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14. 如图,点A,F,C,D在同一条直线上,点B,E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形.
(2)若∠DEF=90°,DE=8,EF=6,当AF的长为多少时,四边形BCEF是菱形?
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形.
(2)若∠DEF=90°,DE=8,EF=6,当AF的长为多少时,四边形BCEF是菱形?
答案
14.解:(1)证明:$\because AF=DC,\therefore AC=DF$. 在$△ ABC$和$△ DEF$中,$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ A=∠ D,\\ AC=DF, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS}).\therefore BC=EF$,$∠ ACB=∠ DFE.\therefore BC// EF.$
∴四边形BCEF是平行四边形.
(2)如图,连接BE,交CF于点G.$\because$四边形BCEF是平行四边形,
∴当$BE⊥ CF$时,四边形BCEF是菱形.
$\because ∠ DEF=90°,DE=8,EF=6,\therefore DF=\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10.$$\because S_{△ DEF}=\frac{1}{2}EG· DF=\frac{1}{2}EF· DE,\therefore EG=\frac{EF· DE}{DF}=\frac{24}{5}.\therefore FG=CG=\sqrt{EF^2-EG^2}=\frac{18}{5}.$
$\therefore AF=CD=DF-2FG=10-\frac{36}{5}=\frac{14}{5}.$
$\therefore$当$AF=\frac{14}{5}$时,四边形BCEF是菱形.
解析
【分析】
(1) 要证四边形BCEF是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等实现。已知AF=DC，给两边同时加公共线段FC可得AC=DF，结合已知的AB=DE、∠A=∠D，可通过SAS证明△ABC≌△DEF，得到BC与EF的数量关系和位置关系，即可得证。
(2) 平行四边形要成为菱形，需满足对角线互相垂直，因此连接BE交CF于点G，此时BE⊥CF且G平分CF。先在Rt△DEF中用勾股定理求DF的长，再用面积法求斜边上的高EG，用勾股定理求FG的长，进而得到CF的长，最后由AF=CD=DF-CF即可算出AF的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because AF=DC,\therefore AF+FC=DC+FC$，即$AC=DF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ A=∠ D,\\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BC=EF$，$∠ ACB=∠ DFE$，
$\therefore BC// EF$，
$\therefore$ 四边形BCEF是平行四边形。
(2) 解：如图，连接BE，交CF于点G。
$\because$ 四边形BCEF是平行四边形，
$\therefore$ 当$BE⊥ CF$时，四边形BCEF是菱形。
$\because ∠ DEF=90°,DE=8,EF=6$，
$\therefore DF=\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
$\because S_{△ DEF}=\frac{1}{2}EG· DF=\frac{1}{2}EF· DE$，
$\therefore EG=\frac{EF· DE}{DF}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFG$中，$FG=\sqrt{EF^2-EG^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$，
$\therefore FC=2FG=\frac{36}{5}$，
$\therefore AF=CD=DF-FC=10-\frac{36}{5}=\frac{14}{5}$。
即当$AF=\frac{14}{5}$时，四边形BCEF是菱形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $AF=\frac{14}{5}$
【知识点】
全等三角形判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，融合了三角形全等、特殊四边形的判定与性质、勾股定理、面积法等多个知识点，解题的关键是熟练掌握各类几何图形的性质，灵活选择合适的方法推导线段间的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形BCEF是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等实现。已知AF=DC，给两边同时加公共线段FC可得AC=DF，结合已知的AB=DE、∠A=∠D，可通过SAS证明△ABC≌△DEF，得到BC与EF的数量关系和位置关系，即可得证。
(2) 平行四边形要成为菱形，需满足对角线互相垂直，因此连接BE交CF于点G，此时BE⊥CF且G平分CF。先在Rt△DEF中用勾股定理求DF的长，再用面积法求斜边上的高EG，用勾股定理求FG的长，进而得到CF的长，最后由AF=CD=DF-CF即可算出AF的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because AF=DC,\therefore AF+FC=DC+FC$，即$AC=DF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ A=∠ D,\\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BC=EF$，$∠ ACB=∠ DFE$，
$\therefore BC// EF$，
$\therefore$ 四边形BCEF是平行四边形。
(2) 解：如图，连接BE，交CF于点G。
$\because$ 四边形BCEF是平行四边形，
$\therefore$ 当$BE⊥ CF$时，四边形BCEF是菱形。
$\because ∠ DEF=90°,DE=8,EF=6$，
$\therefore DF=\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
$\because S_{△ DEF}=\frac{1}{2}EG· DF=\frac{1}{2}EF· DE$，
$\therefore EG=\frac{EF· DE}{DF}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFG$中，$FG=\sqrt{EF^2-EG^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$，
$\therefore FC=2FG=\frac{36}{5}$，
$\therefore AF=CD=DF-FC=10-\frac{36}{5}=\frac{14}{5}$。
即当$AF=\frac{14}{5}$时，四边形BCEF是菱形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $AF=\frac{14}{5}$
【知识点】
全等三角形判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，融合了三角形全等、特殊四边形的判定与性质、勾股定理、面积法等多个知识点，解题的关键是熟练掌握各类几何图形的性质，灵活选择合适的方法推导线段间的数量关系。
【难度系数】
0.7
15. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$E$为$AB$的中点，连接$OE$，$F$为线段$OE$上的一点，连接$AF$，$BF$。若$∠ AFB=90°$，$AB=4$，$BC=6$，则$OF$的值是（
A.$2$
B.$\frac{3}{2}$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$
第15题图 第16题图
C
）A.$2$
B.$\frac{3}{2}$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$
第15题图 第16题图
答案
15.C
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定O是AC的中点，结合E是AB中点的条件，可判断OE是△ABC的中位线，借助中位线定理求出OE的长度；再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出EF的长度，最后用OE的长度减去EF的长度，即可得到OF的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴O是AC的中点，
又
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=6$，代入得$OE=\frac{1}{2}×6=3$。
∵$∠ AFB=90°$，E是AB的中点，
∴在Rt△AFB中，EF是斜边AB的中线，
∴$EF=\frac{1}{2}AB$，
已知$AB=4$，代入得$EF=\frac{1}{2}×4=2$。
∴$OF=OE-EF=3-2=1$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是熟练运用平行四边形、三角形中位线、直角三角形的相关性质，快速找到线段间的数量关系，解题思路清晰，没有复杂的推导过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定O是AC的中点，结合E是AB中点的条件，可判断OE是△ABC的中位线，借助中位线定理求出OE的长度；再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出EF的长度，最后用OE的长度减去EF的长度，即可得到OF的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴O是AC的中点，
又
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=6$，代入得$OE=\frac{1}{2}×6=3$。
∵$∠ AFB=90°$，E是AB的中点，
∴在Rt△AFB中，EF是斜边AB的中线，
∴$EF=\frac{1}{2}AB$，
已知$AB=4$，代入得$EF=\frac{1}{2}×4=2$。
∴$OF=OE-EF=3-2=1$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是熟练运用平行四边形、三角形中位线、直角三角形的相关性质，快速找到线段间的数量关系，解题思路清晰，没有复杂的推导过程。
【难度系数】
0.7
16. 如图,点P从△ABC的顶点A出发,沿AB,BC匀速运动,到点C停止运动.点P运动时,线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图
所示,其中D为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是 (
A.10
B.12
C.20
D.24
所示,其中D为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是 (B
)A.10
B.12
C.20
D.24
答案
16.B
解析
【分析】
首先结合动点运动路径和函数图像分析线段长度：第一段上升的直线对应点P在AB上运动，最高点y=5说明AB的长度为5；后续曲线对应点P在BC上运动，根据“点到直线的距离垂线段最短”，可知最低点y=4是BC边上的高，即AP垂直BC时AP=4；曲线终点y值回到5说明AC=AB=5，△ABC为等腰三角形，高AP平分BC。先利用勾股定理求出BC的一半长度，得到BC总长，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 由函数图像的直线段可得：点P从A运动到B时，AP的最大值为5，因此AB=5。
2. 曲线段为点P在BC上运动时AP的长度变化，最低点D的y值为4，根据垂线段最短，可知BC边上的高为4，即当AP⊥BC时，AP=4。
3. 在AP⊥BC形成的Rt△ABP中，AB=5，AP=4，由勾股定理得：
$ BP=\sqrt{AB^2 - AP^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3 $
4. 观察曲线终点可得，点P运动到C时AP=5，即AC=AB=5，因此△ABC是等腰三角形，AP⊥BC时平分BC，故PC=BP=3，BC=BP+PC=6。
5. 计算△ABC的面积：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AP = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12 $
【答案】
B
【知识点】
函数图像应用，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是动点与函数图像结合的典型题型，核心是通过函数图像提取对应几何线段的长度信息，结合几何性质求解，注重考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
首先结合动点运动路径和函数图像分析线段长度：第一段上升的直线对应点P在AB上运动，最高点y=5说明AB的长度为5；后续曲线对应点P在BC上运动，根据“点到直线的距离垂线段最短”，可知最低点y=4是BC边上的高，即AP垂直BC时AP=4；曲线终点y值回到5说明AC=AB=5，△ABC为等腰三角形，高AP平分BC。先利用勾股定理求出BC的一半长度，得到BC总长，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 由函数图像的直线段可得：点P从A运动到B时，AP的最大值为5，因此AB=5。
2. 曲线段为点P在BC上运动时AP的长度变化，最低点D的y值为4，根据垂线段最短，可知BC边上的高为4，即当AP⊥BC时，AP=4。
3. 在AP⊥BC形成的Rt△ABP中，AB=5，AP=4，由勾股定理得：
$ BP=\sqrt{AB^2 - AP^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3 $
4. 观察曲线终点可得，点P运动到C时AP=5，即AC=AB=5，因此△ABC是等腰三角形，AP⊥BC时平分BC，故PC=BP=3，BC=BP+PC=6。
5. 计算△ABC的面积：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AP = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12 $
【答案】
B
【知识点】
函数图像应用，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是动点与函数图像结合的典型题型，核心是通过函数图像提取对应几何线段的长度信息，结合几何性质求解，注重考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
