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2. 为估计一片森林中某种鸟类的总数量,生物学家先捕捉了50只该种鸟,在鸟的腿上佩戴专属脚环做标记后,将其放回森林.待标记鸟完全融入鸟群后,再次进行捕捉,多次抽样后发现:平均每100只被捕捉的鸟中,有2只带有脚环.请你估计这片森林中该种鸟类的总数量.
答案
2. 设森林中该种鸟类的总数量为x只.根据标记重捕法的核心
原理:标记个体数÷总数量=重捕中标记个体数÷重捕总数
量,可列比例式:$\frac{50}{x}=\frac{2}{100}$ 解得:$x=2500$.
原理:标记个体数÷总数量=重捕中标记个体数÷重捕总数
量,可列比例式:$\frac{50}{x}=\frac{2}{100}$ 解得:$x=2500$.
解析
【分析】
本题采用标记重捕法估计鸟类总数量，核心原理是：标记个体放回森林后会均匀融入整个种群，因此标记个体数与种群总数量的比值，等于重捕中标记个体数与重捕总数的比值。解题时先设该种鸟类总数量为未知数，再根据上述比例关系列方程求解。
【解析】
设这片森林中该种鸟类的总数量为$ x $只。
根据标记重捕法的原理，可列比例式：$\frac{50}{x} = \frac{2}{100}$，
交叉相乘得：$2x = 50×100$，
计算得：$2x = 5000$，
解得：$x = 2500$。
【答案】
2500只
【知识点】
标记重捕法、一元一次方程应用
【点评】
本题考查标记重捕法在实际统计问题中的应用，解题关键是理解标记重捕法的比例关系，属于基础应用题型，能帮助学生巩固方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题采用标记重捕法估计鸟类总数量，核心原理是：标记个体放回森林后会均匀融入整个种群，因此标记个体数与种群总数量的比值，等于重捕中标记个体数与重捕总数的比值。解题时先设该种鸟类总数量为未知数，再根据上述比例关系列方程求解。
【解析】
设这片森林中该种鸟类的总数量为$ x $只。
根据标记重捕法的原理，可列比例式：$\frac{50}{x} = \frac{2}{100}$，
交叉相乘得：$2x = 50×100$，
计算得：$2x = 5000$，
解得：$x = 2500$。
【答案】
2500只
【知识点】
标记重捕法、一元一次方程应用
【点评】
本题考查标记重捕法在实际统计问题中的应用，解题关键是理解标记重捕法的比例关系，属于基础应用题型，能帮助学生巩固方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
3. 为估计某自然保护区中某种野兔的总数量,生态学家采用"捉放捉"的方法:先捕捉该种野兔p只,给每只野兔做上不影响其活动的标记后,放回保护区;一段时间后,待标记野兔完全混合于兔群,再次进行多次捕捉,统计得平均每q只被捕捉的野兔中,有b只带有标记.请用含p,q,b的代数式表示该保护区中这种野兔的总数量.
答案
3. 设该保护区中这种野兔的总数量为x只.根据标记重捕法的
核心原理:总体中标记个体的概率=样本中标记个体的频
率,可列比例式:$x:p=q:b$,解得:$x=\frac{pq}{b}$.
核心原理:总体中标记个体的概率=样本中标记个体的频
率,可列比例式:$x:p=q:b$,解得:$x=\frac{pq}{b}$.
解析
【分析】本题是利用标记重捕法估计总体数量的问题，核心原理是：总体中标记个体的占比与重捕样本中标记个体的占比相等。我们先设野兔总数量为未知数，再根据该占比相等的关系建立比例式，最后求解未知数即可。
【解析】设该保护区中这种野兔的总数量为$ x $只。根据标记重捕法的原理，总体中标记个体的比例等于重捕样本中标记个体的比例，可列比例式：$\frac{p}{x} = \frac{b}{q}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：$ b x = p q $，解得$ x = \frac{p q}{b} $。
【答案】$\frac{pq}{b}$
【知识点】比例的应用；抽样估计
【点评】本题是标记重捕法在实际问题中的典型应用，核心是利用比例关系建立等量方程，属于基础代数应用题，只要理解原理即可顺利解答。
【难度系数】0.6
【解析】设该保护区中这种野兔的总数量为$ x $只。根据标记重捕法的原理，总体中标记个体的比例等于重捕样本中标记个体的比例，可列比例式：$\frac{p}{x} = \frac{b}{q}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：$ b x = p q $，解得$ x = \frac{p q}{b} $。
【答案】$\frac{pq}{b}$
【知识点】比例的应用；抽样估计
【点评】本题是标记重捕法在实际问题中的典型应用，核心是利用比例关系建立等量方程，属于基础代数应用题，只要理解原理即可顺利解答。
【难度系数】0.6
4. 一只不透明的袋子中装有若干个黄球和蓝球,这些球除颜色外都相同.某学习小组做摸球试验:将球搅匀后从中任意摸出1个球,记下颜色后放回、搅匀,不断重复这个过程,获得数据如下:
(1) 填写表中的空格,结果保留三位小数;
(2) 当摸球次数很大时,摸到黄球的概率的估计值是多少?结果保留两位小数
(3) 如果已知袋子中有黄球30个,试估计袋子中蓝球的个数.
(1) 填写表中的空格,结果保留三位小数;
(2) 当摸球次数很大时,摸到黄球的概率的估计值是多少?结果保留两位小数
(3) 如果已知袋子中有黄球30个,试估计袋子中蓝球的个数.
答案
4. (1)计算各频率:
118÷200=0.590
236÷400=0.590
354÷600=0.590
472÷800=0.590
590÷1000=0.590
1180÷2000=0.590
(2)当试验次数很大时,频率稳定在概率附近,因此摸到黄球
的概率估计值为0.59.
(3)设袋子中球的总个数为x,由概率估计值可得:$\frac{30}{x}=$
0.59,解得$x≈51$(总个数取整数),因此蓝球个数约为51-
30=21(个).
118÷200=0.590
236÷400=0.590
354÷600=0.590
472÷800=0.590
590÷1000=0.590
1180÷2000=0.590
(2)当试验次数很大时,频率稳定在概率附近,因此摸到黄球
的概率估计值为0.59.
(3)设袋子中球的总个数为x,由概率估计值可得:$\frac{30}{x}=$
0.59,解得$x≈51$(总个数取整数),因此蓝球个数约为51-
30=21(个).
解析
【分析】
本题分为三小问，首先需明确频率的计算方法（频率=频数÷试验次数），通过计算各次试验的频率完成第一问；接着根据“大量重复试验时，频率稳定在概率附近”的规律，估计摸到黄球的概率；最后利用概率公式，结合已知黄球个数求出总球数，进而得到蓝球个数。
【解析】
(1) 根据频率公式$\frac{m}{n}$，分别计算各次试验的摸到黄球的频率：
当$n=200$时，$\frac{118}{200}=0.590$；
当$n=400$时，$\frac{236}{400}=0.590$；
当$n=600$时，$\frac{354}{600}=0.590$；
当$n=800$时，$\frac{472}{800}=0.590$；
当$n=1000$时，$\frac{590}{1000}=0.590$；
当$n=2000$时，$\frac{1180}{2000}=0.590$。
(2) 当摸球次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率的估计值。观察上述计算的频率，均稳定在0.590附近，因此摸到黄球的概率的估计值为0.59。
(3) 设袋子中球的总个数为$x$，根据概率估计值，摸到黄球的概率为0.59，可得：
$\frac{30}{x}=0.59$，
解得$x=\frac{30}{0.59}\approx51$（总个数取整数），
则蓝球的个数为$51 - 30 = 21$（个）。
【答案】
(1) 表格中依次填写：0.590，0.590，0.590，0.590，0.590，0.590；
(2) 0.59；
(3) 21个。
【知识点】
频率与概率，用频率估计概率，概率的应用
【点评】
本题是概率应用的基础题，核心是掌握“大量重复试验中频率稳定于概率”的性质，解题时需准确计算频率，再结合概率公式解决实际问题，步骤明确，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为三小问，首先需明确频率的计算方法（频率=频数÷试验次数），通过计算各次试验的频率完成第一问；接着根据“大量重复试验时，频率稳定在概率附近”的规律，估计摸到黄球的概率；最后利用概率公式，结合已知黄球个数求出总球数，进而得到蓝球个数。
【解析】
(1) 根据频率公式$\frac{m}{n}$，分别计算各次试验的摸到黄球的频率：
当$n=200$时，$\frac{118}{200}=0.590$；
当$n=400$时，$\frac{236}{400}=0.590$；
当$n=600$时，$\frac{354}{600}=0.590$；
当$n=800$时，$\frac{472}{800}=0.590$；
当$n=1000$时，$\frac{590}{1000}=0.590$；
当$n=2000$时，$\frac{1180}{2000}=0.590$。
(2) 当摸球次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率的估计值。观察上述计算的频率，均稳定在0.590附近，因此摸到黄球的概率的估计值为0.59。
(3) 设袋子中球的总个数为$x$，根据概率估计值，摸到黄球的概率为0.59，可得：
$\frac{30}{x}=0.59$，
解得$x=\frac{30}{0.59}\approx51$（总个数取整数），
则蓝球的个数为$51 - 30 = 21$（个）。
【答案】
(1) 表格中依次填写：0.590，0.590，0.590，0.590，0.590，0.590；
(2) 0.59；
(3) 21个。
【知识点】
频率与概率，用频率估计概率，概率的应用
【点评】
本题是概率应用的基础题，核心是掌握“大量重复试验中频率稳定于概率”的性质，解题时需准确计算频率，再结合概率公式解决实际问题，步骤明确，难度适中。
【难度系数】
0.6
