1. 从拼音“shuxue”中随机抽取一个字母,抽中字母u的概率为 ()

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{6}$

1. A

【分析】要计算抽中字母u的概率，需先确定两个关键数据：一是拼音“shuxue”的总字母个数（所有等可能结果的总数），二是其中字母u的个数（所求事件的结果数），再根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算，最后对应选项得出答案。
【解析】首先，拼音“shuxue”的字母为s、h、u、x、u、e，总共有6个字母，即总情况数为6；其中字母u的个数为2，即抽中u的情况数为2。根据概率公式，抽中字母u的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】概率的计算
【点评】本题是概率的基础应用题，核心是准确统计总字母数和目标字母的数量，难度较低，只要细心数清个数即可正确解答。
【难度系数】0.8

2. 如图,有一电路连着三个开关,每个开关的闭合与断开是等可能的,若不考虑元件的故障因素,则电灯点亮的概率为 ()


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

2. B

【分析】要解决这个问题，首先明确电路的工作原理：开关$K_1$在干路，$K_2$与$K_3$并联，只有当$K_1$闭合，且$K_2$、$K_3$中至少有一个闭合时，电路才会导通，电灯才会点亮。由于每个开关闭合与断开的概率相等，先计算所有可能的开关状态总数，再找出电灯点亮的状态数，最后通过概率公式计算结果。
【解析】每个开关有闭合、断开2种状态，三个开关的总状态数为$2 × 2 × 2 = 8$种。
电灯点亮的条件：①干路开关$K_1$闭合；②并联的$K_2$、$K_3$至少有一个闭合。
满足条件的状态：$K_1$闭合（仅1种状态），$K_2$、$K_3$至少一个闭合的情况有：$(K_2闭合、K_3断开)$、$(K_2断开、K_3闭合)$、$(K_2闭合、K_3闭合)$，共3种。
因此电灯点亮的概率为$\frac{3}{8}$。
【答案】B
【知识点】电路通路判断、古典概型概率计算
【点评】本题将电路知识与概率计算结合，核心是明确电灯点亮的电路条件，再通过分析符合条件的开关状态计算概率，属于基础的跨学科应用题目，难度适中。
【难度系数】0.5

3. 如图是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并涂上图中所示的颜色.同时转动两个转盘,若转盘A转出红色,转盘B转出蓝色,或者转盘A转出蓝色,转盘B转出红色,则红色和蓝色在一起配成紫色,这种情况下小明获得音乐会门票;若两个转盘转出同种颜色,则小芳获得音乐会门票.
(1) 利用列表或画树状图的方法表示所有等可能出现的结果.
(2) 此规则公平吗? 请说明理由.

3. (1) 列表或画树状图略,所有可能的结果为(蓝,蓝)、(蓝,
红)、(蓝,黄)、(红,蓝)、(红,红)、(红,黄).
(2)此规则公平,理由略.

【分析】
要解决该问题，需先明确两个转盘的所有等可能结果：转盘A有红、蓝2种结果，转盘B有红、黄、蓝3种结果。通过列表或树状图可清晰列举所有组合结果，再分别计算小明和小芳获得门票的概率，比较两者概率是否相等，即可判断规则是否公平。
【解析】
(1) 用列表法表示所有等可能结果：
| 转盘A \ 转盘B | 红 | 黄 | 蓝 |
|---------------|------|------|------|
| 红 | (红,红) | (红,黄) | (红,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红) | (蓝,黄) | (蓝,蓝) |
所有等可能的结果为：(红,红)、(红,黄)、(红,蓝)、(蓝,红)、(蓝,黄)、(蓝,蓝)，共6种。
(2) 判断规则公平性：
小明获得门票的情况是“转盘A转出红色且转盘B转出蓝色，或转盘A转出蓝色且转盘B转出红色”，对应结果有(红,蓝)、(蓝,红)，共2种，因此小明获得门票的概率 $ P(小明)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $；
小芳获得门票的情况是“两个转盘转出同种颜色”，对应结果有(红,红)、(蓝,蓝)，共2种，因此小芳获得门票的概率 $ P(小芳)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $；
由于 $ P(小明)=P(小芳) $，故此规则公平。
【答案】
(1) 所有等可能的结果为(红,红)、(红,黄)、(红,蓝)、(蓝,红)、(蓝,黄)、(蓝,蓝)；
(2) 此规则公平。
【知识点】
概率计算、游戏公平性、列举法
【点评】
本题考查概率的基础应用，通过列举所有等可能结果计算概率，进而判断游戏公平性，需掌握列举法的使用及概率的基本计算方法，属于基础概率题。
【难度系数】
0.6

4. 如图是面积为6的正六边形ABCDEF飞镖游戏板,M、N分别为边EF、BC上的一点,若向该六边形飞镖游戏板投掷一枚飞镖,假设飞镖击中正六边形内的每一个位置是等可能的,击中图中阴影部分的边界或没有击中正六边形板,则重投一次,任意投掷飞镖一次,飞镖击中图中阴影部分的概率是 ()


A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{5}{6}$

4. A

【分析】要计算飞镖击中阴影部分的概率，需利用几何概率公式：概率=阴影部分面积÷正六边形总面积。首先回忆正六边形的性质，正六边形可被对角线AD分割为面积相等的两部分，且对边平行，结合三角形面积的计算，可推导出阴影部分面积与总面积的比例关系。
【解析】正六边形ABCDEF的面积为6，连接对角线AD，将正六边形分为面积各为3的两部分。由于M在EF、N在BC上，根据正六边形对边平行的性质，△AFM与△DEM的面积和等于正六边形上半部分（ADEF）面积的$\frac{1}{2}$，△ABN与△CDN的面积和等于正六边形下半部分（ABCD）面积的$\frac{1}{2}$，因此阴影部分总面积为$(3×\frac{1}{2})+(3×\frac{1}{2})=2$。根据几何概率公式，所求概率为$2÷6=\frac{1}{3}$。
【答案】A
【知识点】几何概率、正六边形性质、三角形面积
【点评】本题结合正六边形的对称性考查几何概率，核心是通过分割正六边形，利用三角形面积的关系求出阴影部分面积，需掌握正六边形的基本性质，难度中等。
【难度系数】0.5

5. 如图,点O为正方形的中心,点E、F分别在正方形的边上,且$∠ EOF=90°$,随机地往该正方形中投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率是.

5. $\frac{1}{4}$

【分析】要计算米粒落在阴影部分的概率，需先求阴影部分面积与正方形面积的比值。已知O是正方形中心，∠EOF=90°，可利用正方形的中心对称性和旋转的性质，将阴影部分转化为正方形面积的固定比例，进而求出概率。
【解析】设正方形的面积为$ S $。因为O是正方形的中心，根据正方形的中心对称性，将图形绕点O旋转90°后，OE与OF重合，此时可证明阴影部分的面积恰好等于正方形面积的$\frac{1}{4}$。因此，米粒落在阴影部分的概率为$\frac{阴影部分面积}{正方形面积} = \frac{1}{4}$。
【答案】$\frac{1}{4}$
【知识点】几何概率，正方形的性质，旋转的性质
【点评】本题结合正方形的中心对称性，通过旋转转化阴影面积，简化了不规则图形面积的计算，是几何概率的典型基础题，考查学生对图形变换的应用能力。
【难度系数】0.3

6. 从$-1,0,1,2,3$这五个数中,随机取出一个数,记为$a$,那么使关于$x$的方程$\frac{2x+a}{2}=1$有解,且使关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x+a=0$有两个不相等的实数根的概率为.

6. $\frac{4}{5}$

【分析】
首先确定从5个数中随机取a的总情况数，再分别分析两个方程的条件：先判断一元一次方程是否总有解，再利用一元二次方程根的判别式求出满足条件的a的范围，统计符合两个条件的a的个数，最后计算概率。
【解析】
1. 总情况：从$-1,0,1,2,3$中随机取一个数，共5种等可能结果。
2. 分析方程$\frac{2x+a}{2}=1$：
去分母得$2x+a=2$，解得$x=\frac{2-a}{2}$，该方程对任意实数a都有解，因此第一个条件对所有a均成立。
3. 分析一元二次方程$x^2-3x+a=0$有两个不相等的实数根：
判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×a=9-4a$，需$\Delta＞0$，即$9-4a＞0$，解得$a＜2.25$。
4. 统计符合条件的a：在$-1,0,1,2,3$中，满足$a＜2.25$的数为$-1,0,1,2$，共4个。
5. 计算概率：概率=符合条件的个数÷总个数=$\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式、概率计算
【点评】
本题结合方程解的情况与概率知识，需先分析两个方程的条件，再统计符合要求的数，考查学生的逻辑分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.5