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3. (2026·九江校级月考)如图,点C,D,E都在直线AB上,C是线段AB的中点,E是线段CB的中点,CE=4.
(1)当点D在线段AC上且AD:DC=1:3时,求DC和AB的长.
(2)若P是直线AB上的动点,动点P从点A出发,以3个单位长度/秒的速度沿着AB的方向运动,运动时间为t秒.
①已知另一动点Q从点E出发,以2个单位长度/秒的速度沿着EA的方向同时运动.是否存在PB=QB?若存在,求出此时运动的时间t;若不存在,请说明理由.
②当动点P在线段AC上运动时,M,N分别是线段AC和BP的中点,试判断AB-CP与线段MN之间的数量关系,并说明理由.
(1)当点D在线段AC上且AD:DC=1:3时,求DC和AB的长.
(2)若P是直线AB上的动点,动点P从点A出发,以3个单位长度/秒的速度沿着AB的方向运动,运动时间为t秒.
①已知另一动点Q从点E出发,以2个单位长度/秒的速度沿着EA的方向同时运动.是否存在PB=QB?若存在,求出此时运动的时间t;若不存在,请说明理由.
②当动点P在线段AC上运动时,M,N分别是线段AC和BP的中点,试判断AB-CP与线段MN之间的数量关系,并说明理由.
答案
(1) 因为$E$是线段$CB$的中点,$CE=4$,所以$CB=2CE=2×4=8$.因为$C$是线段$AB$的中点,所以$AC=CB=8$,所以$AB=2CB=2×8=16$.因为点$D$在线段$AC$上且$AD:DC=1:3$,所以$DC=\frac{3}{4}AC=\frac{3}{4}×8=6$.
(2) ①存在,如图
,当$P,Q$相遇时,因为$AP=3t$,$EQ=2t$,$AB=16$,$BE=4$,所以$BP=16-3t$,$BQ=4+2t$.因为$BP=BQ$,所以$16-3t=4+2t$,解得$t=\frac{12}{5}$;如图
,当$P,Q$相遇后$PB=QB$时,点$Q$在点$A$的左侧,点$P$在点$B$的右侧,因为$BP=3t-16$,$BQ=4+2t$,所以$3t-16=4+2t$,解得$t=20$.综上,$t=\frac{12}{5}$或$t=20$.
②$AB-CP=2MN$.理由:如图
,因为$M,N$分别是线段$AC$和$BP$的中点,$AC=8$,$BP=16-3t$,所以$AM=CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$,$BN=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(16-3t)$.因为$BM=AB-AM=16-4=12$,所以$MN=BM-BN=12-\frac{1}{2}(16-3t)=\frac{1}{2}(3t+8)$.因为$CP=AC-AP=8-3t$,所以$AB-CP=16-8+3t=3t+8$,所以$AB-CP=2MN$.4. 如图,数轴上点 A 在原点左侧,点 B 在原点右侧,且$OA=2OB$,动点 P,Q 分别从 A,B 两点同时出发,都向右运动,点 P 的速度为每秒 2 个单位长度,点 Q 的速度为每秒 1 个单位长度,当点 P 与点 Q 重合时,P,Q 两点停止运动.设运动时间为 t 秒.
(1)若点 A 表示的数为-12,则点 B 表示的数为
(2)在(1)的条件下,若$2OP-OQ=\frac{1}{2}AB$,求 t 的值;
(3)当点 P 在线段 AO 上运动时,若$|AP-BP|=OP$,请探究线段 OP 与线段 AB 之间的数量关系,并说明理由.
(1)若点 A 表示的数为-12,则点 B 表示的数为
6
,线段 AB 中点表示的数为-3
;(2)在(1)的条件下,若$2OP-OQ=\frac{1}{2}AB$,求 t 的值;
(3)当点 P 在线段 AO 上运动时,若$|AP-BP|=OP$,请探究线段 OP 与线段 AB 之间的数量关系,并说明理由.
答案
(1) 6 -3
解析: 因为点$A$表示的数为$-12$,$AO=2OB$,所以$AO=12$,$OB=6$,所以点$B$表示的数为$6$,且$AB=18$,所以线段$AB$中点表示的数为$-3$.
(2) 当$P,Q$相遇时,$t=(12+6)÷(2-1)=18$(秒),所以$t≤ 18$,$\frac{1}{2}AB=18×\frac{1}{2}=9$.
当点$P$在线段$AO$上时,即$0＜t≤ 6$时,$OP=12-2t$,$OQ=6+t$,因为$2OP-OQ=9$,所以$2(12-2t)-(6+t)=9$,$t=\frac{9}{5}$,符合;
当点$P$在原点$O$右侧时,即$6＜t≤ 18$时,$OP=2t-12$,$OQ=6+t$,因为$2OP-OQ=9$,$2(2t-12)-(6+t)=9$,$t=13$,符合.
综上所述,若$2OP-OQ=9$,$t$的值为$\frac{9}{5}$或$13$.
(3) 设线段$OB$的长为$b$,则$OA=2b$,$AB=3b$.因为点$P$在线段$AO$上运动,所以$AP=2t$,$OP=2b-2t$.$BP=AB-AP=3b-2t$.若$AP≤ BP$,则$|AP-BP|=BP-AP$,所以$BP-AP=OP$,所以$(3b-2t)-2t=2b-2t$,解得$t=\frac{1}{2}b$.所以$OP=2b-2t=2b-b=b$.又因为$AB=3b$,所以$AB=3OP$;若$AP＞BP$,则$|AP-BP|=AP-BP$,所以$AP-BP=OP$,所以$2t-(3b-2t)=2b-2t$,解得$t=\frac{5}{6}b$.所以$OP=2b-2t=2b-\frac{5}{3}b=\frac{1}{3}b$.因为$AB=3b$,所以$AB=9OP$.
综上所述,线段$OP$与线段$AB$之间的数量关系为$AB=3OP$或$AB=9OP$.
解析: 因为点$A$表示的数为$-12$,$AO=2OB$,所以$AO=12$,$OB=6$,所以点$B$表示的数为$6$,且$AB=18$,所以线段$AB$中点表示的数为$-3$.
(2) 当$P,Q$相遇时,$t=(12+6)÷(2-1)=18$(秒),所以$t≤ 18$,$\frac{1}{2}AB=18×\frac{1}{2}=9$.
当点$P$在线段$AO$上时,即$0＜t≤ 6$时,$OP=12-2t$,$OQ=6+t$,因为$2OP-OQ=9$,所以$2(12-2t)-(6+t)=9$,$t=\frac{9}{5}$,符合;
当点$P$在原点$O$右侧时,即$6＜t≤ 18$时,$OP=2t-12$,$OQ=6+t$,因为$2OP-OQ=9$,$2(2t-12)-(6+t)=9$,$t=13$,符合.
综上所述,若$2OP-OQ=9$,$t$的值为$\frac{9}{5}$或$13$.
(3) 设线段$OB$的长为$b$,则$OA=2b$,$AB=3b$.因为点$P$在线段$AO$上运动,所以$AP=2t$,$OP=2b-2t$.$BP=AB-AP=3b-2t$.若$AP≤ BP$,则$|AP-BP|=BP-AP$,所以$BP-AP=OP$,所以$(3b-2t)-2t=2b-2t$,解得$t=\frac{1}{2}b$.所以$OP=2b-2t=2b-b=b$.又因为$AB=3b$,所以$AB=3OP$;若$AP＞BP$,则$|AP-BP|=AP-BP$,所以$AP-BP=OP$,所以$2t-(3b-2t)=2b-2t$,解得$t=\frac{5}{6}b$.所以$OP=2b-2t=2b-\frac{5}{3}b=\frac{1}{3}b$.因为$AB=3b$,所以$AB=9OP$.
综上所述,线段$OP$与线段$AB$之间的数量关系为$AB=3OP$或$AB=9OP$.
