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3. 抽得甲、乙两种小麦各100株,测得株高结果为$\overline{x}_甲=0.95$,$\overline{x}_乙=0.95$,$s^2_甲=1.01$,$s^2_乙=1.35$,由此可见________种小麦株高整齐一些.
答案
3.甲
解析
【分析】要判断哪种小麦株高更整齐，本质是比较两组株高数据的波动大小。我们学过方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据波动越小、越整齐。首先观察两组数据的平均数，甲乙平均株高相等，说明整体平均水平一致，接下来只需比较二者方差的大小，方差更小的品种株高更整齐。
【解析】方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据偏离平均数的程度越小，即波动越小，数据越稳定、整齐。
由题可知，$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=0.95$，两种小麦的平均株高相同；
又$s^2_甲=1.01$，$s^2_乙=1.35$，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，因此甲种小麦的株高波动更小，更整齐。
【答案】甲
【知识点】方差的意义；数据稳定性判断
【点评】本题是方差在实际问题中的应用，解题的核心是理解方差越小数据越稳定的性质，需注意只有当两组数据的平均数相近或相同时，直接比较方差判断稳定性才有意义。
【难度系数】0.9
【解析】方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据偏离平均数的程度越小，即波动越小，数据越稳定、整齐。
由题可知，$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=0.95$，两种小麦的平均株高相同；
又$s^2_甲=1.01$，$s^2_乙=1.35$，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，因此甲种小麦的株高波动更小，更整齐。
【答案】甲
【知识点】方差的意义；数据稳定性判断
【点评】本题是方差在实际问题中的应用，解题的核心是理解方差越小数据越稳定的性质，需注意只有当两组数据的平均数相近或相同时，直接比较方差判断稳定性才有意义。
【难度系数】0.9
三、解答题
[2024·河南九年级学情调研]郑州某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试,已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同,小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表,并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程.
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式,计算过程如下:
$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}×[(36-38)^{2}+(38-38)^{2}+(37-38)^{2}+(39-38)^{2}+(40-38)^{2}]=2.$
根据上述信息,完成下列各题.
(1)$a$的值是
(2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩,你认为谁的体育成绩更好?并说明理由.
(3)如果甲再测试一次,第六次模拟测试成绩为38分,与前五次相比,甲六次模拟测试成绩的方差
[2024·河南九年级学情调研]郑州某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试,已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同,小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表,并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程.
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式,计算过程如下:
$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}×[(36-38)^{2}+(38-38)^{2}+(37-38)^{2}+(39-38)^{2}+(40-38)^{2}]=2.$
根据上述信息,完成下列各题.
(1)$a$的值是
39
.(2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩,你认为谁的体育成绩更好?并说明理由.
(3)如果甲再测试一次,第六次模拟测试成绩为38分,与前五次相比,甲六次模拟测试成绩的方差
变小
.(填“变大”“变小”或“不变”)答案
(1)39
解法提示：
由乙的方差公式$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}×[(36-38)^{2}+(38-38)^{2}+(37-38)^{2}+(39-38)^{2}+(40-38)^{2}]=2$可知,乙的平均数是38.
甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同,
∴他们的平均成绩也一样.
∴甲的平均数是38.
∴$a=38×5-35-39-37-40=39$.
(2)解:乙的体育成绩更好.
$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}×[(35-38)^{2}+(39-38)^{2}+(37-38)^{2}+(39 -38)^{2}+(40-38)^{2}]=3.2$.
∵$\overline x_甲=\overline x_乙$,$s^{2}_{乙}＜s^{2}_{甲}$,
∴乙的成绩更稳定.
∴乙的体育成绩更好.
(3)变小
解法提示:若第六次模拟测试成绩为38分,则平均数不变,此时甲的方差为$\frac{1}{6}×[(35-38)^{2}+(39-38)^{2}+(37-38)^{2}+(39-38)^{2}+(40-38)^{2}+(38-38)^{2}]=\frac{8}{3}$.
∴变小了.
解法提示：
由乙的方差公式$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}×[(36-38)^{2}+(38-38)^{2}+(37-38)^{2}+(39-38)^{2}+(40-38)^{2}]=2$可知,乙的平均数是38.
甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同,
∴他们的平均成绩也一样.
∴甲的平均数是38.
∴$a=38×5-35-39-37-40=39$.
(2)解:乙的体育成绩更好.
$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}×[(35-38)^{2}+(39-38)^{2}+(37-38)^{2}+(39 -38)^{2}+(40-38)^{2}]=3.2$.
∵$\overline x_甲=\overline x_乙$,$s^{2}_{乙}＜s^{2}_{甲}$,
∴乙的成绩更稳定.
∴乙的体育成绩更好.
(3)变小
解法提示:若第六次模拟测试成绩为38分,则平均数不变,此时甲的方差为$\frac{1}{6}×[(35-38)^{2}+(39-38)^{2}+(37-38)^{2}+(39-38)^{2}+(40-38)^{2}+(38-38)^{2}]=\frac{8}{3}$.
∴变小了.
解析
【分析】
(1) 求a的值时，首先从乙的方差公式可提取出乙的平均成绩，再结合甲乙总分相等可得甲的平均成绩，最后用甲的总分减去已知四次成绩即可算出a。
(2) 比较两人成绩好坏，先看平均成绩，平均成绩相同时比较方差：方差越小，成绩越稳定。因此先计算甲的方差，再和乙的方差对比即可判断。
(3) 判断加入第六次成绩后方差的变化，先确认新的平均成绩和原平均成绩一致，新增成绩与平均成绩的差为0，即方差计算时分子的平方和不变，分母变大，因此方差会变小。
【解析】
(1) 由乙的方差计算式可知，乙五次成绩的平均数$\overline{x}_乙=38$。
因为甲、乙五次模拟测试成绩总分相同，所以两人平均成绩相等，即$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=38$。
甲五次测试的总分为$38×5=190$，因此$a=190-35-39-37-40=39$。
(2) 乙的体育成绩更好，理由如下：
计算甲的方差：
$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}×[(35-38)^2+(39-38)^2+(37-38)^2+(39-38)^2+(40-38)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+1+1+1+4)=3.2$
已知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=38$，且$s^{2}_乙=2＜s^{2}_甲=3.2$，说明乙的成绩更稳定，因此乙的体育成绩更好。
(3) 加入第六次成绩38分后，甲六次成绩的平均分为$\frac{190+38}{6}=38$，和原平均成绩相同。
此时六次成绩的方差为：
$s'^2=\frac{1}{6}×[(35-38)^2+(39-38)^2+(37-38)^2+(39-38)^2+(40-38)^2+(38-38)^2]$
$=\frac{1}{6}×16=\frac{8}{3}\approx2.67＜3.2$
因此方差变小。
【答案】
(1) $\boxed{39}$
(2) 乙的体育成绩更好，理由：甲乙平均成绩相同，乙的方差更小，成绩更稳定
(3) $\boxed{变小}$
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题结合体育测试的实际情境考查统计中平均数和方差的应用，侧重对基础概念的理解和计算能力的考查，解题核心是掌握方差越小数据波动越小、成绩越稳定的性质。
【难度系数】
0.7
(1) 求a的值时，首先从乙的方差公式可提取出乙的平均成绩，再结合甲乙总分相等可得甲的平均成绩，最后用甲的总分减去已知四次成绩即可算出a。
(2) 比较两人成绩好坏，先看平均成绩，平均成绩相同时比较方差：方差越小，成绩越稳定。因此先计算甲的方差，再和乙的方差对比即可判断。
(3) 判断加入第六次成绩后方差的变化，先确认新的平均成绩和原平均成绩一致，新增成绩与平均成绩的差为0，即方差计算时分子的平方和不变，分母变大，因此方差会变小。
【解析】
(1) 由乙的方差计算式可知，乙五次成绩的平均数$\overline{x}_乙=38$。
因为甲、乙五次模拟测试成绩总分相同，所以两人平均成绩相等，即$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=38$。
甲五次测试的总分为$38×5=190$，因此$a=190-35-39-37-40=39$。
(2) 乙的体育成绩更好，理由如下：
计算甲的方差：
$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}×[(35-38)^2+(39-38)^2+(37-38)^2+(39-38)^2+(40-38)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+1+1+1+4)=3.2$
已知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=38$，且$s^{2}_乙=2＜s^{2}_甲=3.2$，说明乙的成绩更稳定，因此乙的体育成绩更好。
(3) 加入第六次成绩38分后，甲六次成绩的平均分为$\frac{190+38}{6}=38$，和原平均成绩相同。
此时六次成绩的方差为：
$s'^2=\frac{1}{6}×[(35-38)^2+(39-38)^2+(37-38)^2+(39-38)^2+(40-38)^2+(38-38)^2]$
$=\frac{1}{6}×16=\frac{8}{3}\approx2.67＜3.2$
因此方差变小。
【答案】
(1) $\boxed{39}$
(2) 乙的体育成绩更好，理由：甲乙平均成绩相同，乙的方差更小，成绩更稳定
(3) $\boxed{变小}$
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题结合体育测试的实际情境考查统计中平均数和方差的应用，侧重对基础概念的理解和计算能力的考查，解题核心是掌握方差越小数据波动越小、成绩越稳定的性质。
【难度系数】
0.7
四、趣味题
这个游戏要求像下面左图一样,通过连续移动,从起点到达终点,每次分别移动1,2,3,4,5个格,最后一步正好到达终点.请完成右图.
这个游戏要求像下面左图一样,通过连续移动,从起点到达终点,每次分别移动1,2,3,4,5个格,最后一步正好到达终点.请完成右图.
答案
（答案不唯一）解析
【分析】
首先明确题目规则：从起点出发共移动5次，每次分别移动1、2、3、4、5格（每个长度恰好使用1次），每次仅可沿水平或竖直方向移动，最终恰好到达终点。解题思路如下：
1. 先确定起点和终点的相对位置，计算二者的横向差、纵向差（即曼哈顿距离，横向差+纵向差）；
2. 计算总移动长度为$1+2+3+4+5=15$格，由于往返移动（如向左走x格再向右走x格）不会改变最终位置，只会增加$2x$的总路程，因此只要曼哈顿距离≤15且二者差为偶数，就存在可行路径；
3. 规划5次移动的方向和对应长度，使横向总偏移等于起点到终点的横向差、纵向总偏移等于纵向差即可。
【解析】
我们可以通过坐标法分析：设起点坐标为$(0,0)$，经观察终点坐标为$(2,7)$，需满足5次移动后横坐标累计变化为2，纵坐标累计变化为7。
可按以下路径移动：
1. 选择1格长度：竖直向上移动1格，坐标变为$(0,1)$，纵坐标累计+1；
2. 选择2格长度：竖直向上移动2格，坐标变为$(0,3)$，纵坐标累计+3；
3. 选择3格长度：水平向左移动3格，坐标变为$(-3,3)$，横坐标累计-3；
4. 选择4格长度：竖直向上移动4格，坐标变为$(-3,7)$，纵坐标累计+7，和终点纵向位置一致；
5. 选择5格长度：水平向右移动5格，坐标变为$(2,7)$，横坐标累计$-3+5=+2$，和终点横向位置一致，到达终点。
路径可参考参考答案所示，答案不唯一。
【答案】
【知识点】
平移的性质；整数加减运算；路径规划
【点评】
本题是趣味实践类题目，将平移、整数运算的知识结合到路径规划中，需要我们结合规则灵活调整移动方向，答案不唯一，有利于锻炼逻辑思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
首先明确题目规则：从起点出发共移动5次，每次分别移动1、2、3、4、5格（每个长度恰好使用1次），每次仅可沿水平或竖直方向移动，最终恰好到达终点。解题思路如下：
1. 先确定起点和终点的相对位置，计算二者的横向差、纵向差（即曼哈顿距离，横向差+纵向差）；
2. 计算总移动长度为$1+2+3+4+5=15$格，由于往返移动（如向左走x格再向右走x格）不会改变最终位置，只会增加$2x$的总路程，因此只要曼哈顿距离≤15且二者差为偶数，就存在可行路径；
3. 规划5次移动的方向和对应长度，使横向总偏移等于起点到终点的横向差、纵向总偏移等于纵向差即可。
【解析】
我们可以通过坐标法分析：设起点坐标为$(0,0)$，经观察终点坐标为$(2,7)$，需满足5次移动后横坐标累计变化为2，纵坐标累计变化为7。
可按以下路径移动：
1. 选择1格长度：竖直向上移动1格，坐标变为$(0,1)$，纵坐标累计+1；
2. 选择2格长度：竖直向上移动2格，坐标变为$(0,3)$，纵坐标累计+3；
3. 选择3格长度：水平向左移动3格，坐标变为$(-3,3)$，横坐标累计-3；
4. 选择4格长度：竖直向上移动4格，坐标变为$(-3,7)$，纵坐标累计+7，和终点纵向位置一致；
5. 选择5格长度：水平向右移动5格，坐标变为$(2,7)$，横坐标累计$-3+5=+2$，和终点横向位置一致，到达终点。
路径可参考参考答案所示，答案不唯一。
【答案】
【知识点】
平移的性质；整数加减运算；路径规划
【点评】
本题是趣味实践类题目，将平移、整数运算的知识结合到路径规划中，需要我们结合规则灵活调整移动方向，答案不唯一，有利于锻炼逻辑思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
