3. 云南咖啡凭借“浓而不苦、香而不烈、略带果味”的独特风味，远销全球多个国家和地区.某游客了解得知:购买4盒挂耳咖啡和6盒速溶咖啡需240元,购买3盒挂耳咖啡和5盒速溶咖啡需190元.
(1)每盒挂耳咖啡和每盒速溶咖啡的价格分别是多少?
(2)该游客准备购买两种咖啡共15盒,其中挂耳咖啡的数量不少于速溶咖啡的$\frac{1}{2}$,且挂耳咖啡的数量不超过10盒,他应如何购买才能使总费用最低?最低费用是多少?

(1)设每盒挂耳咖啡的价格是$x$元,每盒速溶咖啡的价格是$y$元. 根据题意得$\begin{cases}4x+6y=240, \\ 3x+5y=190,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=30, \\ y=20.\end{cases}$
故每盒挂耳咖啡的价格是30元,每盒速溶咖啡的价格是20元.
(2)设购买挂耳咖啡$m$盒,则购买速溶咖啡$(15-m)$盒.根据题意得$5≤m≤10$,则总费用为$W=(15-m)×20+30m=10m+300$,$\therefore$当$m=5$时,总费用最低,最低费用为350元.
故购买5盒挂耳咖啡和10盒速溶咖啡时,总费用最低,最低费用为350元.

【分析】
(1)第一问需要求解两种咖啡的单价，存在两个未知量，我们可以分别设两个未知数，根据题干给出的两组购买总费用的等量关系，列出二元一次方程组，解方程组即可得到两种咖啡的单价。
(2)第二问求总费用最低的购买方案，首先设购买挂耳咖啡的数量为m盒，根据挂耳咖啡的数量限制条件求出m的取值范围；再列出总费用关于m的一次函数表达式，结合一次函数的增减性和m的取值范围，找到使总费用最小的m值，即可得到最优购买方案和最低费用。
【解析】
(1)设每盒挂耳咖啡的价格是$x$元，每盒速溶咖啡的价格是$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}4x+6y=240 \\ 3x+5y=190\end{cases}$
化简第一个方程得$2x+3y=120$ ①，第二个方程不变：$3x+5y=190$ ②
①×3得$6x+9y=360$ ③，②×2得$6x+10y=380$ ④
④-③解得$y=20$，将$y=20$代入①得$2x+60=120$，解得$x=30$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=30 \\ y=20\end{cases}$
(2)设购买挂耳咖啡$m$盒，则购买速溶咖啡$(15-m)$盒，总费用为$W$元。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}m ≥ \frac{1}{2}(15-m) \\ m ≤ 10\end{cases}$
解第一个不等式得$2m≥15-m$，即$m≥5$，结合第二个不等式得$5≤ m≤10$。
总费用$W=30m+20(15-m)=10m+300$
因为$10＞0$，所以$W$随$m$的增大而增大，当$m=5$时，$W$取得最小值。
此时$W_{最小}=10×5+300=350$元，速溶咖啡数量为$15-5=10$盒。
【答案】
(1)每盒挂耳咖啡的价格是30元，每盒速溶咖啡的价格是20元；
(2)购买5盒挂耳咖啡和10盒速溶咖啡时总费用最低，最低费用是350元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数最值，不等式组应用
【点评】
本题结合生活消费场景设置问题，既考查了二元一次方程组的求解与实际应用，又考查了利用一次函数性质解决最值问题，解题时需准确梳理题干中的等量关系与不等关系，结合函数增减性分析即可得到结果，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.7

4.如图，平面直角坐标系中，一次函数$y=2x-1$的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C的坐标是$(3,0)$。
(1)求直线BC的函数表达式。
(2)若直线AB上有一点P，且$S_{△ PBC}=2S_{△ ABC}$，求点P的坐标。

(1)$\because$一次函数$y=2x-1$的图象与$y$轴交于点$B$,$\therefore$当$x=0$时,$y=-1$,$\therefore B(0,-1).$
又$\because C(3,0)$,设直线$BC$的函数表达式为$y=kx-1$,由条件可得$3k-1=0$,解得$k=\frac{1}{3}$,$\therefore$直线$BC$的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-1.$

(2)$\because$一次函数$y=2x-1$的图象与$x$轴交于点$A$,$\therefore$当$y=0$时,$2x-1=0$,$\therefore x=\frac{1}{2}$,$\therefore A(\frac{1}{2},0).$ 设$AB$上有一点$P(x,2x-1)$,使得$S_{△ PBC}=2S_{△ ABC}.$ 如图, ① 当点$P_1$在$BC$下方时,$S_{△ P_1AC}=3S_{△ ABC}$,得$\frac{1}{2} · AC · |y_{p_1}|=3 × \frac{1}{2} · AC · |y_B|$,$\therefore \frac{1}{2} × (3-\frac{1}{2}) · |y_{p_1}|=3 × \frac{1}{2} × (3-\frac{1}{2}) × 1$,解得$y_{P_1}=-3$,则$P_1(-1,-3)$;
②当点$P_2$在$BC$上方时,$S_{△ P_2AC}=S_{△ ABC}$,得$\frac{1}{2} × (3-\frac{1}{2}) · y_{p_2}=\frac{1}{2} × (3-\frac{1}{2}) × 1$,解得$y_{P_2}=1$,则$P_2(1,1)$.综上所述,点$P$的坐标为$(-1,-3)$或$(1,1).$

【分析】
（1）要得到直线BC的函数表达式，首先需确定点B的坐标：点B是一次函数$y=2x-1$与y轴的交点，令$x=0$即可求出B点坐标；已知C点坐标为$(3,0)$，采用待定系数法设出直线BC的解析式，代入C点坐标求解参数即可得到解析式。
（2）首先求出直线AB与x轴交点A的坐标，$△ PBC$和$△ ABC$满足$S_{△ PBC}=2S_{△ ABC}$，两个三角形可共用AC为底，面积比等于对应高（即点P、点B到x轴的距离）的比值；由于点P在直线AB上，位置可在BC下方或BC上方，需分两种情况讨论，分别求出点P的纵坐标，再代入直线AB的解析式求出横坐标，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) $\because$一次函数$y=2x-1$的图象与$y$轴交于点$B$，
$\therefore$当$x=0$时，$y=-1$，$\therefore B(0,-1)$。
又$\because C(3,0)$，设直线$BC$的函数表达式为$y=kx-1$，将$C(3,0)$代入得$3k-1=0$，解得$k=\frac{1}{3}$，
$\therefore$直线$BC$的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x-1$。
(2) $\because$一次函数$y=2x-1$的图象与$x$轴交于点$A$，
$\therefore$当$y=0$时，$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，$\therefore A(\frac{1}{2},0)$。
设直线$AB$上的点$P$坐标为$(x,2x-1)$，已知$S_{△ PBC}=2S_{△ ABC}$，分两种情况讨论：
①当点$P_1$在$BC$下方时，$S_{△ P_1AC}=3S_{△ ABC}$，可得$\frac{1}{2} · AC · |y_{P_1}|=3 × \frac{1}{2} · AC · |y_B|$，
代入$AC=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$|y_B|=1$，解得$y_{P_1}=-3$，代入$y=2x-1$得$x=-1$，即$P_1(-1,-3)$；
②当点$P_2$在$BC$上方时，$S_{△ P_2AC}=S_{△ ABC}$，可得$\frac{1}{2} · AC · y_{P_2}=\frac{1}{2} · AC · |y_B|$，
代入数值解得$y_{P_2}=1$，代入$y=2x-1$得$x=1$，即$P_2(1,1)$。
综上所述，点P的坐标为$(-1,-3)$或$(1,1)$。
【答案】
(1) 直线BC的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{3}x-1}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$或$\boldsymbol{(1,1)}$。

【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数图象与交点；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，解题核心是熟练掌握一次函数交点坐标的求解方法，结合面积关系建立等式求解未知点坐标，需要注意当点的位置不唯一时，要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6