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17. 正方形 $ A_1B_1C_1O $，正方形 $ A_2B_2C_2C_1 $，正方形 $ A_3B_3C_3C_2 $，…按如图所示的方式放置.点 $ A_1,A_2,A_3 $,…和点 $ C_1,C_2,C_3 $…分别在直线 $ y=kx+b(k＞0) $ 和 $ x $ 轴上,已知点 $ B_1(1,1),B_2(3,2) $,则点 $ B_3 $ 的坐标是
$(7,4)$
,点 $ B_n $ 的坐标是$(2^n-1,2^{n-1})$
.答案
17.$(7,4)\quad (2^n-1,2^{n-1})$
解析
【分析】
解题时先从已知的B₁、B₂坐标入手，结合正方形性质得到点A₁、A₂的坐标，代入直线表达式求出解析式；再根据正方形边与坐标轴平行的特点求出A₃坐标，得到第三个正方形的边长，进而求出B₃坐标；最后观察前3个B点的横、纵坐标变化规律，归纳得到Bₙ的通用坐标。
第一步：由正方形A₁B₁C₁O和B₁(1,1)，得正方形边长为1，因此A₁(0,1)、C₁(1,0)；由B₂(3,2)得第二个正方形边长为2，因此A₂(1,2)。
第二步：将A₁、A₂坐标代入直线y=kx+b，求解得到直线解析式。
第三步：C₂横坐标等于B₂横坐标3，将x=3代入直线解析式得A₃纵坐标，即第三个正方形边长，计算得到B₃坐标。
第四步：观察B₁、B₂、B₃的横纵坐标规律，推导Bₙ的坐标。
【解析】
解：
∵ 正方形$A_1B_1C_1O$中，$B_1(1,1)$，
∴ 该正方形边长为1，可得$A_1(0,1)$，$C_1(1,0)$，
∵ $B_2(3,2)$，正方形$A_2B_2C_2C_1$的边长为2，可得$A_2(1,2)$，
将$A_1(0,1)$、$A_2(1,2)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}b=1 \\k+b=2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1 \\b=1 \end{cases}$，
∴ 直线解析式为$y=x+1$。
∵ 点$C_2$的横坐标等于$B_2$的横坐标3，
∴ $A_3$的横坐标为3，
代入$y=x+1$得$y=3+1=4$，即正方形$A_3B_3C_3C_2$的边长为4，
∴ $B_3$的横坐标为$3+4=7$，纵坐标为4，即$B_3(7,4)$。
观察坐标规律：
$B_1(1,1)=(2^1-1,2^{0})$，
$B_2(3,2)=(2^2-1,2^{1})$，
$B_3(7,4)=(2^3-1,2^{2})$，
……
∴ 点$B_n$的坐标为$(2^n-1,2^{n-1})$。
【答案】
$(7,4)$；$(2^n-1,2^{n-1})$
【知识点】
一次函数解析式求解，正方形的性质，点的坐标规律探究
【点评】
本题是一次函数与几何图形结合的规律题，需要结合正方形的性质推导点坐标的变化特点，重点考查数形结合能力和归纳推理能力，找到正方形边长的变化规律是解题的核心。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知的B₁、B₂坐标入手，结合正方形性质得到点A₁、A₂的坐标，代入直线表达式求出解析式；再根据正方形边与坐标轴平行的特点求出A₃坐标，得到第三个正方形的边长，进而求出B₃坐标；最后观察前3个B点的横、纵坐标变化规律，归纳得到Bₙ的通用坐标。
第一步：由正方形A₁B₁C₁O和B₁(1,1)，得正方形边长为1，因此A₁(0,1)、C₁(1,0)；由B₂(3,2)得第二个正方形边长为2，因此A₂(1,2)。
第二步：将A₁、A₂坐标代入直线y=kx+b，求解得到直线解析式。
第三步：C₂横坐标等于B₂横坐标3，将x=3代入直线解析式得A₃纵坐标，即第三个正方形边长，计算得到B₃坐标。
第四步：观察B₁、B₂、B₃的横纵坐标规律，推导Bₙ的坐标。
【解析】
解：
∵ 正方形$A_1B_1C_1O$中，$B_1(1,1)$，
∴ 该正方形边长为1，可得$A_1(0,1)$，$C_1(1,0)$，
∵ $B_2(3,2)$，正方形$A_2B_2C_2C_1$的边长为2，可得$A_2(1,2)$，
将$A_1(0,1)$、$A_2(1,2)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}b=1 \\k+b=2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1 \\b=1 \end{cases}$，
∴ 直线解析式为$y=x+1$。
∵ 点$C_2$的横坐标等于$B_2$的横坐标3，
∴ $A_3$的横坐标为3，
代入$y=x+1$得$y=3+1=4$，即正方形$A_3B_3C_3C_2$的边长为4，
∴ $B_3$的横坐标为$3+4=7$，纵坐标为4，即$B_3(7,4)$。
观察坐标规律：
$B_1(1,1)=(2^1-1,2^{0})$，
$B_2(3,2)=(2^2-1,2^{1})$，
$B_3(7,4)=(2^3-1,2^{2})$，
……
∴ 点$B_n$的坐标为$(2^n-1,2^{n-1})$。
【答案】
$(7,4)$；$(2^n-1,2^{n-1})$
【知识点】
一次函数解析式求解，正方形的性质，点的坐标规律探究
【点评】
本题是一次函数与几何图形结合的规律题，需要结合正方形的性质推导点坐标的变化特点，重点考查数形结合能力和归纳推理能力，找到正方形边长的变化规律是解题的核心。
【难度系数】
0.65
18.某商场准备购进甲、乙两种服装进行销售.甲种服装每件的进价为160元,售价为220元;乙种服装每件的进价为120元,售价为160元.现计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于60件.设购进甲种服装x件,两种服装全部售完,商场获利y元.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)若购进100件服装的总费用不超过15 000元,则最大利润为多少元?
(3)在(2)的条件下,该服装店对甲种服装以每件优惠$a(0＜a＜20)$元的价格进行促销活动,乙种服装每件进价减少$b$元,售价不变,且$a - b = 4$.若最大利润为4 950元,请求出$a$的值.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)若购进100件服装的总费用不超过15 000元,则最大利润为多少元?
(3)在(2)的条件下,该服装店对甲种服装以每件优惠$a(0＜a＜20)$元的价格进行促销活动,乙种服装每件进价减少$b$元,售价不变,且$a - b = 4$.若最大利润为4 950元,请求出$a$的值.
答案
18.解:(1)由题意,得$y=(220-160)x+(160-120)(100-x)=20x+4000.$
(2)由题意,得$\begin{cases} x≥60,\\ 160x+120(100-x)≤15000, \end{cases}$解得$60≤ x≤75.$$\because$在$y=20x+4000$中,$20＞0$,$\therefore y$随$x$的增大而增大.$\therefore$当$x=75$时,$y_{\mathrm{最大}}=20×75+4000=5500$.故最大利润为5500元.
(3)$\because a-b=4$,$\therefore b=a-4$.由题意,得$y=(220-160-a)x+(160-120+b)(100-x)=(24-2a)x+100a+3600.$$\because 60≤ x≤75,0＜a＜20$,当$0＜a＜12$时,$24-2a＞0$,此时$y$随$x$的增大而增大.$\therefore$当$x=75$时,$y_{\mathrm{最大}}=(24-2a)×75+100a+3600.$$\therefore(24-2a)×75+100a+3600=4950$,解得$a=9$(符合题意);当$a=12$时,$y=100×12+3600=4800≠4950$,不符合题意,舍去;当$12＜a＜20$时,$24-2a＜0$,此时$y$随$x$的增大而减小.$\therefore$当$x=60$时,$y_{\mathrm{最大}}=(24-2a)×60+100a+3600.$$\therefore(24-2a)×60+100a+3600=4950$,解得$a=4.5$(不符合题意,舍去).综上所述,$a=9.$
(2)由题意,得$\begin{cases} x≥60,\\ 160x+120(100-x)≤15000, \end{cases}$解得$60≤ x≤75.$$\because$在$y=20x+4000$中,$20＞0$,$\therefore y$随$x$的增大而增大.$\therefore$当$x=75$时,$y_{\mathrm{最大}}=20×75+4000=5500$.故最大利润为5500元.
(3)$\because a-b=4$,$\therefore b=a-4$.由题意,得$y=(220-160-a)x+(160-120+b)(100-x)=(24-2a)x+100a+3600.$$\because 60≤ x≤75,0＜a＜20$,当$0＜a＜12$时,$24-2a＞0$,此时$y$随$x$的增大而增大.$\therefore$当$x=75$时,$y_{\mathrm{最大}}=(24-2a)×75+100a+3600.$$\therefore(24-2a)×75+100a+3600=4950$,解得$a=9$(符合题意);当$a=12$时,$y=100×12+3600=4800≠4950$,不符合题意,舍去;当$12＜a＜20$时,$24-2a＜0$,此时$y$随$x$的增大而减小.$\therefore$当$x=60$时,$y_{\mathrm{最大}}=(24-2a)×60+100a+3600.$$\therefore(24-2a)×60+100a+3600=4950$,解得$a=4.5$(不符合题意,舍去).综上所述,$a=9.$
解析
【分析】
(1) 总利润等于甲种服装总利润加乙种服装总利润，已知购进甲种服装x件，则乙种服装购进(100-x)件，分别计算两种服装每件的利润，乘对应数量相加即可得到y与x的函数关系式。
(2) 先根据“甲种服装不少于60件”“购进总费用不超过15000元”两个限制条件列不等式组，求出x的取值范围；再结合一次函数的增减性，找到利润最大时对应的x值，代入计算即可得到最大利润。
(3) 先由a-b=4将b用含a的式子表示，重新调整两种服装的单件利润，写出新的利润函数；再根据一次项系数的正负分三类讨论函数的增减性，分别求出对应情况下的最大利润表达式，令其等于4950求解a，最后验证a是否符合对应取值范围，舍去不符合的结果。
【解析】
(1) 由题意得，甲每件利润为$220-160=60$元，乙每件利润为$160-120=40$元，因此：
$y=(220-160)x+(160-120)(100-x)=60x+40(100-x)=20x+4000$
(2) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases} x≥60\\ 160x+120(100-x)≤15000 \end{cases}$
解第二个不等式得：$40x≤3000$，即$x≤75$，因此x的取值范围为$60≤x≤75$。
在$y=20x+4000$中，$20＞0$，y随x的增大而增大，因此当$x=75$时，利润最大：
$y_{最大}=20×75+4000=5500$（元）
(3) 由$a-b=4$得$b=a-4$，新的利润函数为：
$y=(220-160-a)x+(160-(120-b))(100-x)$
代入$b=a-4$化简得：$y=(24-2a)x+100a+3600$，x的取值范围仍为$60≤x≤75$，分三类讨论：
① 当$24-2a＞0$即$0＜a＜12$时，y随x的增大而增大，$x=75$时利润最大：
$(24-2a)×75+100a+3600=4950$，解得$a=9$，符合$0＜a＜12$的条件；
② 当$24-2a=0$即$a=12$时，$y=100×12+3600=4800≠4950$，不符合题意，舍去；
③ 当$24-2a＜0$即$12＜a＜20$时，y随x的增大而减小，$x=60$时利润最大：
$(24-2a)×60+100a+3600=4950$，解得$a=4.5$，不符合$12＜a＜20$的条件，舍去。
综上，$a=9$。
【答案】
(1) $y=20x+4000$；(2) 最大利润为5500元；(3) $a=9$
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的性质
【点评】
本题是函数与不等式结合的实际应用题型，核心是理清成本、售价、利润的数量关系，正确建立函数模型，解题时需注意根据一次项系数的正负分类讨论函数增减性，避免漏解错解，能有效考查逻辑分析能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.6
(1) 总利润等于甲种服装总利润加乙种服装总利润，已知购进甲种服装x件，则乙种服装购进(100-x)件，分别计算两种服装每件的利润，乘对应数量相加即可得到y与x的函数关系式。
(2) 先根据“甲种服装不少于60件”“购进总费用不超过15000元”两个限制条件列不等式组，求出x的取值范围；再结合一次函数的增减性，找到利润最大时对应的x值，代入计算即可得到最大利润。
(3) 先由a-b=4将b用含a的式子表示，重新调整两种服装的单件利润，写出新的利润函数；再根据一次项系数的正负分三类讨论函数的增减性，分别求出对应情况下的最大利润表达式，令其等于4950求解a，最后验证a是否符合对应取值范围，舍去不符合的结果。
【解析】
(1) 由题意得，甲每件利润为$220-160=60$元，乙每件利润为$160-120=40$元，因此：
$y=(220-160)x+(160-120)(100-x)=60x+40(100-x)=20x+4000$
(2) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases} x≥60\\ 160x+120(100-x)≤15000 \end{cases}$
解第二个不等式得：$40x≤3000$，即$x≤75$，因此x的取值范围为$60≤x≤75$。
在$y=20x+4000$中，$20＞0$，y随x的增大而增大，因此当$x=75$时，利润最大：
$y_{最大}=20×75+4000=5500$（元）
(3) 由$a-b=4$得$b=a-4$，新的利润函数为：
$y=(220-160-a)x+(160-(120-b))(100-x)$
代入$b=a-4$化简得：$y=(24-2a)x+100a+3600$，x的取值范围仍为$60≤x≤75$，分三类讨论：
① 当$24-2a＞0$即$0＜a＜12$时，y随x的增大而增大，$x=75$时利润最大：
$(24-2a)×75+100a+3600=4950$，解得$a=9$，符合$0＜a＜12$的条件；
② 当$24-2a=0$即$a=12$时，$y=100×12+3600=4800≠4950$，不符合题意，舍去；
③ 当$24-2a＜0$即$12＜a＜20$时，y随x的增大而减小，$x=60$时利润最大：
$(24-2a)×60+100a+3600=4950$，解得$a=4.5$，不符合$12＜a＜20$的条件，舍去。
综上，$a=9$。
【答案】
(1) $y=20x+4000$；(2) 最大利润为5500元；(3) $a=9$
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的性质
【点评】
本题是函数与不等式结合的实际应用题型，核心是理清成本、售价、利润的数量关系，正确建立函数模型，解题时需注意根据一次项系数的正负分类讨论函数增减性，避免漏解错解，能有效考查逻辑分析能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.6
