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一、选择题
1. 洛阳某中学“研究学习小组”的同学们进行了社会实践活动,其中一个小组的同学调查了30户家庭某月的用水量,如表所示:
则这30户家庭用水量的众数和中位数分别是 （
A.$25,27$
B.$25,25$
C.$30,27$
D.$30,25$
1. 洛阳某中学“研究学习小组”的同学们进行了社会实践活动,其中一个小组的同学调查了30户家庭某月的用水量,如表所示:
则这30户家庭用水量的众数和中位数分别是 （
D
）A.$25,27$
B.$25,25$
C.$30,27$
D.$30,25$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，需明确众数和中位数的定义，分两步计算：第一步求众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，只需找到对应户数最多的用水量即可；第二步求中位数，30户的用水量共30个数据（偶数个），中位数是数据从小到大排列后第15个和第16个数据的平均数，通过累加户数确定第15、16个数据对应的用水量，再计算平均数即可得到中位数。
【解析】
1. 求众数：观察表格可知，用水量30吨对应的户数为9，是所有用水量中对应户数最多的，因此这组数据的众数是30。
2. 求中位数：将30户用水量按从小到大排列，总共有30个数据，中位数为第15个和第16个数据的平均数。
累加户数：用水量15吨的共3户，用水量20吨的共6户，前两类合计3+6=9户，即前9个数据为15、20；用水量25吨的共7户，累计到9+7=16户，即第10到第16个数据均为25吨，因此第15、16个数据都是25吨，中位数为$\frac{25+25}{2}=25$。
综上，众数为30，中位数为25，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
众数；中位数
【点评】
本题考查基础统计量的计算，核心是熟记众数和中位数的定义，计算中位数时需先明确数据总个数的奇偶性，通过累加频数快速定位中间位置对应的数值，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需明确众数和中位数的定义，分两步计算：第一步求众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，只需找到对应户数最多的用水量即可；第二步求中位数，30户的用水量共30个数据（偶数个），中位数是数据从小到大排列后第15个和第16个数据的平均数，通过累加户数确定第15、16个数据对应的用水量，再计算平均数即可得到中位数。
【解析】
1. 求众数：观察表格可知，用水量30吨对应的户数为9，是所有用水量中对应户数最多的，因此这组数据的众数是30。
2. 求中位数：将30户用水量按从小到大排列，总共有30个数据，中位数为第15个和第16个数据的平均数。
累加户数：用水量15吨的共3户，用水量20吨的共6户，前两类合计3+6=9户，即前9个数据为15、20；用水量25吨的共7户，累计到9+7=16户，即第10到第16个数据均为25吨，因此第15、16个数据都是25吨，中位数为$\frac{25+25}{2}=25$。
综上，众数为30，中位数为25，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
众数；中位数
【点评】
本题考查基础统计量的计算，核心是熟记众数和中位数的定义，计算中位数时需先明确数据总个数的奇偶性，通过累加频数快速定位中间位置对应的数值，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
2. [2025·开封一模]数学文化学习有利于激发学生学习数学的兴趣.某校为了解学生对数学文化知识掌握情况,以班级为单位组织七、八年级学生开展了数学文化知识竞赛活动,其中甲、乙、丙、丁四个班的成绩较为突出,部分数据如下表:
根据表中数据,成绩较好且较为稳定的班级是 (
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
根据表中数据,成绩较好且较为稳定的班级是 (
A
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
2.A
解析
【分析】
要选出成绩较好且稳定的班级，需结合平均数和方差的意义分步判断：第一步判断成绩好坏，平均数反映一组数据的平均水平，平均数越高说明整体成绩越好，先通过平均数筛选出成绩较好的班级；第二步判断稳定性，方差反映一组数据的波动程度，方差越小说明数据波动越小、成绩越稳定，再在筛选出的班级中找到方差最小的，即为符合要求的班级。
【解析】
1. 筛选成绩较好的班级：对比四个班的平均成绩，$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=87$，$\bar{x}_丁=85$，$\bar{x}_丙=82$，甲、乙两班平均成绩更高，说明甲、乙成绩好于丙、丁，排除C、D选项。
2. 筛选成绩稳定的班级：对比甲、乙两班的方差，$s^2_甲=0.12$，$s^2_乙=0.67$，因为$0.12＜0.67$，即甲班方差更小，说明甲班成绩波动更小、更稳定。
因此成绩较好且较为稳定的班级是甲班。
【答案】
A
【知识点】
平均数的意义、方差的意义
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题核心是掌握平均数和方差的实际含义，结合题目给出的两个筛选条件逐一排除不符合要求的选项即可解题。
【难度系数】
0.9
要选出成绩较好且稳定的班级，需结合平均数和方差的意义分步判断：第一步判断成绩好坏，平均数反映一组数据的平均水平，平均数越高说明整体成绩越好，先通过平均数筛选出成绩较好的班级；第二步判断稳定性，方差反映一组数据的波动程度，方差越小说明数据波动越小、成绩越稳定，再在筛选出的班级中找到方差最小的，即为符合要求的班级。
【解析】
1. 筛选成绩较好的班级：对比四个班的平均成绩，$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=87$，$\bar{x}_丁=85$，$\bar{x}_丙=82$，甲、乙两班平均成绩更高，说明甲、乙成绩好于丙、丁，排除C、D选项。
2. 筛选成绩稳定的班级：对比甲、乙两班的方差，$s^2_甲=0.12$，$s^2_乙=0.67$，因为$0.12＜0.67$，即甲班方差更小，说明甲班成绩波动更小、更稳定。
因此成绩较好且较为稳定的班级是甲班。
【答案】
A
【知识点】
平均数的意义、方差的意义
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题核心是掌握平均数和方差的实际含义，结合题目给出的两个筛选条件逐一排除不符合要求的选项即可解题。
【难度系数】
0.9
二、填空题
1. 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，小明将一组数据分成了两组$\{80,82\}$和$\{87,86,90,85\}$，这两组数据总组内离差平方和为________。
1. 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，小明将一组数据分成了两组$\{80,82\}$和$\{87,86,90,85\}$，这两组数据总组内离差平方和为________。
答案
1.16
解析
【分析】
要计算两组数据的总组内离差平方和，需按以下思路逐步求解：第一步，分别计算两组数据各自的平均数；第二步，对每组数据，计算每个数据与本组平均数的差的平方，求和得到每组的组内离差平方和；第三步，将两组的组内离差平方和相加，得到最终的总组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组$\{80,82\}$的组内离差平方和：
第一组平均数：$\overline{x_1}=\frac{80+82}{2}=81$
第一组离差平方和：$(80-81)^2+(82-81)^2=(-1)^2+1^2=1+1=2$
2. 计算第二组$\{87,86,90,85\}$的组内离差平方和：
第二组平均数：$\overline{x_2}=\frac{87+86+90+85}{4}=\frac{348}{4}=87$
第二组离差平方和：$(87-87)^2+(86-87)^2+(90-87)^2+(85-87)^2=0^2+(-1)^2+3^2+(-2)^2=0+1+9+4=14$
3. 总组内离差平方和：$2+14=16$
【答案】
16
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题重点考查组内离差平方和的计算方法，解题关键是先准确求出每组数据的平均数，再按规则计算偏差平方的和，计算过程中要注意算术运算的准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
要计算两组数据的总组内离差平方和，需按以下思路逐步求解：第一步，分别计算两组数据各自的平均数；第二步，对每组数据，计算每个数据与本组平均数的差的平方，求和得到每组的组内离差平方和；第三步，将两组的组内离差平方和相加，得到最终的总组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组$\{80,82\}$的组内离差平方和：
第一组平均数：$\overline{x_1}=\frac{80+82}{2}=81$
第一组离差平方和：$(80-81)^2+(82-81)^2=(-1)^2+1^2=1+1=2$
2. 计算第二组$\{87,86,90,85\}$的组内离差平方和：
第二组平均数：$\overline{x_2}=\frac{87+86+90+85}{4}=\frac{348}{4}=87$
第二组离差平方和：$(87-87)^2+(86-87)^2+(90-87)^2+(85-87)^2=0^2+(-1)^2+3^2+(-2)^2=0+1+9+4=14$
3. 总组内离差平方和：$2+14=16$
【答案】
16
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题重点考查组内离差平方和的计算方法，解题关键是先准确求出每组数据的平均数，再按规则计算偏差平方的和，计算过程中要注意算术运算的准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
2. 拟派一名射击运动员参加一项比赛,对甲、乙两名射击运动员进行了10次选拔比赛,他们成绩的箱线图如图所示,经预测,射击成绩为7环及以上就能入围决赛,在这项比赛中为了取得较好的名次,应派
甲
运动员参加比赛.答案
2.甲
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求：射击成绩7环及以上可入围决赛，需要选择更易取得好成绩的选手。第一步先回忆箱线图的含义：箱线图可以反映一组数据的分布范围、中位数等信息，中位数代表数据的中等水平，箱体范围代表大部分数据的集中区间。第二步分别提取甲、乙两人成绩的分布特征，先对比两人的中位数，再判断7环及以上成绩的占比情况，结合整体成绩高低即可得出结论。
【解析】
观察两人成绩的箱线图分析：
1. 甲的射击成绩中位数为7.5环，说明甲超过一半的成绩不低于7.5环，均满足7环及以上的入围要求，甲的成绩大部分集中在7~8环区间，最高成绩可达9环，整体成绩偏高。
2. 乙的射击成绩中位数为6环，说明乙超过一半的成绩低于7环，达不到入围要求，乙的成绩大部分集中在5~7环区间，最低成绩仅3环，整体成绩偏低。
对比可知，甲的成绩整体更高，7环及以上的次数更多，更易入围决赛取得好名次，因此应派甲参加比赛。
【答案】
甲
【知识点】
箱线图的识别、中位数、统计决策
【点评】
本题结合运动员选拔的实际场景，考查对统计图表信息的提取与分析能力，要求学生能够根据实际需求对统计数据进行合理判断，体现了统计知识的实用价值。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目要求：射击成绩7环及以上可入围决赛，需要选择更易取得好成绩的选手。第一步先回忆箱线图的含义：箱线图可以反映一组数据的分布范围、中位数等信息，中位数代表数据的中等水平，箱体范围代表大部分数据的集中区间。第二步分别提取甲、乙两人成绩的分布特征，先对比两人的中位数，再判断7环及以上成绩的占比情况，结合整体成绩高低即可得出结论。
【解析】
观察两人成绩的箱线图分析：
1. 甲的射击成绩中位数为7.5环，说明甲超过一半的成绩不低于7.5环，均满足7环及以上的入围要求，甲的成绩大部分集中在7~8环区间，最高成绩可达9环，整体成绩偏高。
2. 乙的射击成绩中位数为6环，说明乙超过一半的成绩低于7环，达不到入围要求，乙的成绩大部分集中在5~7环区间，最低成绩仅3环，整体成绩偏低。
对比可知，甲的成绩整体更高，7环及以上的次数更多，更易入围决赛取得好名次，因此应派甲参加比赛。
【答案】
甲
【知识点】
箱线图的识别、中位数、统计决策
【点评】
本题结合运动员选拔的实际场景，考查对统计图表信息的提取与分析能力，要求学生能够根据实际需求对统计数据进行合理判断，体现了统计知识的实用价值。
【难度系数】
0.7
