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16. 如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y=\frac{3}{2}x+m$与直线$l_2$交于点$A(-2,3)$,直线$l_2$与$x$轴交于点$C(4,0)$,与$y$轴交于点$B$,将直线$l_2$向下平移8个单位长度得到直线$l_3$,$l_3$与$y$轴交于点$D$,与$l_1$交于点$E$,连接$AD$.
(1)求直线$l_2$的解析式.
(2)求$△ ADE$的面积.
(3)在平面直角坐标系中存在点$P$,使得以$A,E,D,P$为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点$P$的坐标.
(1)求直线$l_2$的解析式.
(2)求$△ ADE$的面积.
(3)在平面直角坐标系中存在点$P$,使得以$A,E,D,P$为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点$P$的坐标.
答案
16.解:(1)设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$,$\because$直线$l_2$与$x$轴交于点$C(4,0)$,且过点$A(-2,3),\therefore \begin{cases} 4k+b=0,\\ -2k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\frac{1}{2},\\ b=2. \end{cases}$
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
(2)连接$BE$(图略),$\because$直线$l_1:y=\frac{3}{2}x+m$与直线$l_2$交于点$A(-2,3).\therefore -3+m=3$,解得$m=6$.$\therefore$直线$l_1$的解析式为$y=\frac{3}{2}x+6$.$\because$将直线$l_2$向下平移8个单位长度得到直线$l_3$,$\therefore$直线$l_3$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x-6$.$\because l_3$与$y$轴交于点$D$,$\therefore$当$x=0$时,$y=-6$.$\therefore D(0,-6)$.$\because$直线$l_2$与$y$轴交于点$B$,$\therefore B(0,2)$.$\therefore BD=8$.由$\begin{cases} y=\frac{3}{2}x+6,\\ y=-\frac{1}{2}x-6, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-6,\\ y=-3. \end{cases}$$\therefore E(-6,-3)$.$\because l_2// l_3$,$\therefore S_{△ ADE}=S_{△ BDE}=\frac{1}{2}BD× 6=\frac{1}{2}× 8× 6=24$。
(3)由(1)(2)可知$A(-2,3),E(-6,-3)$,$D(0,-6)$,设点$P$的坐标为$(a,b)$.
①当以$AD$为边时,如图1
,则点$A$向右平移2个单位长度,再向下平移9个单位长度得到点$D$,同样点$E$(或点$P$)向右平移2个单位长度,再向下平移9个单位长度得到点$P$(点$E$),即$-6+2=a$,$-3-9=b$或$-6-2=a$,$-3+9=b$,解得$\begin{cases} a=-4,\\ b=-12 \end{cases}$或$\begin{cases} a=-8,\\ b=6. \end{cases}$故点$P$的坐标为$(-4,-12)$或$(-8,6)$。②当$AD$为对角线时,如图2
,由中点坐标公式,得$-2+0=a-6$,$3-6=b-3$,解得$\begin{cases} a=4,\\ b=0. \end{cases}$故点$P$的坐标为$(4,0)$.综上所述,点$P$的坐标为$(-4,-12)$或$(-8,6)$或$(4,0)$。解析
【分析】
(1) 求直线$l_2$的解析式时，已知直线经过$A(-2,3)$和$C(4,0)$两个定点，选用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得到二元一次方程组，解出$k$和$b$即可。
(2) 求$△ ADE$的面积时，先求出未知直线的解析式：将$A$点坐标代入$l_1$的解析式求出$m$，得到$l_1$的解析式；根据一次函数平移“上加下减”的规律，由$l_2$的解析式得到向下平移8个单位后的$l_3$的解析式，再求出$D$、$E$两点的坐标。由于$l_2 // l_3$，$△ ADE$和$△ BDE$同底等高，面积相等，转化为计算$△ BDE$的面积更简便。
(3) 求平行四边形顶点$P$的坐标时，需分类讨论：若$AD$为平行四边形的边，利用平行四边形对边平行且相等的性质，通过点的平移规律计算$P$的坐标；若$AD$为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分（中点重合）的性质，用中点坐标公式计算$P$的坐标，最后汇总所有情况即可。
【解析】
(1) 设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$，
$\because$直线$l_2$过点$A(-2,3)$和$C(4,0)$，
$\therefore$代入坐标得$\begin{cases} 4k+b=0\\ -2k+b=3 \end{cases}$，
两式相减得$6k=-3$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
将$k=-\frac{1}{2}$代入$4k+b=0$，得$b=2$，
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
(2) 求直线$l_1$的解析式：
将$A(-2,3)$代入$y=\frac{3}{2}x+m$，得$\frac{3}{2}×(-2)+m=3$，解得$m=6$，
$\therefore l_1$的解析式为$y=\frac{3}{2}x+6$。
求直线$l_3$的解析式：
$l_2$向下平移8个单位得$l_3$，$\therefore l_3$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2-8=-\frac{1}{2}x-6$。
求点坐标：
令$l_3$中$x=0$，得$y=-6$，$\therefore D(0,-6)$；令$l_2$中$x=0$，得$y=2$，$\therefore B(0,2)$，故$BD=2-(-6)=8$。
联立$l_1$和$l_3$的解析式$\begin{cases} y=\frac{3}{2}x+6 \\ y=-\frac{1}{2}x-6 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=-6 \\ y=-3 \end{cases}$，$\therefore E(-6,-3)$。
计算面积：
$\because l_2 // l_3$，$△ ADE$和$△ BDE$同底等高，
$\therefore S_{△ ADE}=S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× BD × |x_E|=\frac{1}{2}×8×6=24$。
(3) 已知$A(-2,3)$、$E(-6,-3)$、$D(0,-6)$，设$P(a,b)$，分两类讨论：
① $AD$为平行四边形的边：
若$A$平移到$D$，平移规律为横坐标加2、纵坐标减9，则$E$平移后得$P(-6+2,-3-9)$即$(-4,-12)$；
若$D$平移到$A$，平移规律为横坐标减2、纵坐标加9，则$E$平移后得$P(-6-2,-3+9)$即$(-8,6)$。
② $AD$为平行四边形的对角线：
$AD$的中点和$EP$的中点重合，$AD$中点为$(\frac{-2+0}{2},\frac{3-6}{2})=(-1,-\frac{3}{2})$，
故$\frac{-6+a}{2}=-1$，$\frac{-3+b}{2}=-\frac{3}{2}$，解得$a=4$，$b=0$，即$P(4,0)$。
综上，$P$的坐标为$(-4,-12)$或$(-8,6)$或$(4,0)$。
【答案】
16.解:(1)设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$,$\because$直线$l_2$与$x$轴交于点$C(4,0)$,且过点$A(-2,3),\therefore \begin{cases} 4k+b=0,\\ -2k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\frac{1}{2},\\ b=2. \end{cases}$
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
(2)连接$BE$(图略),$\because$直线$l_1:y=\frac{3}{2}x+m$与直线$l_2$交于点$A(-2,3).\therefore -3+m=3$,解得$m=6$.$\therefore$直线$l_1$的解析式为$y=\frac{3}{2}x+6$.$\because$将直线$l_2$向下平移8个单位长度得到直线$l_3$,$\therefore$直线$l_3$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x-6$.$\because l_3$与$y$轴交于点$D$,$\therefore$当$x=0$时,$y=-6$.$\therefore D(0,-6)$.$\because$直线$l_2$与$y$轴交于点$B$,$\therefore B(0,2)$.$\therefore BD=8$.由$\begin{cases} y=\frac{3}{2}x+6,\\ y=-\frac{1}{2}x-6, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-6,\\ y=-3. \end{cases}$$\therefore E(-6,-3)$.$\because l_2// l_3$,$\therefore S_{△ ADE}=S_{△ BDE}=\frac{1}{2}BD× 6=\frac{1}{2}× 8× 6=24$。
(3)由(1)(2)可知$A(-2,3),E(-6,-3)$,$D(0,-6)$,设点$P$的坐标为$(a,b)$.
①当以$AD$为边时,如图1,则点$A$向右平移2个单位长度,再向下平移9个单位长度得到点$D$,同样点$E$(或点$P$)向右平移2个单位长度,再向下平移9个单位长度得到点$P$(点$E$),即$-6+2=a$,$-3-9=b$或$-6-2=a$,$-3+9=b$,解得$\begin{cases} a=-4,\\ b=-12 \end{cases}$或$\begin{cases} a=-8,\\ b=6. \end{cases}$故点$P$的坐标为$(-4,-12)$或$(-8,6)$。
②当$AD$为对角线时,如图2,由中点坐标公式,得$-2+0=a-6$,$3-6=b-3$,解得$\begin{cases} a=4,\\ b=0. \end{cases}$故点$P$的坐标为$(4,0)$.综上所述,点$P$的坐标为$(-4,-12)$或$(-8,6)$或$(4,0)$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移变换，平行四边形性质
【点评】
本题综合考查一次函数的基础应用与平行四边形存在性问题，前两问侧重基础运算能力的考查，第三问需要结合分类讨论思想分析，能有效检验学生思维的严谨性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求直线$l_2$的解析式时，已知直线经过$A(-2,3)$和$C(4,0)$两个定点，选用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得到二元一次方程组，解出$k$和$b$即可。
(2) 求$△ ADE$的面积时，先求出未知直线的解析式：将$A$点坐标代入$l_1$的解析式求出$m$，得到$l_1$的解析式；根据一次函数平移“上加下减”的规律，由$l_2$的解析式得到向下平移8个单位后的$l_3$的解析式，再求出$D$、$E$两点的坐标。由于$l_2 // l_3$，$△ ADE$和$△ BDE$同底等高，面积相等，转化为计算$△ BDE$的面积更简便。
(3) 求平行四边形顶点$P$的坐标时，需分类讨论：若$AD$为平行四边形的边，利用平行四边形对边平行且相等的性质，通过点的平移规律计算$P$的坐标；若$AD$为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分（中点重合）的性质，用中点坐标公式计算$P$的坐标，最后汇总所有情况即可。
【解析】
(1) 设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$，
$\because$直线$l_2$过点$A(-2,3)$和$C(4,0)$，
$\therefore$代入坐标得$\begin{cases} 4k+b=0\\ -2k+b=3 \end{cases}$，
两式相减得$6k=-3$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
将$k=-\frac{1}{2}$代入$4k+b=0$，得$b=2$，
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
(2) 求直线$l_1$的解析式：
将$A(-2,3)$代入$y=\frac{3}{2}x+m$，得$\frac{3}{2}×(-2)+m=3$，解得$m=6$，
$\therefore l_1$的解析式为$y=\frac{3}{2}x+6$。
求直线$l_3$的解析式：
$l_2$向下平移8个单位得$l_3$，$\therefore l_3$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2-8=-\frac{1}{2}x-6$。
求点坐标：
令$l_3$中$x=0$，得$y=-6$，$\therefore D(0,-6)$；令$l_2$中$x=0$，得$y=2$，$\therefore B(0,2)$，故$BD=2-(-6)=8$。
联立$l_1$和$l_3$的解析式$\begin{cases} y=\frac{3}{2}x+6 \\ y=-\frac{1}{2}x-6 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=-6 \\ y=-3 \end{cases}$，$\therefore E(-6,-3)$。
计算面积：
$\because l_2 // l_3$，$△ ADE$和$△ BDE$同底等高，
$\therefore S_{△ ADE}=S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× BD × |x_E|=\frac{1}{2}×8×6=24$。
(3) 已知$A(-2,3)$、$E(-6,-3)$、$D(0,-6)$，设$P(a,b)$，分两类讨论：
① $AD$为平行四边形的边：
若$A$平移到$D$，平移规律为横坐标加2、纵坐标减9，则$E$平移后得$P(-6+2,-3-9)$即$(-4,-12)$；
若$D$平移到$A$，平移规律为横坐标减2、纵坐标加9，则$E$平移后得$P(-6-2,-3+9)$即$(-8,6)$。
② $AD$为平行四边形的对角线：
$AD$的中点和$EP$的中点重合，$AD$中点为$(\frac{-2+0}{2},\frac{3-6}{2})=(-1,-\frac{3}{2})$，
故$\frac{-6+a}{2}=-1$，$\frac{-3+b}{2}=-\frac{3}{2}$，解得$a=4$，$b=0$，即$P(4,0)$。
综上，$P$的坐标为$(-4,-12)$或$(-8,6)$或$(4,0)$。
【答案】
16.解:(1)设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$,$\because$直线$l_2$与$x$轴交于点$C(4,0)$,且过点$A(-2,3),\therefore \begin{cases} 4k+b=0,\\ -2k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\frac{1}{2},\\ b=2. \end{cases}$
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
(2)连接$BE$(图略),$\because$直线$l_1:y=\frac{3}{2}x+m$与直线$l_2$交于点$A(-2,3).\therefore -3+m=3$,解得$m=6$.$\therefore$直线$l_1$的解析式为$y=\frac{3}{2}x+6$.$\because$将直线$l_2$向下平移8个单位长度得到直线$l_3$,$\therefore$直线$l_3$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x-6$.$\because l_3$与$y$轴交于点$D$,$\therefore$当$x=0$时,$y=-6$.$\therefore D(0,-6)$.$\because$直线$l_2$与$y$轴交于点$B$,$\therefore B(0,2)$.$\therefore BD=8$.由$\begin{cases} y=\frac{3}{2}x+6,\\ y=-\frac{1}{2}x-6, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-6,\\ y=-3. \end{cases}$$\therefore E(-6,-3)$.$\because l_2// l_3$,$\therefore S_{△ ADE}=S_{△ BDE}=\frac{1}{2}BD× 6=\frac{1}{2}× 8× 6=24$。
(3)由(1)(2)可知$A(-2,3),E(-6,-3)$,$D(0,-6)$,设点$P$的坐标为$(a,b)$.
①当以$AD$为边时,如图1
,则点$A$向右平移2个单位长度,再向下平移9个单位长度得到点$D$,同样点$E$(或点$P$)向右平移2个单位长度,再向下平移9个单位长度得到点$P$(点$E$),即$-6+2=a$,$-3-9=b$或$-6-2=a$,$-3+9=b$,解得$\begin{cases} a=-4,\\ b=-12 \end{cases}$或$\begin{cases} a=-8,\\ b=6. \end{cases}$故点$P$的坐标为$(-4,-12)$或$(-8,6)$。②当$AD$为对角线时,如图2
,由中点坐标公式,得$-2+0=a-6$,$3-6=b-3$,解得$\begin{cases} a=4,\\ b=0. \end{cases}$故点$P$的坐标为$(4,0)$.综上所述,点$P$的坐标为$(-4,-12)$或$(-8,6)$或$(4,0)$。【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移变换，平行四边形性质
【点评】
本题综合考查一次函数的基础应用与平行四边形存在性问题，前两问侧重基础运算能力的考查，第三问需要结合分类讨论思想分析，能有效检验学生思维的严谨性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
