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10.若一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象如图所示，点$P(2.5,3)$在函数图象上，则关于$x$的方程$kx+b=3$的解是
$x=2.5$
。答案
10.$x=2.5$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确一次函数与一元一次方程的对应关系：关于x的方程kx+b=3的解，就是一次函数y=kx+b的函数值为3时对应的自变量x的值，也就是一次函数图象上纵坐标为3的点的横坐标。已知点P(2.5,3)在该一次函数图象上，直接提取该点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
根据一次函数与一元一次方程的关系：求方程$kx+b=3$的解，等价于求一次函数$y=kx+b$的函数值为3时，对应的自变量$x$的取值。
已知点$P(2.5,3)$在一次函数$y=kx+b$的图象上，即当$x=2.5$时，$y=kx+b=3$，因此方程$kx+b=3$的解为$x=2.5$。
【答案】
$x=2.5$
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题考查一次函数与一元一次方程的联系，解题核心是理解一元一次方程的解与对应一次函数图象上点的坐标的对应关系，牢记相关联系即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要明确一次函数与一元一次方程的对应关系：关于x的方程kx+b=3的解，就是一次函数y=kx+b的函数值为3时对应的自变量x的值，也就是一次函数图象上纵坐标为3的点的横坐标。已知点P(2.5,3)在该一次函数图象上，直接提取该点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
根据一次函数与一元一次方程的关系：求方程$kx+b=3$的解，等价于求一次函数$y=kx+b$的函数值为3时，对应的自变量$x$的取值。
已知点$P(2.5,3)$在一次函数$y=kx+b$的图象上，即当$x=2.5$时，$y=kx+b=3$，因此方程$kx+b=3$的解为$x=2.5$。
【答案】
$x=2.5$
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题考查一次函数与一元一次方程的联系，解题核心是理解一元一次方程的解与对应一次函数图象上点的坐标的对应关系，牢记相关联系即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
11.我国古代数学中有这样一道数学题:如图,有一棵枯树直立在地上,树高12尺,粗3尺,有一根藤条从树根缠绕而上,缠绕3周到达树顶,则这根藤条的长度是
15
尺.(注:枯树可以看成圆柱;树粗3尺,指的是底面圆的周长为3尺.)答案
11.15
解析
【分析】
解决这类圆柱表面缠绕路径的长度问题，需用到“化曲为直”的思路：首先将圆柱侧面展开为平面长方形，把曲面的藤条路径转化为平面内的线段，再利用勾股定理计算长度。首先明确：藤条缠绕3周，展开后水平方向总长度等于3倍的底面周长，竖直方向长度等于树的总高度，二者分别是直角三角形的两条直角边，斜边就是藤条的总长度。
【解析】
将枯树对应的圆柱侧面展开：
1. 计算展开后水平方向总长度：藤条缠绕3周，底面周长为3尺，因此水平总长度为 $3×3=9$ 尺；
2. 竖直方向长度为树的高度12尺，此时藤条长度为以9尺、12尺为直角边的直角三角形的斜边；
3. 根据勾股定理 $a^2+b^2=c^2$，代入数据得：
$c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$（尺）
【答案】
15
【知识点】
勾股定理，圆柱侧面展开，化曲为直思想
【点评】
本题是立体图形表面路径计算的典型题型，解题核心是将曲面转化为平面，把未知的曲线长度转化为熟悉的直角三角形边长计算，能够很好地考查空间想象能力和数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
解决这类圆柱表面缠绕路径的长度问题，需用到“化曲为直”的思路：首先将圆柱侧面展开为平面长方形，把曲面的藤条路径转化为平面内的线段，再利用勾股定理计算长度。首先明确：藤条缠绕3周，展开后水平方向总长度等于3倍的底面周长，竖直方向长度等于树的总高度，二者分别是直角三角形的两条直角边，斜边就是藤条的总长度。
【解析】
将枯树对应的圆柱侧面展开：
1. 计算展开后水平方向总长度：藤条缠绕3周，底面周长为3尺，因此水平总长度为 $3×3=9$ 尺；
2. 竖直方向长度为树的高度12尺，此时藤条长度为以9尺、12尺为直角边的直角三角形的斜边；
3. 根据勾股定理 $a^2+b^2=c^2$，代入数据得：
$c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$（尺）
【答案】
15
【知识点】
勾股定理，圆柱侧面展开，化曲为直思想
【点评】
本题是立体图形表面路径计算的典型题型，解题核心是将曲面转化为平面，把未知的曲线长度转化为熟悉的直角三角形边长计算，能够很好地考查空间想象能力和数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
12. 计算:
(1)$\sqrt{18}+\sqrt{12}-\sqrt{8}-\sqrt{27}$；
(2)$(\sqrt{3}+2)^2+(\sqrt{3}+2)×(\sqrt{3}-2)$.
(1)$\sqrt{18}+\sqrt{12}-\sqrt{8}-\sqrt{27}$；
(2)$(\sqrt{3}+2)^2+(\sqrt{3}+2)×(\sqrt{3}-2)$.
答案
12.解:(1)原式$=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-3\sqrt{3}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$.
(2)原式$=3+4\sqrt{3}+4+3-4=6+4\sqrt{3}$.
(2)原式$=3+4\sqrt{3}+4+3-4=6+4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 二次根式加减运算的核心思路是“先化简，再合并”：首先将每个二次根式化为最简二次根式，再识别出被开方数相同的同类二次根式，最后将同类二次根式的系数相加减、根式部分保持不变即可。本题需先化简4个二次根式，再合并同类项。
(2) 二次根式混合运算可结合整式乘法公式简化计算：观察式子结构，第一部分符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，第二部分符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，直接套用公式展开后再合并同类项，能降低计算出错概率。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
代入原式合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-3\sqrt{3}\\&=(3\sqrt{2}-2\sqrt{2})+(2\sqrt{3}-3\sqrt{3})\\&=\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 分别套用公式展开计算：
根据完全平方公式：$(\sqrt{3}+2)^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×2+2^2=3+4\sqrt{3}+4$
根据平方差公式：$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2-2^2=3-4$
代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3+4\sqrt{3}+4+3-4\\&=6+4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}-\sqrt{3}$；(2) $6+4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，乘法公式应用
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查运算能力，合理套用乘法公式可提升计算效率，运算过程中要注意二次根式化简的准确性和符号运算的正确性，平时可通过适量练习巩固运算熟练度。
【难度系数】
0.75
(1) 二次根式加减运算的核心思路是“先化简，再合并”：首先将每个二次根式化为最简二次根式，再识别出被开方数相同的同类二次根式，最后将同类二次根式的系数相加减、根式部分保持不变即可。本题需先化简4个二次根式，再合并同类项。
(2) 二次根式混合运算可结合整式乘法公式简化计算：观察式子结构，第一部分符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，第二部分符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，直接套用公式展开后再合并同类项，能降低计算出错概率。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
代入原式合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-3\sqrt{3}\\&=(3\sqrt{2}-2\sqrt{2})+(2\sqrt{3}-3\sqrt{3})\\&=\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 分别套用公式展开计算：
根据完全平方公式：$(\sqrt{3}+2)^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×2+2^2=3+4\sqrt{3}+4$
根据平方差公式：$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2-2^2=3-4$
代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3+4\sqrt{3}+4+3-4\\&=6+4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}-\sqrt{3}$；(2) $6+4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，乘法公式应用
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查运算能力，合理套用乘法公式可提升计算效率，运算过程中要注意二次根式化简的准确性和符号运算的正确性，平时可通过适量练习巩固运算熟练度。
【难度系数】
0.75
13.某中学九年级(1)班、(2)班各选5名同学参加“爱我中华”演讲比赛，其预赛成绩(满分100分)如图所示：
(1)根据上图信息填写下表.
| 班级 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 九年级(1)班 | 85
| | 85 |
| 九年级(2)班 | 85 | 80 | |
(2)根据两班成绩的平均数和中位数，分析哪班成绩较好.
(3)如果每班各选2名同学参加决赛，你认为哪个班实力更强些？请说明理由.
(1)根据上图信息填写下表.
| 班级 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 九年级(1)班 | 85
| | 85 || 九年级(2)班 | 85 | 80 | |
(2)根据两班成绩的平均数和中位数，分析哪班成绩较好.
(3)如果每班各选2名同学参加决赛，你认为哪个班实力更强些？请说明理由.
答案
13.解:(1)85 100
(2)因为两班成绩的平均数相同,但九年级(1)班成绩的中位数较高,所以九年级(1)班的成绩较好.
(3)如果每班各选2名同学参加决赛,我认为九年级(2)班实力更强些.理由:九年级(2)班前两名的成绩都为100分,而九年级(1)班前两名的成绩分别为100分和85分.
(2)因为两班成绩的平均数相同,但九年级(1)班成绩的中位数较高,所以九年级(1)班的成绩较好.
(3)如果每班各选2名同学参加决赛,我认为九年级(2)班实力更强些.理由:九年级(2)班前两名的成绩都为100分,而九年级(1)班前两名的成绩分别为100分和85分.
解析
【分析】
解题时先明确三个统计量的定义：①中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数（数据个数为奇数时取中间的数）；②众数是一组数据中出现次数最多的数。第(1)问先整理两个班的参赛成绩，分别对应计算中位数、众数即可。第(2)问平均数相同的前提下，中位数越高说明班级中等水平成绩越好，以此判断整体成绩优劣。第(3)问选前2名参加决赛，只需对比两个班高分段的成绩，判断哪个班前两名的水平更高即可。
【解析】
(1) 整理两个班5名同学的预赛成绩：
九年级(1)班成绩从小到大排序为：75、80、85、85、100，共5个数据，第3个数据为85，因此中位数是85；
九年级(2)班成绩从小到大排序为：70、75、80、100、100，其中100出现的次数最多，因此众数是100。
(2) 由表格可知，两班成绩的平均数均为85分，平均数相同；九年级(1)班的中位数为85，高于九年级(2)班的中位数80，说明九年级(1)班中等水平的成绩更好，因此九年级(1)班的成绩较好。
(3) 九年级(2)班实力更强。理由：对比两个班前两名的成绩，九年级(2)班前两名的成绩均为100分，而九年级(1)班前两名的成绩分别为100分和85分，九年级(2)班高分段成绩更优，因此选2名同学参加决赛时九年级(2)班实力更强。
【答案】
(1) 85；100
(2) 九年级(1)班成绩较好，因为两班成绩的平均数相同，但九年级(1)班成绩的中位数较高。
(3) 九年级(2)班实力更强些，因为九年级(2)班前两名的成绩都为100分，而九年级(1)班前两名的成绩分别为100分和85分。
【知识点】
中位数，众数，统计量应用
【点评】
本题结合竞赛场景考查常见统计量的计算与实际应用，解题时需根据不同的分析需求选择对应的统计量判断，注重对基础概念的理解和结合实际场景分析的能力。
【难度系数】
0.8
解题时先明确三个统计量的定义：①中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数（数据个数为奇数时取中间的数）；②众数是一组数据中出现次数最多的数。第(1)问先整理两个班的参赛成绩，分别对应计算中位数、众数即可。第(2)问平均数相同的前提下，中位数越高说明班级中等水平成绩越好，以此判断整体成绩优劣。第(3)问选前2名参加决赛，只需对比两个班高分段的成绩，判断哪个班前两名的水平更高即可。
【解析】
(1) 整理两个班5名同学的预赛成绩：
九年级(1)班成绩从小到大排序为：75、80、85、85、100，共5个数据，第3个数据为85，因此中位数是85；
九年级(2)班成绩从小到大排序为：70、75、80、100、100，其中100出现的次数最多，因此众数是100。
(2) 由表格可知，两班成绩的平均数均为85分，平均数相同；九年级(1)班的中位数为85，高于九年级(2)班的中位数80，说明九年级(1)班中等水平的成绩更好，因此九年级(1)班的成绩较好。
(3) 九年级(2)班实力更强。理由：对比两个班前两名的成绩，九年级(2)班前两名的成绩均为100分，而九年级(1)班前两名的成绩分别为100分和85分，九年级(2)班高分段成绩更优，因此选2名同学参加决赛时九年级(2)班实力更强。
【答案】
(1) 85；100
(2) 九年级(1)班成绩较好，因为两班成绩的平均数相同，但九年级(1)班成绩的中位数较高。
(3) 九年级(2)班实力更强些，因为九年级(2)班前两名的成绩都为100分，而九年级(1)班前两名的成绩分别为100分和85分。
【知识点】
中位数，众数，统计量应用
【点评】
本题结合竞赛场景考查常见统计量的计算与实际应用，解题时需根据不同的分析需求选择对应的统计量判断，注重对基础概念的理解和结合实际场景分析的能力。
【难度系数】
0.8
