5. [2024·新乡模拟]定义新运算:$m*n=m^2-2m-3n$,例如:$3*4=3^2-2×3-3×4=-9$.
若关于$x$的一元二次方程$x*a=3$有两个不相等的实数根,则$a$的取值范围是
()

A.$a＞\dfrac{4}{3}$
B.$a≥\dfrac{4}{3}$
C.$a＞-\dfrac{4}{3}$
D.$a≥-\dfrac{4}{3}$

5. C

【分析】
解题时首先遵循新定义运算的规则，将$x*a$转化为常规的代数式，再结合方程$x*a=3$整理得到一元二次方程的一般形式；接下来根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”的条件，联想到一元二次方程根的判别式的性质：当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，代入对应系数列不等式，最后解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
1. 根据新运算规则$m*n=m^2-2m-3n$，将$m=x$、$n=a$代入得：
$x*a=x^2-2x-3a$
2. 结合$x*a=3$列方程并整理为一元二次方程一般形式：
$x^2-2x-3a=3$
移项得：$x^2-2x-(3a+3)=0$
3. 因为该方程是关于$x$的一元二次方程，且有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta＞0$：
其中二次项系数为$1$，一次项系数为$-2$，常数项为$-(3a+3)$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=(-2)^2-4×1×[-(3a+3)]＞0$
化简不等式：
$4+4(3a+3)＞0$
$4+12a+12＞0$
$12a+16＞0$
解得：$a＞-\dfrac{4}{3}$
【答案】
C
【知识点】
定义新运算；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题结合新定义场景考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是准确将新运算转化为常规代数方程，再根据根的情况对应判别式的取值范围列不等式求解，注意“两个不相等的实数根”对应$\Delta＞0$，不要误写为$\Delta≥0$。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 一元二次方程$7x^2+2x-5=0$的二次项是________，二次项系数是________；一次项是________，一次项系数是________；常数项是________。

1. $7x^2$ 7 $2x$ 2 $-5$

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数，$bx$是一次项，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时只需将题目给出的方程和一般形式逐一对应即可，需要特别注意各项要连同前面的符号一起判断，避免出现符号错误。
【解析】
根据一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的相关定义，对应方程$7x^2+2x-5=0$可得：
1. 含有$x^2$的项为二次项，即二次项是$7x^2$，对应的数字因数为二次项系数，即二次项系数是7；
2. 含有$x$的一次幂的项为一次项，即一次项是$2x$，对应的数字因数为一次项系数，即一次项系数是2；
3. 不含未知数的项为常数项，即常数项是$-5$。
【答案】
$7x^2$；7；$2x$；2；$-5$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对一元二次方程各组成部分的识别，解题时要注意各项需连同前面的符号共同判断，避免因忽略符号失分。
【难度系数】
0.9

2. 若关于$x$的方程$x^2 - nx = 7 + n$的一个根是2,则$n=$.

2. $-1$

【分析】
已知方程的一个根求参数的值，解题核心是利用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。我们只需将已知根x=2代入原方程，就能得到只含未知数n的一元一次方程，解该一元一次方程即可求出n的值。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 - nx = 7 + n$的一个根是2，
∴ 将x=2代入原方程，等式成立，代入得：
$2^2 - 2n = 7 + n$
化简得：$4 - 2n = 7 + n$
移项（移项要变号）得：$-2n - n = 7 - 4$
合并同类项得：$-3n = 3$
两边同时除以-3得：$n = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
方程的根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，考查方程根的定义的直接应用，解题关键是明确方程的根代入原方程后等式仍然成立，计算时注意移项要变号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85

3. 将方程$(2x-1)(3x+2)=x^2+2$化为$ax^2+bx+c=0$的形式是________，其中$a=\_\_\_\_\_\_$，$b=\_\_\_\_\_\_$，$c=\_\_\_\_\_\_$.

3. $5x^2+x-4=0$ 5 1 $-4$

【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，需分三步进行：首先利用多项式乘多项式的法则展开方程左侧的乘积项，再通过移项将方程右侧的所有项移到左侧（移项注意变号），最后合并同类项，将左侧整理为按x的降幂排列的整式、右侧为0的形式，再对应匹配得到a、b、c的取值即可。
【解析】
1. 展开方程左侧：
根据多项式乘多项式法则，$(2x-1)(3x+2)=2x·3x + 2x·2 + (-1)·3x + (-1)·2=6x^2+4x-3x-2=6x^2+x-2$，
此时原方程化为：$6x^2+x-2=x^2+2$。
2. 移项：将右侧的$x^2$和$2$移到左侧，移项变号得：
$6x^2+x-2 -x^2 -2=0$。
3. 合并同类项：
$(6x^2-x^2)+x+(-2-2)=0$，即$5x^2+x-4=0$。
对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=5$，$b=1$，$c=-4$。
【答案】
$5x^2+x-4=0$；5；1；$-4$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题时需注意展开多项式时不要漏乘项，移项要变号，确定常数项c时不要漏掉负号。
【难度系数】
0.8

4. 若方程$(m+3)x^{2n-1}-\sqrt{2}x-1=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$，$n=$.

4. $≠-3$ $\dfrac{3}{2}$

【分析】
要解决这道题，需紧扣一元二次方程的定义思考：一元二次方程需要同时满足两个核心要求：①未知数的最高次数为2；②二次项的系数不能为0（否则二次项消失，方程就不是二次方程了）。我们先根据最高次数的要求求出n的值，再根据二次项系数不为0的要求求出m的取值范围即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义：
1. 未知数x的最高次数为2，因此对应最高次项的指数满足：
$2n - 1 = 2$
移项得$2n = 3$，解得$n = \frac{3}{2}$。
2. 二次项的系数不能为0，本题中二次项为$(m+3)x^{2n-1}$，因此系数满足：
$m + 3 ≠ 0$
解得$m ≠ -3$。
【答案】
$≠ -3$；$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，解题时需注意一元二次方程的两个判定条件要同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.8

5. [2023·郑州二模]若关于x的一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$没有实数根，则m的取值范围是.

5. $m＞4$

【分析】
遇到判断一元二次方程实数根的问题，首先联想到用根的判别式判断根的情况：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题先确定给定方程对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入$\Delta＜0$得到关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到m的取值范围，注意解不等式时若两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：在一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=m$。
∵ 该方程没有实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
将系数代入得：$(-4)^2 - 4×1× m ＜ 0$，
计算得：$16 - 4m ＜ 0$，
移项得：$-4m ＜ -16$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$m ＞ 4$。
【答案】
$m＞4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，解题时要准确识别方程的各项系数，解不等式时注意不等号方向的变化，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 写出下列方程的根：
(1)$x^2 - 16 = 0$；
(2)$4y^2 = 9$；
(3)$x^2 - 12 = 0$.

1. (1)$x=\pm4$ (2)$y=\pm\dfrac{3}{2}$ (3)$x=\pm2\sqrt{3}$

【分析】
这三道题都是不含一次项的一元二次方程，适合用直接开平方法求解。解题思路为：先把方程变形为“含未知数的平方项等于常数”的形式，再根据平方根的定义对等式两边同时开平方，注意开平方后会得到两个互为相反数的根，不能遗漏负根，若结果含根式则需要化为最简二次根式。
【解析】
(1) 求解$x^2 - 16 = 0$：
移项得$x^2 = 16$，
对等式两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
(2) 求解$4y^2 = 9$：
两边同时除以4，将二次项系数化为1，得$y^2=\frac{9}{4}$，
对等式两边同时开平方，得$y=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$。
(3) 求解$x^2 - 12 = 0$：
移项得$x^2 = 12$，
对等式两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$x=\pm4$ (2)$y=\pm\dfrac{3}{2}$ (3)$x=\pm2\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解方程，平方根的性质，最简二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，重点考查直接开平方法的应用，解题时要注意开平方后需同时保留正、负两个根，涉及根式的结果要化简为最简形式，避免出现漏根、结果未化简的错误。
【难度系数】
0.9

2. 用适当的方法解方程：$x^2 - x - 12 = 0.$

2. $x_1=-3,x_2=4$

【分析】
这是一道一元二次方程求解的题目，先观察方程结构：二次项系数为1，常数项是-12，我们可以尝试找两个整数，满足乘积为-12、和为一次项系数-1，经尝试3和-4符合要求，所以优先选择十字相乘法因式分解来解方程，这种方法比配方法、公式法计算量更小，不容易出错。具体步骤是先将方程左边因式分解为两个一次式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的性质，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：对等式左边用十字相乘法因式分解，可得：
$(x + 3)(x - 4) = 0$
根据乘积为0的性质，得：
$x + 3 = 0$ 或 $x - 4 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x + 3 = 0$时，解得$x_1 = -3$；
当$x - 4 = 0$时，解得$x_2 = 4$。
【答案】
$x_1=-3,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时可先观察方程系数特征选择最优解法，十字相乘法适用于系数为整数且易拆分常数项的一元二次方程，熟练掌握可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.85

3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 4mx + 3m^2 = 0 $。
(1) 求证:该方程总有两个实数根。
(2) 若 $ m＞0 $,且该方程的两个实数根的差为 2,求 $ m $ 的值。

3. (1)证明:依题意可知,
$\Delta=(-4m)^2-4×3m^2=4m^2$.
$\because m^2≥0$,
$\therefore \Delta≥0$. $\therefore$ 该方程总有两个实数根.
(2)解:解方程,得 $x_1=m,x_2=3m$.
$\because m＞0$, $\therefore 3m＞m$.
$\because$ 该方程的两个实数根的差为 2,
$\therefore 3m-m=2$. $\therefore m=1$.

【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，需根据一元二次方程根的判别式的性质判断：当$\Delta≥0$时，方程总有两个实数根。因此我们先计算该方程的判别式$\Delta$，化简后结合平方的非负性证明$\Delta≥0$即可。
(2) 已知方程两根的差为2且$m＞0$，我们可以先通过因式分解法求出方程的两个根，结合$m＞0$的条件判断两根的大小关系，再根据“两根差为2”列一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - 4mx + 3m^2 = 0$，其判别式为：
$\Delta=(-4m)^2-4×1×3m^2=16m^2-12m^2=4m^2$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$，
∴ $\Delta=4m^2≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2) 解：对原方程因式分解得：
$(x-m)(x-3m)=0$
解得$x_1=m$，$x_2=3m$。
∵ $m＞0$，
∴ $3m＞m$，
又
∵ 方程的两个实数根的差为2，
∴ $3m - m =2$，
合并同类项得$2m=2$，
解得$m=1$。
【答案】
(1) 该方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $m=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，第一问核心是掌握判别式与方程根的数量的对应关系，第二问求解时可利用题干给出的$m＞0$的条件直接判断两根大小，无需额外考虑绝对值的情况，掌握一元二次方程的基本求解方法即可顺利作答。
【难度系数】
0.8