登录
5.在正方形ABCD中,点E是边AD上一动点,将正方形沿CE折叠,点A,B分别对应点F,G.
(1)如图
,当∠ECD=20°时,求∠DCG的度数.
(2)如图,当点E为AD的中点时,连接AF,FD,请判断△AFD的形状,并说明理由.
(3)如图,若AB=10,当∠FAD=30°时,射线CG上存在一点H,使△ECH是以∠CEH为顶角的等腰三角形,求HG的长度.
(1)如图
,当∠ECD=20°时,求∠DCG的度数.(2)如图,当点E为AD的中点时,连接AF,FD,请判断△AFD的形状,并说明理由.
(3)如图,若AB=10,当∠FAD=30°时,射线CG上存在一点H,使△ECH是以∠CEH为顶角的等腰三角形,求HG的长度.
答案
(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore ∠ BCD=90°, \therefore ∠ BCE=90°-∠ ECD=70°.$
由折叠的性质可知 $∠ ECG=∠ ECB=70°, \therefore ∠ DCG=∠ ECG-∠ ECD=70°-20°=50°.$
(2)$△ AFD$是直角三角形. 理由:由折叠的性质可知$EA=EF. \because$ 点$E$是$AD$的中点,$\therefore EA=ED=EF, \therefore ∠ AFD=90°, \therefore △ AFD$是直角三角形.
(3)如图,延长$AD$交$CG$的延长线于点$H.$
$\because EA = EF, \therefore ∠ EAF = ∠ EFA = 30°, \therefore ∠ DEF = ∠ EAF+∠ EFA=60°. \because$ 四边形$ABCD$是正方形, $\therefore AD // BC, \therefore ∠ DEC = ∠ BCE.$ 由折叠的性质可知 $∠ BCE = ∠ ECH, \therefore ∠ CED = ∠ ECH. \because EF // CH, \therefore ∠ ECG + ∠ CEF = 180°, \therefore 2 ∠ ECG + 60° = 180°, \therefore ∠ ECG = ∠ CEH = 60°, ∠ EHC = 180°-60°-60°=60°, \therefore △ ECH$是等边三角形,符合题目条件. $\because CD = AB = 10, \therefore CE = CH = \frac{20\sqrt{3}}{3}.$
$\because CG = CB = AB = 10, \therefore GH = CH - CG = \frac{20\sqrt{3}}{3}-10.$
解析
【分析】
(1) 求∠DCG度数时，先利用正方形内角为90°的性质，结合已知∠ECD的度数算出∠BCE；再根据折叠前后对应角相等，得到∠ECG与∠BCE相等，最后用∠ECG减去∠ECD即可求得结果。
(2) 判断△AFD形状时，先由折叠性质得EA=EF，再结合E是AD中点的条件，推导出EA=ED=EF，根据“若三角形一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形”，即可判断△AFD为直角三角形。
(3) 求HG长度时，先由EA=EF和∠FAD=30°算出∠DEF=60°；再结合正方形对边平行、折叠对应角相等的性质，推导出△ECH为等边三角形，计算出CH的长度；最后根据折叠得CG=CB=10，用CH减去CG即可得到HG的长。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCE=90°-∠ECD=90°-20°=70°。
由折叠的性质可知∠ECG=∠ECB=70°，
∴∠DCG=∠ECG-∠ECD=70°-20°=50°。
(2) △AFD是直角三角形，理由如下：
由折叠的性质可知EA=EF。
∵点E是AD的中点，
∴EA=ED=EF，
∴∠AFD=90°，
∴△AFD是直角三角形。
(3) 如图，延长AD交CG的延长线于点H。
∵EA = EF，
∴∠EAF = ∠EFA = 30°，
∴∠DEF = ∠EAF+∠EFA=60°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD // BC，
∴∠DEC = ∠BCE。
由折叠的性质可知 ∠BCE = ∠ECH，
∴∠CED = ∠ECH。
∵EF // CH，
∴∠ECG + ∠CEF = 180°，
∴2∠ECG + 60° = 180°，
∴∠ECG = ∠CEH = 60°，∠EHC = 180°-60°-60°=60°，
∴△ECH是等边三角形，符合题目条件。
∵CD = AB = 10，
∴CE = CH = $\frac{20\sqrt{3}}{3}$。
∵CG = CB = AB = 10，
∴GH = CH - CG = $\frac{20\sqrt{3}}{3}-10$。
【答案】
(1) $∠ DCG=50°$
(2) $△ AFD$是直角三角形，理由：由折叠的性质可知$EA=EF$. $\because$ 点$E$是$AD$的中点，$\therefore EA=ED=EF$，$\therefore ∠ AFD=90°$，$\therefore △ AFD$是直角三角形。
(3) 如图，延长$AD$交$CG$的延长线于点$H$.
$\because EA = EF$，$\therefore ∠ EAF = ∠ EFA = 30°$，$\therefore ∠ DEF = ∠ EAF+∠ EFA=60°$. $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD // BC$，$\therefore ∠ DEC = ∠ BCE$. 由折叠的性质可知 $∠ BCE = ∠ ECH$，$\therefore ∠ CED = ∠ ECH$. $\because EF // CH$，$\therefore ∠ ECG + ∠ CEF = 180°$，$\therefore 2 ∠ ECG + 60° = 180°$，$\therefore ∠ ECG = ∠ CEH = 60°$，$∠ EHC = 180°-60°-60°=60°$，$\therefore △ ECH$是等边三角形，符合题目条件. $\because CD = AB = 10$，$\therefore CE = CH = \frac{20\sqrt{3}}{3}$.
$\because CG = CB = AB = 10$，$\therefore GH = CH - CG = \frac{20\sqrt{3}}{3}-10$，即$HG$的长度为$\frac{20\sqrt{3}}{3}-10$。
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；特殊三角形的判定与性质
【点评】
本题为四边形综合题，以正方形的折叠变换为背景，考查了图形折叠的性质、正方形及特殊三角形的相关性质，解题时需要结合图形变换找到边角的等量关系，第三问需要合理构造辅助线，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
(1) 求∠DCG度数时，先利用正方形内角为90°的性质，结合已知∠ECD的度数算出∠BCE；再根据折叠前后对应角相等，得到∠ECG与∠BCE相等，最后用∠ECG减去∠ECD即可求得结果。
(2) 判断△AFD形状时，先由折叠性质得EA=EF，再结合E是AD中点的条件，推导出EA=ED=EF，根据“若三角形一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形”，即可判断△AFD为直角三角形。
(3) 求HG长度时，先由EA=EF和∠FAD=30°算出∠DEF=60°；再结合正方形对边平行、折叠对应角相等的性质，推导出△ECH为等边三角形，计算出CH的长度；最后根据折叠得CG=CB=10，用CH减去CG即可得到HG的长。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCE=90°-∠ECD=90°-20°=70°。
由折叠的性质可知∠ECG=∠ECB=70°，
∴∠DCG=∠ECG-∠ECD=70°-20°=50°。
(2) △AFD是直角三角形，理由如下：
由折叠的性质可知EA=EF。
∵点E是AD的中点，
∴EA=ED=EF，
∴∠AFD=90°，
∴△AFD是直角三角形。
(3) 如图，延长AD交CG的延长线于点H。
∵EA = EF，
∴∠EAF = ∠EFA = 30°，
∴∠DEF = ∠EAF+∠EFA=60°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD // BC，
∴∠DEC = ∠BCE。
由折叠的性质可知 ∠BCE = ∠ECH，
∴∠CED = ∠ECH。
∵EF // CH，
∴∠ECG + ∠CEF = 180°，
∴2∠ECG + 60° = 180°，
∴∠ECG = ∠CEH = 60°，∠EHC = 180°-60°-60°=60°，
∴△ECH是等边三角形，符合题目条件。
∵CD = AB = 10，
∴CE = CH = $\frac{20\sqrt{3}}{3}$。
∵CG = CB = AB = 10，
∴GH = CH - CG = $\frac{20\sqrt{3}}{3}-10$。
【答案】
(1) $∠ DCG=50°$
(2) $△ AFD$是直角三角形，理由：由折叠的性质可知$EA=EF$. $\because$ 点$E$是$AD$的中点，$\therefore EA=ED=EF$，$\therefore ∠ AFD=90°$，$\therefore △ AFD$是直角三角形。
(3) 如图，延长$AD$交$CG$的延长线于点$H$.
$\because EA = EF$，$\therefore ∠ EAF = ∠ EFA = 30°$，$\therefore ∠ DEF = ∠ EAF+∠ EFA=60°$. $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD // BC$，$\therefore ∠ DEC = ∠ BCE$. 由折叠的性质可知 $∠ BCE = ∠ ECH$，$\therefore ∠ CED = ∠ ECH$. $\because EF // CH$，$\therefore ∠ ECG + ∠ CEF = 180°$，$\therefore 2 ∠ ECG + 60° = 180°$，$\therefore ∠ ECG = ∠ CEH = 60°$，$∠ EHC = 180°-60°-60°=60°$，$\therefore △ ECH$是等边三角形，符合题目条件. $\because CD = AB = 10$，$\therefore CE = CH = \frac{20\sqrt{3}}{3}$.
$\because CG = CB = AB = 10$，$\therefore GH = CH - CG = \frac{20\sqrt{3}}{3}-10$，即$HG$的长度为$\frac{20\sqrt{3}}{3}-10$。
【知识点】
正方形的性质；折叠的性质；特殊三角形的判定与性质
【点评】
本题为四边形综合题，以正方形的折叠变换为背景，考查了图形折叠的性质、正方形及特殊三角形的相关性质，解题时需要结合图形变换找到边角的等量关系，第三问需要合理构造辅助线，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要作$60°,30°,15°$等大小的角时,可以采用下面的方法(如图):
(1)对折矩形纸片$ABCD$,使$AD$与$BC$重合,得到折痕$EF$,把纸片展平.
(2)再一次折叠纸片,使点$A$落在$EF$上,并使折痕经过点$B$,得到折痕$BM$和线段$BN$.
观察所得的$∠ ABM,∠ MBN$和$∠ NBC$.这三个角有什么关系?你能证明吗?
通过证明可知,$∠ ABM=∠ MBN=∠ NBC=30°$,这是利用矩形纸片,通过折纸得到$30°$角的好方法,简单又准确.由此,$15°,60°,120°,150°$等角也就容易得到了.
(1)对折矩形纸片$ABCD$,使$AD$与$BC$重合,得到折痕$EF$,把纸片展平.
(2)再一次折叠纸片,使点$A$落在$EF$上,并使折痕经过点$B$,得到折痕$BM$和线段$BN$.
观察所得的$∠ ABM,∠ MBN$和$∠ NBC$.这三个角有什么关系?你能证明吗?
通过证明可知,$∠ ABM=∠ MBN=∠ NBC=30°$,这是利用矩形纸片,通过折纸得到$30°$角的好方法,简单又准确.由此,$15°,60°,120°,150°$等角也就容易得到了.
答案
证明：
由第一次折叠的性质可知，EF垂直平分AB，
∴ $BE = \frac{1}{2}AB$，$∠ BEN = 90°$。
由第二次折叠的性质可知，$BN = AB$，$∠ ABM = ∠ MBN$，
∴ $BE = \frac{1}{2}BN$。
在$\mathrm{Rt}△ BEN$中，$∠ BEN = 90°$，$BE = \frac{1}{2}BN$，
∴ $∠ BNE = 30°$，
∴ $∠ EBN = 90° - 30° = 60°$，即$∠ ABN = 60°$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ ABC = 90°$，
∴ $∠ NBC = ∠ ABC - ∠ ABN = 90° - 60° = 30°$。
又∵ $∠ ABM = ∠ MBN$，且$∠ ABM + ∠ MBN = ∠ ABN = 60°$，
∴ $∠ ABM = ∠ MBN = 30°$。
综上可得：$∠ ABM = ∠ MBN = ∠ NBC = 30°$，三个角大小相等，均为$30°$。
由第一次折叠的性质可知，EF垂直平分AB，
∴ $BE = \frac{1}{2}AB$，$∠ BEN = 90°$。
由第二次折叠的性质可知，$BN = AB$，$∠ ABM = ∠ MBN$，
∴ $BE = \frac{1}{2}BN$。
在$\mathrm{Rt}△ BEN$中，$∠ BEN = 90°$，$BE = \frac{1}{2}BN$，
∴ $∠ BNE = 30°$，
∴ $∠ EBN = 90° - 30° = 60°$，即$∠ ABN = 60°$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ ABC = 90°$，
∴ $∠ NBC = ∠ ABC - ∠ ABN = 90° - 60° = 30°$。
又∵ $∠ ABM = ∠ MBN$，且$∠ ABM + ∠ MBN = ∠ ABN = 60°$，
∴ $∠ ABM = ∠ MBN = 30°$。
综上可得：$∠ ABM = ∠ MBN = ∠ NBC = 30°$，三个角大小相等，均为$30°$。
解析
【分析】
要判断三个角的关系，可结合折叠、矩形、直角三角形的性质逐步推导：首先根据折叠的性质，第一次对折矩形得到的EF是AB的垂直平分线，可得BE是AB的一半且∠BEN为直角；第二次折叠可知AB=BN、∠ABM=∠MBN，进而推出BE是BN的一半；再在直角△BEN中利用“直角三角形中若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°”求出∠EBN的度数，最后结合矩形的直角性质即可推导出三个角的大小关系。
【解析】
证明：由第一次折叠的性质可知，EF垂直平分AB，
∴ $BE = \frac{1}{2}AB$，$∠ BEN = 90°$。
由第二次折叠的性质可知，$BN = AB$，$∠ ABM = ∠ MBN$，
∴ $BE = \frac{1}{2}BN$。
在$\mathrm{Rt}△ BEN$中，$∠ BEN = 90°$，$BE = \frac{1}{2}BN$，
∴ $∠ BNE = 30°$，
∴ $∠ EBN = 90° - 30° = 60°$，即$∠ ABN = 60°$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ ABC = 90°$，
∴ $∠ NBC = ∠ ABC - ∠ ABN = 90° - 60° = 30°$。
又
∵ $∠ ABM = ∠ MBN$，且$∠ ABM + ∠ MBN = ∠ ABN = 60°$，
∴ $∠ ABM = ∠ MBN = 30°$。
综上可得：$∠ ABM = ∠ MBN = ∠ NBC = 30°$。
【答案】
$∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°$，三个角大小相等。
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题结合折纸操作考查几何性质的应用，解题核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的特点，结合特殊直角三角形和矩形的性质推导角度，该方法可以快速得到多个特殊角，兼具实用性和趣味性，有助于锻炼几何推理能力。
【难度系数】
0.6
要判断三个角的关系，可结合折叠、矩形、直角三角形的性质逐步推导：首先根据折叠的性质，第一次对折矩形得到的EF是AB的垂直平分线，可得BE是AB的一半且∠BEN为直角；第二次折叠可知AB=BN、∠ABM=∠MBN，进而推出BE是BN的一半；再在直角△BEN中利用“直角三角形中若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°”求出∠EBN的度数，最后结合矩形的直角性质即可推导出三个角的大小关系。
【解析】
证明：由第一次折叠的性质可知，EF垂直平分AB，
∴ $BE = \frac{1}{2}AB$，$∠ BEN = 90°$。
由第二次折叠的性质可知，$BN = AB$，$∠ ABM = ∠ MBN$，
∴ $BE = \frac{1}{2}BN$。
在$\mathrm{Rt}△ BEN$中，$∠ BEN = 90°$，$BE = \frac{1}{2}BN$，
∴ $∠ BNE = 30°$，
∴ $∠ EBN = 90° - 30° = 60°$，即$∠ ABN = 60°$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ ABC = 90°$，
∴ $∠ NBC = ∠ ABC - ∠ ABN = 90° - 60° = 30°$。
又
∵ $∠ ABM = ∠ MBN$，且$∠ ABM + ∠ MBN = ∠ ABN = 60°$，
∴ $∠ ABM = ∠ MBN = 30°$。
综上可得：$∠ ABM = ∠ MBN = ∠ NBC = 30°$。
【答案】
$∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°$，三个角大小相等。
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题结合折纸操作考查几何性质的应用，解题核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的特点，结合特殊直角三角形和矩形的性质推导角度，该方法可以快速得到多个特殊角，兼具实用性和趣味性，有助于锻炼几何推理能力。
【难度系数】
0.6
