3. 如图,已知$□ ABCD$的两条对角线$AC$与$BD$交于平面直角坐标系的原点,点$A$的坐标为$(-2,3)$,则点$C$的坐标为$\underline{\hspace{5em}}$.

3. $(2,-3)$

【分析】
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合对角线交于原点的条件，可得出点A和点C关于原点中心对称；再根据关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，代入点A的坐标即可求出点C的坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于原点O，
∴平行四边形的对角线互相平分，即O是线段AC的中点，
∴点A与点C关于原点O中心对称，
∵关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数，已知点A的坐标为$(-2,3)$，
∴点C的坐标为$(2,-3)$。
【答案】
$(2,-3)$
【知识点】
平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是平行四边形性质与平面直角坐标系点坐标规律的结合应用类基础题，掌握核心性质和坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 如图,在$□ ABCD$中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,$AE=CF$.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形.
(2)若$∠BAC=∠DAC$,求证:四边形EBFD是菱形.

1. 证明:(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OB=OD,OA=OC.
又AE=CF,
∴ OA-AE=OC-CF.
即 OE=OF.
又OB=OD,
∴ 四边形EBFD是平行四边形.
(2)
∵ ∠BAC=∠DAC,∠BAC=∠DCA,
∴ ∠DAC=∠DCA.
∴ AD=CD.
∴ 平行四边形ABCD是菱形.
∴ AC⊥BD.
∴ 平行四边形EBFD是菱形.

【分析】
（1）要证四边形EBFD是平行四边形，可优先利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理。首先由平行四边形ABCD的性质可得对角线互相平分，即OB=OD、OA=OC，再结合已知AE=CF，通过等式运算可推出OE=OF，即四边形EBFD的对角线互相平分，即可完成判定。
（2）要证平行四边形EBFD是菱形，可利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理，只需证明BD⊥AC即可。首先由∠BAC=∠DAC，结合平行四边形AB//CD的内错角相等性质，可得∠BAC=∠DCA，等量代换得∠DAC=∠DCA，由等角对等边推出AD=CD，即可判定平行四边形ABCD是菱形，利用菱形对角线互相垂直的性质得AC⊥BD，进而完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB=OD，OA=OC。
又
∵ AE=CF，
∴ OA - AE = OC - CF，
即 OE=OF。
又
∵ OB=OD，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。
(2) 证明：
∵ ∠BAC=∠DAC，且平行四边形ABCD中AB//CD，∠BAC=∠DCA，
∴ ∠DAC=∠DCA，
∴ AD=CD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
∴ 平行四边形EBFD是菱形。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；菱形的判定；等角对等边
【点评】
本题是特殊四边形的基础证明题，核心考查平行四边形、菱形的性质与判定定理的综合应用，解题关键是结合已知条件选择合适的判定方法，通过对角线的数量关系、位置关系推导结论，有助于强化对特殊四边形判定逻辑的理解。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在$△ ABC$中,点$O$是$AC$边上一个动点,过点$O$作直线$MN// BC$,设$MN$与$∠ BCA$的平分线交于点$E$,与$△ BCA$的外角平分线$CF$交于点$F$.
(1)求证:$OE=OF$.
(2)若$CE=12,CF=5$,求$OC$的长.
(3)连接$AE,AF$,当点$O$在$AC$边上运动到什么位置时,四边形$AECF$是矩形?请说明理由.

2. (1)证明:
∵ CF平分∠ACD,且MN//BD,
∴ ∠ACF=∠FCD=∠CFO.
∴ OF=OC.
同理可证OC=OE.
∴ OE=OF.
(2)解:由(1)知 OF=OC=OE.
∴ ∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC.
∴ ∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC.
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,
∴ ∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°.
∴ $EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$.
∴ $OC=\frac{1}{2}EF=\frac{13}{2}$.
(3)解:当点O运动到AC中点时,四边形AECF为矩形.
理由如下:
当点O运动到AC中点时,OA=OC 且 OE=OF,
∴ 四边形AECF为平行四边形.
又
∵ ∠ECF=90°,
∴ 四边形AECF为矩形.

【分析】
（1）要证$OE=OF$，可通过证明两条线段都等于$OC$推导：利用平行线的内错角相等性质，结合角平分线的定义，可得到等腰$△ OEC$和等腰$△ OFC$，推出$OE=OC$、$OF=OC$，即可得证。
（2）首先根据$CE$是内角平分线、$CF$是外角平分线，可推出$∠ ECF=90°$，即$△ ECF$是直角三角形，先用勾股定理求出斜边$EF$的长度，再结合（1）中$O$是$EF$中点的结论，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求出$OC$的长。
（3）要判定四边形$AECF$是矩形，已知$∠ ECF=90°$，因此只需先证明四边形$AECF$是平行四边形即可：平行四边形需要对角线互相平分，已知$OE=OF$，因此只需满足$OA=OC$，即$O$为$AC$中点时即可满足条件。
【解析】
(1)证明:
∵ $CF$平分$∠ ACD$,且$MN// BD$,
∴ $∠ ACF=∠ FCD=∠ CFO$,
∴ $OF=OC$.
同理,$CE$平分$∠ ACB$,$MN// BD$,
∴ $∠ BCE=∠ OCE=∠ OEC$,
∴ $OC=OE$,
∴ $OE=OF$.
(2)解:由(1)知 $OF=OC=OE$,
∴ $∠ OCF=∠ OFC$,$∠ OCE=∠ OEC$,
∴ $∠ OCF+∠ OCE=∠ OFC+∠ OEC$.
∵ $∠ OCF+∠ OCE+∠ OFC+∠ OEC=180°$,
∴ $∠ ECF=∠ OCF+∠ OCE=90°$,即$△ ECF$是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ ECF$中,由勾股定理得:
$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$.
∵ $O$是$EF$的中点,
∴ $OC=\frac{1}{2}EF=\frac{13}{2}$.
(3)解:当点$O$运动到$AC$中点时,四边形$AECF$为矩形.
理由如下:
当$O$为$AC$中点时,$OA=OC$,
又由(1)知$OE=OF$,
∴ 四边形$AECF$的对角线互相平分,即四边形$AECF$为平行四边形.
又
∵ $∠ ECF=90°$,
∴ 有一个角是直角的平行四边形是矩形,即四边形$AECF$为矩形.
【答案】
(1) $OE=OF$，证明成立；
(2) $OC$的长为$\boldsymbol{\frac{13}{2}}$；
(3) 当点$O$运动到$\boldsymbol{AC}$的中点时，四边形$AECF$是矩形。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；矩形的判定
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，将等腰三角形判定、直角三角形性质、平行四边形及矩形判定等知识点结合考查，其中“平行线+角平分线推导等腰三角形”是常考的几何模型，解题时要注意各条件的关联性，逐步推导即可得出结论，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7