10. 如图,C为线段AB上一点,D为线段AC的中点,E为线段CB的中点.
(1)如果$AC=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,试求DE的长.
(2)如果$AB=a\ \mathrm{cm}$,试求DE的长度.
(3)若C在线段AB的延长线上,且满足$AC-BC=b\ \mathrm{cm},D,E$分别为$AC,BC$的中点,你能猜想DE的长度吗?写出你的结论,并说明理由.

(1)因为点D,E分别是线段AC,BC的中点,$AC=6\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,所以$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$,$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm})$,所以$DE=CD+CE=3+2=5(\mathrm{cm})$.
(2)因为点D,E分别是线段AC,BC的中点,
所以$CD=\frac{1}{2}AC$,$CE=\frac{1}{2}BC$,
所以$DE=CD+CE=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a(\mathrm{cm})$.
(3)猜想:$DE=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$.理由如下:

因为点D,E分别是线段AC,BC的中点,
所以$CD=\frac{1}{2}AC$,$CE=\frac{1}{2}BC$,
所以$DE=CD-CE=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}b(\mathrm{cm})$.

11. 在同一条直线上有A,B,C,D四点(A,B,C三点依次从左到右排列),已知$AD=\frac{3}{5}BD$，$AC=3CB$，且$CD=6\ \mathrm{cm}$，求AB的长。

分为两种情况:(1)如图①,当D在线段AB上时,

设$AB=2x\ \mathrm{cm}$,则$BC=x\ \mathrm{cm}$,因为$AD=\frac{3}{5}BD$,所以$BD=\frac{5}{8}AB=\frac{5}{4}x\ \mathrm{cm}$.因为$CD=BD+BC=6\ \mathrm{cm}$,所以$\frac{5}{4}x+x=6$,解得$x=\frac{8}{3}$,所以$AB=2x=2×\frac{8}{3}=\frac{16}{3}(\mathrm{cm})$.
(2)如图②,当D在线段BA的延长线上时,

设$AB=2a\ \mathrm{cm}$,则$BC=a\ \mathrm{cm}$.因为$AD=\frac{3}{5}BD$,所以$AD=\frac{3}{2}AB$,所以$BD=AD+AB=\frac{3}{2}AB+AB=\frac{5}{2}AB=5a\ \mathrm{cm}$.因为$CD=BD+BC=6\ \mathrm{cm}$,所以$5a+a=6$,解得$a=1$,所以$AB=2a=2×1=2(\mathrm{cm})$.综上,$AB=\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$或$2\ \mathrm{cm}$.

12. 如图,已知数轴上有两点A,B,它们对应的数分别为a,b,其中a=12.
(1)在点B的左侧作线段BC=AB,在点B的右侧作线段BD=3AB(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若点C对应的数为c,点D对应的数为d,且AB=20,求c,d的值;
(3)在(2)的条件下,设点M是BD的中点,N是数轴上一点,且CN=2DN,请直接写出MN的长.

(1)如图,线段BC,BD为所求线段.

(2)因为$AB=20$,$BC=AB$,$BD=3AB$,所以$AC=2AB=2×20=40$,$AD=2AB=2×20=40$.因为$a=12$,所以$c=12-40=-28$,$d=12+40=52$.
(3)$\frac{10}{3}$或110 解析:分情况讨论:①点N在线段CD上,由(2)得$CD=52-(-28)=80$,点B对应的数为$12-20=-8$,所以$BD=52-(-8)=60$.因为点M是BD的中点,所以点M对应的数为$52-30=22$.因为$CN=2DN$,所以$DN=\frac{1}{3}CD=\frac{80}{3}$,所以点N对应的数为$52-\frac{80}{3}=\frac{76}{3}$,所以$MN=\frac{76}{3}-22=\frac{10}{3}$.②点N在线段CD的延长线上,因为$CN=2DN$,所以$DN=CD=80$,所以点N对应的数为$52+80=132$,所以$MN=132-22=110$.综合①②知,MN的长为$\frac{10}{3}$或110.

13. 如图,点 C 是线段 AB 上的一点,线段 $AC=8$, $BC=\frac{3}{2}AC$,点 D 为线段 AB 的中点.
(1)求线段 AB 和 CD 的长.
(2)若动点 P 从点 A 出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段 AB 向右运动,动点 Q 从点 B 出发,以每秒3个单位长度的速度沿线段 BA 向左运动,当点 Q 到达点 A 时立即掉头沿线段 AB 向右运动,当点 Q 再次回到点 B 时,动点 P,Q 同时停止运动.设运动时间为 t 秒.
①当 t 为何值时,点 P 与点 Q 重合?
②当 t 为何值时,点 P 与点 Q 之间的距离 $PQ=4$?

(1)因为$AC=8$,$BC=\frac{3}{2}AC=\frac{3}{2}×8=12$,所以$AB=AC+BC=20$.因为点D为线段AB的中点,所以$AD=DB=\frac{1}{2}AB=10$,所以$CD=AD-AC=10-8=2$.
(2)①由题意可知,$t≤\frac{40}{3}$,点P与点Q重合有两种情况:一种是点Q从B到A向左运动时,另一种是点Q到达点A后掉头向右运动时.当点Q向左运动时,$t+3t=20$,解得$t=5$.当点Q向右运动时,$3t-t=20$,解得$t=10$.故当$t=5$或$t=10$时,点P与点Q重合.
②当动点P,Q没有相遇且两点相距4时,有$t+3t+4=20$,解得$t=4$;当动点P,Q第一次相遇后,点P向右运动,点Q向左运动,两点相距4时,有$t+3t-4=20$,解得$t=6$;当动点P,Q第一次相遇后第二次相遇前,点P向右运动,点Q向右运动,两点相距4时,有$3t+4-20=t$,解得$t=8$;当动点P,Q第二次相遇后,点P向右运动,点Q向右运动,两点相距4时,有$3t-20-t=4$,解得$t=12$.综上所述,满足条件的t有$t=4$或$t=6$或$t=8$或$t=12$.