$上顺次取$A,B,C$三点,使得$AB=40\ \mathrm{cm},BC=280\ \mathrm{cm}$,点$P$、点$Q$分别从点$A$、点$B$同时出发向点$C$运动,点$P$的速度为$3\ \mathrm{cm/s}$,点$Q$的速度为$1\ \mathrm{cm/s}$.
(1)如果点$D$是线段$AC$的中点,那么线段$BD$的长是$\mathrm{cm}$.
(2)①求点$P$出发多少秒后追上点$Q$;
②点$P$出发多少秒后与点$Q$的距离是$20\ \mathrm{cm}$?

(1) 120
解析: 因为$AB+BC=AC$,所以$AC=320\ \mathrm{cm}$.因为点$D$是线段$AC$的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×320=160(\mathrm{cm})$,所以$BD=AD-AB=160-40=120(\mathrm{cm})$.
(2) ①设点$P$出发$t\ \mathrm{s}$后追上点$Q$,由题意得$3t=t+40$,解得$t=20$,所以点$P$出发$20\ \mathrm{s}$后追上点$Q$.
②当点$P$在点$Q$的左侧时,$3t+20=40+t$,解得$t=10$;当点$P$在点$Q$的右侧时,$3t=40+t+20$,解得$t=30$,所以点$P$出发$10\ \mathrm{s}$或$30\ \mathrm{s}$后与点$Q$的距离是$20\ \mathrm{cm}$.

2. 如图,点A,B,C是数轴上顺次的三个点,动点P,Q分别从B点和C点同时出发沿数轴向左运动,点P和点Q的速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒,设运动时间为t秒,点D是PQ的中点.
(1)若BC=4,当t取何值时,点Q追上点P?
(2)若BC=2AB=4,设S=k·PD-PA,是否存在常数k,使得S在某段时间内为定值?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.

(1) 由题可知$BP=t,CQ=2t$,因为$BC=4$,所以$2t=t+4$,解得$t=4$,即当$t=4$时,点$Q$追上点$P$.
(2) 存在,因为$BC=2AB=4$,所以$AB=2$,如图,以$B$为原点建立数轴,则$A$表示的数为$-2$,$C$表示的数为$4$,所以动点$P$表示的数为$-t$,$Q$表示的数为$4-2t$,所以点$D$表示的数为$\frac{-t+4-2t}{2}=2-\frac{3}{2}t$,所以$PD=\left|2-\frac{1}{2}t\right|$,$PA=|2-t|$,$S=k·PD-PA=k·\left|2-\frac{1}{2}t\right|-|2-t|$,令$2-\frac{1}{2}t=0$,解得$t=4$,令$2-t=0$,解得$t=2$,
①当$0＜t＜2$时,$S=k(2-\frac{1}{2}t)-(2-t)=(1-\frac{1}{2}k)t+2k-2$,当$1-\frac{1}{2}k=0$,即$k=2$时,$S=2$是定值;
②当$2≤ t≤ 4$时,$S=k(2-\frac{1}{2}t)-(t-2)=(-1-\frac{1}{2}k)t+2k+2$,当$-1-\frac{1}{2}k=0$,即$k=-2$时,$S=-2$为定值;
③当$t＞4$时,$S=k(\frac{1}{2}t-2)-(t-2)=(\frac{1}{2}k-1)t-2k+2$,当$\frac{1}{2}k-1=0$,即$k=2$时,$S=-2$为定值,综上所述,$k=\pm2$时,$S$在某段时间内为定值.