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一、选择题
1. 若方程$x^2 - 2x + m = 0$没有实数根，则$m$的值可以是 （
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
1. 若方程$x^2 - 2x + m = 0$没有实数根，则$m$的值可以是 （
D
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路可分为四步：第一步，明确一元二次方程没有实数根的判定条件：当根的判别式$\Delta＜0$时，方程无实数根；第二步，确定给定方程中对应$a、b、c$的取值，代入判别式公式列出关于$m$的不等式；第三步，解不等式得到$m$的取值范围；第四步，逐一比对选项，选出符合取值范围的结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，其与方程根的对应关系为：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
在方程$x^2-2x+m=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m$，代入判别式得：
$\Delta=(-2)^2-4×1× m=4-4m$
已知方程没有实数根，因此$\Delta＜0$，即：
$4-4m＜0$
解该不等式：
移项得$4＜4m$，两边同时除以4得$m＞1$。
逐一核对选项：A.$-1＜1$，不符合；B.$0＜1$，不符合；C.$1=1$，不符合；D.$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对根的判别式相关性质的理解和应用能力，只要熟练掌握判别式与方程根的情况的对应关系，准确计算判别式、解不等式即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路可分为四步：第一步，明确一元二次方程没有实数根的判定条件：当根的判别式$\Delta＜0$时，方程无实数根；第二步，确定给定方程中对应$a、b、c$的取值，代入判别式公式列出关于$m$的不等式；第三步，解不等式得到$m$的取值范围；第四步，逐一比对选项，选出符合取值范围的结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，其与方程根的对应关系为：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
在方程$x^2-2x+m=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m$，代入判别式得：
$\Delta=(-2)^2-4×1× m=4-4m$
已知方程没有实数根，因此$\Delta＜0$，即：
$4-4m＜0$
解该不等式：
移项得$4＜4m$，两边同时除以4得$m＞1$。
逐一核对选项：A.$-1＜1$，不符合；B.$0＜1$，不符合；C.$1=1$，不符合；D.$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对根的判别式相关性质的理解和应用能力，只要熟练掌握判别式与方程根的情况的对应关系，准确计算判别式、解不等式即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
2. 一元二次方程 $ x^2 - 4x - 1 = 0 $ 配方后可化为 $\quad (\quad)$
A.$ (x+2)^2 = 3 $
B.$ (x+2)^2 = 5 $
C.$ (x-2)^2 = 3 $
D.$ (x-2)^2 = 5 $
A.$ (x+2)^2 = 3 $
B.$ (x+2)^2 = 5 $
C.$ (x-2)^2 = 3 $
D.$ (x-2)^2 = 5 $
答案
2. D
解析
【分析】
要解决一元二次方程的配方问题，首先回忆配方法的基本步骤：第一步先将常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，第三步将左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项即可得到配方后的结果。本题按照上述步骤逐步计算即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 4x - 1 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 4x = 1$
2. 一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2 = 4$，在等号两边同时加4，得：$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$
3. 左侧根据完全平方公式整理为平方式，右侧合并常数项，得：$(x-2)^2 = 5$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤，注意移项时符号变化、配方时等式两边需同时加相同的数，是正确解题的核心。
【难度系数】
0.8
要解决一元二次方程的配方问题，首先回忆配方法的基本步骤：第一步先将常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，第三步将左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项即可得到配方后的结果。本题按照上述步骤逐步计算即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 4x - 1 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 4x = 1$
2. 一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2 = 4$，在等号两边同时加4，得：$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$
3. 左侧根据完全平方公式整理为平方式，右侧合并常数项，得：$(x-2)^2 = 5$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤，注意移项时符号变化、配方时等式两边需同时加相同的数，是正确解题的核心。
【难度系数】
0.8
3. 若$a^2+(b-1)^2=0$,则下列关于$x$的方程中是一元二次方程的是 (
A.$ax^2+(b-c)x-1=0$
B.$(b-1)x^2+(2-a)x=0$
C.$(b^2-1)x^2-2(a+1)x=5$
D.$(a-1)x^2-bx-2=0$
D
)A.$ax^2+(b-c)x-1=0$
B.$(b-1)x^2+(2-a)x=0$
C.$(b^2-1)x^2-2(a+1)x=5$
D.$(a-1)x^2-bx-2=0$
答案
3. D
解析
【分析】
首先根据非负数的性质：若干个非负数的和为0时，每个非负数都为0，可求出a、b的取值。再结合一元二次方程的判定条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，将a、b的值代入各选项逐一验证即可。
【解析】
解：
∵$a^2≥0$，$(b-1)^2≥0$，且$a^2+(b-1)^2=0$
∴$a^2=0$，$(b-1)^2=0$
解得$a=0$，$b=1$
一元二次方程需满足二次项系数不为0，逐一判断选项：
A选项：二次项系数为$a=0$，方程退化为一元一次方程，不符合要求；
B选项：二次项系数为$b-1=1-1=0$，方程退化为一元一次方程，不符合要求；
C选项：二次项系数为$b^2-1=1^2-1=0$，方程退化为一元一次方程，不符合要求；
D选项：二次项系数为$a-1=0-1=-1≠0$，方程为$-x^2 -x -2=0$，满足一元二次方程的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念结合类题目，解题的关键是先利用非负数的性质求出a、b的取值，再结合一元二次方程的判定条件筛选，需特别注意一元二次方程的二次项系数不能为0这个隐含限制，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
首先根据非负数的性质：若干个非负数的和为0时，每个非负数都为0，可求出a、b的取值。再结合一元二次方程的判定条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，将a、b的值代入各选项逐一验证即可。
【解析】
解：
∵$a^2≥0$，$(b-1)^2≥0$，且$a^2+(b-1)^2=0$
∴$a^2=0$，$(b-1)^2=0$
解得$a=0$，$b=1$
一元二次方程需满足二次项系数不为0，逐一判断选项：
A选项：二次项系数为$a=0$，方程退化为一元一次方程，不符合要求；
B选项：二次项系数为$b-1=1-1=0$，方程退化为一元一次方程，不符合要求；
C选项：二次项系数为$b^2-1=1^2-1=0$，方程退化为一元一次方程，不符合要求；
D选项：二次项系数为$a-1=0-1=-1≠0$，方程为$-x^2 -x -2=0$，满足一元二次方程的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念结合类题目，解题的关键是先利用非负数的性质求出a、b的取值，再结合一元二次方程的判定条件筛选，需特别注意一元二次方程的二次项系数不能为0这个隐含限制，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
4. [2025·洛阳一模]若关于$ x $的一元二次方程$ kx^2 - 2x - 1 = 0 $有两个不相等的实数根,则$ k $的取值范围 (
A.$ k ＞ -1 $
B.$ k ＞ -1 $且$ k ≠ 0 $
C.$ k ＜ 1 $
D.$ k ＜ 1 $且$ k ≠ 0 $
B
)A.$ k ＞ -1 $
B.$ k ＞ -1 $且$ k ≠ 0 $
C.$ k ＜ 1 $
D.$ k ＜ 1 $且$ k ≠ 0 $
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这道题，需要从两个关键条件入手思考：第一，题目明确说明是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，否则方程就变成一次方程，不符合题意；第二，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，代入对应系数计算判别式、解不等式，最后结合两个条件就能得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程是一元二次方程
∴ 二次项系数k≠0
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式Δ＞0
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），$\Delta = b^2-4ac$
本题中$a=k$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× k× (-1) = 4 + 4k ＞ 0$
解不等式$4+4k＞0$：
$4k ＞ -4$，即$k ＞ -1$
综上，k的取值范围是$k ＞ -1$且$k≠0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程要求二次项系数不为0”这个隐含条件，仅通过判别式求解得到$k＞-1$错选A，解题时要注意结合题目所有条件全面分析。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需要从两个关键条件入手思考：第一，题目明确说明是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，否则方程就变成一次方程，不符合题意；第二，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，代入对应系数计算判别式、解不等式，最后结合两个条件就能得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程是一元二次方程
∴ 二次项系数k≠0
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式Δ＞0
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），$\Delta = b^2-4ac$
本题中$a=k$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× k× (-1) = 4 + 4k ＞ 0$
解不等式$4+4k＞0$：
$4k ＞ -4$，即$k ＞ -1$
综上，k的取值范围是$k ＞ -1$且$k≠0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程要求二次项系数不为0”这个隐含条件，仅通过判别式求解得到$k＞-1$错选A，解题时要注意结合题目所有条件全面分析。
【难度系数】
0.7
