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1. [2025·河南]一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
1. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，我们可以利用根的判别式Δ来判断，解题思路如下：第一步先将给定的一元二次方程和一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，确定系数a、b、c的取值，注意不要漏看符号；第二步将系数代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算结果；第三步根据Δ的符号对应根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题也可以通过直接解方程的方式验证根的情况。
【解析】
方法一：利用根的判别式判断
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，题中方程为$x^2-2x=0$，对应可得：
$a=1$，$b=-2$，$c=0$
代入根的判别式公式：
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×0=4-0=4$
因为$\Delta=4＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
方法二：直接解方程验证
对$x^2-2x=0$因式分解得：$x(x-2)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=2$，可见方程有两个不相等的实数根。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的判别式的应用，只要能准确识别方程各项系数、正确计算判别式即可快速得出结论，也可通过直接解方程的方式验证结果，解题时注意不要写错系数的符号。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，我们可以利用根的判别式Δ来判断，解题思路如下：第一步先将给定的一元二次方程和一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，确定系数a、b、c的取值，注意不要漏看符号；第二步将系数代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算结果；第三步根据Δ的符号对应根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题也可以通过直接解方程的方式验证根的情况。
【解析】
方法一：利用根的判别式判断
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，题中方程为$x^2-2x=0$，对应可得：
$a=1$，$b=-2$，$c=0$
代入根的判别式公式：
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×0=4-0=4$
因为$\Delta=4＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
方法二：直接解方程验证
对$x^2-2x=0$因式分解得：$x(x-2)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=2$，可见方程有两个不相等的实数根。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的判别式的应用，只要能准确识别方程各项系数、正确计算判别式即可快速得出结论，也可通过直接解方程的方式验证结果，解题时注意不要写错系数的符号。
【难度系数】
0.9
2. 方程$x^2 - 6x = 7$的左边配成完全平方后，所得的方程是 （
A.$(x-3)^2 = 7$
B.$(x-3)^2 = 9$
C.$(x-3)^2 = 16$
D.$(x-3)^2 = 2$
C
）A.$(x-3)^2 = 7$
B.$(x-3)^2 = 9$
C.$(x-3)^2 = 16$
D.$(x-3)^2 = 2$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题思路如下：首先明确配方法的核心要求：当二次项系数为1时，要将左边含x的项配成完全平方，需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，保证等式仍然成立。观察原方程，左边已经是二次项+一次项的形式，常数项在等号右侧，因此直接计算一次项系数一半的平方，两边同时加这个数，左边就能写成完全平方式，再化简右侧即可得到结果。
【解析】
解：原方程为$x^2 - 6x = 7$，
一次项系数为$-6$，其一半的平方为：$(\dfrac{-6}{2})^2 = (-3)^2 = 9$，
根据等式的性质，方程两边同时加9，得：
$x^2 - 6x + 9 = 7 + 9$，
左边根据完全平方公式因式分解得：$(x-3)^2 = 16$。
因此配成完全平方后的方程为$(x-3)^2=16$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题关键是牢记配方法的操作步骤，尤其注意添加的常数项要同时加在等式两边，避免出现只改写左边漏算右边的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题思路如下：首先明确配方法的核心要求：当二次项系数为1时，要将左边含x的项配成完全平方，需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，保证等式仍然成立。观察原方程，左边已经是二次项+一次项的形式，常数项在等号右侧，因此直接计算一次项系数一半的平方，两边同时加这个数，左边就能写成完全平方式，再化简右侧即可得到结果。
【解析】
解：原方程为$x^2 - 6x = 7$，
一次项系数为$-6$，其一半的平方为：$(\dfrac{-6}{2})^2 = (-3)^2 = 9$，
根据等式的性质，方程两边同时加9，得：
$x^2 - 6x + 9 = 7 + 9$，
左边根据完全平方公式因式分解得：$(x-3)^2 = 16$。
因此配成完全平方后的方程为$(x-3)^2=16$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题关键是牢记配方法的操作步骤，尤其注意添加的常数项要同时加在等式两边，避免出现只改写左边漏算右边的错误。
【难度系数】
0.8
3. 在方程 $x^2 - 2x = 3$ 中，$a,b,c$ 和 $b^2 - 4ac$ 的值分别为 （
A.$1,2,3,-8$
B.$1,-2,3,-16$
C.$1,-2,-3,8$
D.$1,-2,-3,16$
D
）A.$1,2,3,-8$
B.$1,-2,3,-16$
C.$1,-2,-3,8$
D.$1,-2,-3,16$
答案
3. D
解析
【分析】
要确定一元二次方程的a、b、c及判别式的值，首先需要将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，注意系数要包含本身的符号；再将a、b、c的值代入判别式$b^2-4ac$计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程化为一般形式
把方程$x^2 - 2x = 3$移项，使方程右边为0，得：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
第二步：对应确定a、b、c的值
对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-3$
第三步：计算$b^2-4ac$的值
将a、b、c代入公式：
$b^2-4ac=(-2)^2 - 4×1×(-3)=4 + 12=16$
综上，a、b、c和$b^2-4ac$的值分别为1、-2、-3、16，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是未将方程化为一般形式就直接提取系数，或者提取系数时遗漏符号，只要严格按照先整理一般形式、再对应系数、最后计算判别式的步骤求解，即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程的a、b、c及判别式的值，首先需要将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，注意系数要包含本身的符号；再将a、b、c的值代入判别式$b^2-4ac$计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程化为一般形式
把方程$x^2 - 2x = 3$移项，使方程右边为0，得：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
第二步：对应确定a、b、c的值
对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-3$
第三步：计算$b^2-4ac$的值
将a、b、c代入公式：
$b^2-4ac=(-2)^2 - 4×1×(-3)=4 + 12=16$
综上，a、b、c和$b^2-4ac$的值分别为1、-2、-3、16，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是未将方程化为一般形式就直接提取系数，或者提取系数时遗漏符号，只要严格按照先整理一般形式、再对应系数、最后计算判别式的步骤求解，即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
4. 点 $ P $ 的坐标恰好是方程 $ x^2 - 2x - 24 = 0 $ 的两个根,则点 $ P $ 在 (
A.第二象限
B.第四象限
C.第一象限
D.第二或第四象限
D
)A.第二象限
B.第四象限
C.第一象限
D.第二或第四象限
答案
4. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，先求解给定的一元二次方程，得到两个根；第二步，明确点P的横、纵坐标分别对应这两个根，存在两种坐标组合（因为题目没有指定哪个根是横坐标，哪个是纵坐标）；第三步，结合平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，分别判断两种坐标对应的象限，最终得出结论。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 - 2x - 24 = 0$：
利用因式分解法，将方程左边十字相乘分解得：
$(x - 6)(x + 4) = 0$
令每个因式为0，解得方程的两个根为$x_1 = 6$，$x_2 = -4$。
因为点P的坐标是这两个根，所以有两种坐标情况：
1. 当点P坐标为$(6, -4)$时，横坐标为正、纵坐标为负，符合第四象限的坐标特征，此时点P在第四象限；
2. 当点P坐标为$(-4, 6)$时，横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限的坐标特征，此时点P在第二象限。
综上，点P在第二或第四象限。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法；象限坐标符号特征；分类讨论思想
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，既考查了一元二次方程的求解能力，也考查了平面直角坐标系的相关性质，解题时要注意坐标的两个根可互换位置，避免因漏考虑情况导致出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，先求解给定的一元二次方程，得到两个根；第二步，明确点P的横、纵坐标分别对应这两个根，存在两种坐标组合（因为题目没有指定哪个根是横坐标，哪个是纵坐标）；第三步，结合平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，分别判断两种坐标对应的象限，最终得出结论。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 - 2x - 24 = 0$：
利用因式分解法，将方程左边十字相乘分解得：
$(x - 6)(x + 4) = 0$
令每个因式为0，解得方程的两个根为$x_1 = 6$，$x_2 = -4$。
因为点P的坐标是这两个根，所以有两种坐标情况：
1. 当点P坐标为$(6, -4)$时，横坐标为正、纵坐标为负，符合第四象限的坐标特征，此时点P在第四象限；
2. 当点P坐标为$(-4, 6)$时，横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限的坐标特征，此时点P在第二象限。
综上，点P在第二或第四象限。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法；象限坐标符号特征；分类讨论思想
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，既考查了一元二次方程的求解能力，也考查了平面直角坐标系的相关性质，解题时要注意坐标的两个根可互换位置，避免因漏考虑情况导致出错。
【难度系数】
0.7
5. [2024·南阳毕业班第一次调研测试]若关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + 2x + m = 0 $有实数根，则$ m $的值不可能是（
A.$\sqrt{2}$
B.$1$
C.$-1$
D.$-2$
A
）A.$\sqrt{2}$
B.$1$
C.$-1$
D.$-2$
答案
5. A
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程有实数根的条件，解题思路清晰可依：第一步，先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有实数根的等价条件是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$；第二步，从题干给出的方程中对应确定$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式；第三步，解不等式得到$m$的取值范围；第四步，逐一对比选项，找出不在取值范围内的数值即为答案。
【解析】
解：$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+m=0$有实数根
$\therefore$判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
在方程$x^2+2x+m=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=m$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1× m ≥0$
化简得：$4 - 4m ≥0$
移项后两边同除以4得：$m≤1$
逐一判断选项：
A选项$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，不符合$m$的取值范围；
B选项$1=1$，符合要求；
C选项$-1＜1$，符合要求；
D选项$-2＜1$，符合要求。
因此$m$的值不可能是$\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，计算判别式、解不等式时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程有实数根的条件，解题思路清晰可依：第一步，先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有实数根的等价条件是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$；第二步，从题干给出的方程中对应确定$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式；第三步，解不等式得到$m$的取值范围；第四步，逐一对比选项，找出不在取值范围内的数值即为答案。
【解析】
解：$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+m=0$有实数根
$\therefore$判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
在方程$x^2+2x+m=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=m$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1× m ≥0$
化简得：$4 - 4m ≥0$
移项后两边同除以4得：$m≤1$
逐一判断选项：
A选项$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，不符合$m$的取值范围；
B选项$1=1$，符合要求；
C选项$-1＜1$，符合要求；
D选项$-2＜1$，符合要求。
因此$m$的值不可能是$\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，计算判别式、解不等式时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
6. [2023·河南]关于$x$的一元二次方程$x^2+mx-8=0$的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
6. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$进行分析：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步代入公式计算判别式的结果；第三步根据判别式的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题中先提取对应系数，再结合平方的非负性判断$\Delta$的符号即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2+mx-8=0$中，$a=1$，$b=m$，$c=-8$，代入判别式得：
$\Delta = m^2 - 4×1×(-8) = m^2 + 32$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$
∴ $m^2 + 32 ≥ 32 ＞ 0$，即$\Delta＞0$
∴ 该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，非负数的性质
【点评】
本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程各项系数，结合平方的非负性判断判别式的符号，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程的根的情况，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$进行分析：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步代入公式计算判别式的结果；第三步根据判别式的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题中先提取对应系数，再结合平方的非负性判断$\Delta$的符号即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2+mx-8=0$中，$a=1$，$b=m$，$c=-8$，代入判别式得：
$\Delta = m^2 - 4×1×(-8) = m^2 + 32$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$
∴ $m^2 + 32 ≥ 32 ＞ 0$，即$\Delta＞0$
∴ 该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，非负数的性质
【点评】
本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程各项系数，结合平方的非负性判断判别式的符号，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
二、填空题
1. 已知方程 $2x^2 - px + q = 0$ 的两根分别是 2 和 3，则因式分解 $2x^2 + px - q$ 的结果是 ______。
1. 已知方程 $2x^2 - px + q = 0$ 的两根分别是 2 和 3，则因式分解 $2x^2 + px - q$ 的结果是 ______。
答案
1. $2(x+6)(x-1)$
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根与系数的关系，根据已知方程的两根求出参数p和q的值；再将求得的p、q代入待因式分解的二次三项式中，先提取公因式，再用十字相乘法完成因式分解即可。
【解析】
解：
∵ 方程$2x^2 - px + q = 0$的两根分别是2和3
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和：$2+3=\frac{p}{2}$，解得$p=10$
两根之积：$2×3=\frac{q}{2}$，解得$q=12$
将$p=10$，$q=12$代入$2x^2 + px - q$得：
$2x^2 +10x -12$
先提取公因式2：$2(x^2 +5x -6)$
对括号内的二次三项式用十字相乘法分解：$x^2 +5x -6=(x+6)(x-1)$
∴ 因式分解的结果为$2(x+6)(x-1)$
【答案】
$2(x+6)(x-1)$
【知识点】
根与系数的关系，提公因式法因式分解，十字相乘法因式分解
【点评】
本题核心是结合根与系数的关系求参数，再完成因式分解，解题时要注意根与系数关系中各项系数的对应符号，二次项系数不为1时不要遗漏公因式的提取，属于代数基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根与系数的关系，根据已知方程的两根求出参数p和q的值；再将求得的p、q代入待因式分解的二次三项式中，先提取公因式，再用十字相乘法完成因式分解即可。
【解析】
解：
∵ 方程$2x^2 - px + q = 0$的两根分别是2和3
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和：$2+3=\frac{p}{2}$，解得$p=10$
两根之积：$2×3=\frac{q}{2}$，解得$q=12$
将$p=10$，$q=12$代入$2x^2 + px - q$得：
$2x^2 +10x -12$
先提取公因式2：$2(x^2 +5x -6)$
对括号内的二次三项式用十字相乘法分解：$x^2 +5x -6=(x+6)(x-1)$
∴ 因式分解的结果为$2(x+6)(x-1)$
【答案】
$2(x+6)(x-1)$
【知识点】
根与系数的关系，提公因式法因式分解，十字相乘法因式分解
【点评】
本题核心是结合根与系数的关系求参数，再完成因式分解，解题时要注意根与系数关系中各项系数的对应符号，二次项系数不为1时不要遗漏公因式的提取，属于代数基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
2. 若关于$x$的一元二次方程$x^2+3x+c=0$有两个相等的实数根，则$c$的值为________.
答案
2. $\dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的个数与判别式的关系，解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。第二步，结合题目给出的“有两个相等的实数根”的条件，确定$\Delta=0$。第三步，从已知方程中找出对应系数$a$、$b$的值，代入判别式公式得到关于$c$的一元一次方程，解方程即可求出$c$的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
已知方程$x^2+3x+c=0$是一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项为$c$，
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=0$，代入得：
$3^2 - 4×1× c = 0$
即$9 - 4c = 0$
移项得$4c = 9$
解得$c = \dfrac{9}{4}$
【答案】
$\dfrac{9}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，只要牢记判别式与根的三种对应关系，准确代入系数计算即可求解，是一元二次方程章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的个数与判别式的关系，解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。第二步，结合题目给出的“有两个相等的实数根”的条件，确定$\Delta=0$。第三步，从已知方程中找出对应系数$a$、$b$的值，代入判别式公式得到关于$c$的一元一次方程，解方程即可求出$c$的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
已知方程$x^2+3x+c=0$是一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项为$c$，
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=0$，代入得：
$3^2 - 4×1× c = 0$
即$9 - 4c = 0$
移项得$4c = 9$
解得$c = \dfrac{9}{4}$
【答案】
$\dfrac{9}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，只要牢记判别式与根的三种对应关系，准确代入系数计算即可求解，是一元二次方程章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
3. $x^2 - \frac{1}{2}x + (\_\_\_\_\_\_) = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$
答案
3. $\dfrac{1}{16}$ $\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路是先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对比题目给出的式子，确定$a=x$，再根据一次项系数求出$b$的值，最后算出常数项$b^2$即可得到两个空的答案。
【解析】
根据完全平方差公式：$(x-b)^2=x^2-2bx+b^2$，将其与题目左边的式子$x^2-\frac{1}{2}x+(\_\_\_\_\_\_)$对比：
1. 一次项对应相等：$-2b = -\frac{1}{2}$，解得$b=\frac{1}{4}$，即第二个空填$\frac{1}{4}$；
2. 常数项为$b^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，即第一个空填$\frac{1}{16}$。
【答案】
$\dfrac{1}{16}$；$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，明确公式中各项系数的对应关系，这是后续学习因式分解、解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路是先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对比题目给出的式子，确定$a=x$，再根据一次项系数求出$b$的值，最后算出常数项$b^2$即可得到两个空的答案。
【解析】
根据完全平方差公式：$(x-b)^2=x^2-2bx+b^2$，将其与题目左边的式子$x^2-\frac{1}{2}x+(\_\_\_\_\_\_)$对比：
1. 一次项对应相等：$-2b = -\frac{1}{2}$，解得$b=\frac{1}{4}$，即第二个空填$\frac{1}{4}$；
2. 常数项为$b^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，即第一个空填$\frac{1}{16}$。
【答案】
$\dfrac{1}{16}$；$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，明确公式中各项系数的对应关系，这是后续学习因式分解、解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
4. 方程$2x^2 + 3x + 1 = 0$的两个根分别是$x_1 = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = \_\_\_\_\_\_$，$x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_$，$x_1 · x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
4. $-\dfrac{1}{2}$ $-1$ $-\dfrac{3}{2}$ $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
本题要求求解一元二次方程的两个根，以及两根之和、两根之积。我们可以先通过因式分解法解出方程的两个根，再分别计算两根的和与积；也可以先利用根与系数的关系直接算出两根和与积，再解方程求根验证结果，解题时注意符号计算不要出错。
【解析】
解：对于方程$2x^2 + 3x + 1 = 0$，用十字相乘法因式分解可得：
$(2x + 1)(x + 1) = 0$
则$2x + 1 = 0$或$x + 1 = 0$，
解得$x_1 = -\dfrac{1}{2}$，$x_2 = -1$。
计算两根之和：$x_1 + x_2 = -\dfrac{1}{2} + (-1) = -\dfrac{3}{2}$
计算两根之积：$x_1 · x_2 = (-\dfrac{1}{2}) × (-1) = \dfrac{1}{2}$
也可通过根与系数的关系验证：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$，代入$a=2,b=3,c=1$，可得$x_1+x_2=-\dfrac{3}{2}$，$x_1x_2=\dfrac{1}{2}$，和计算结果一致。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$；$-1$；$-\dfrac{3}{2}$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，既可以先求解方程的根再计算和与积，也可以直接利用根与系数的关系快速得到结果，解题时要注意运算符号的准确性，熟练掌握因式分解法解方程和韦达定理的应用可以提升解题效率。
【难度系数】
0.9
本题要求求解一元二次方程的两个根，以及两根之和、两根之积。我们可以先通过因式分解法解出方程的两个根，再分别计算两根的和与积；也可以先利用根与系数的关系直接算出两根和与积，再解方程求根验证结果，解题时注意符号计算不要出错。
【解析】
解：对于方程$2x^2 + 3x + 1 = 0$，用十字相乘法因式分解可得：
$(2x + 1)(x + 1) = 0$
则$2x + 1 = 0$或$x + 1 = 0$，
解得$x_1 = -\dfrac{1}{2}$，$x_2 = -1$。
计算两根之和：$x_1 + x_2 = -\dfrac{1}{2} + (-1) = -\dfrac{3}{2}$
计算两根之积：$x_1 · x_2 = (-\dfrac{1}{2}) × (-1) = \dfrac{1}{2}$
也可通过根与系数的关系验证：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$，代入$a=2,b=3,c=1$，可得$x_1+x_2=-\dfrac{3}{2}$，$x_1x_2=\dfrac{1}{2}$，和计算结果一致。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$；$-1$；$-\dfrac{3}{2}$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，既可以先求解方程的根再计算和与积，也可以直接利用根与系数的关系快速得到结果，解题时要注意运算符号的准确性，熟练掌握因式分解法解方程和韦达定理的应用可以提升解题效率。
【难度系数】
0.9
5. 一元二次方程$x^2 - ax - 3a = 0$的两根之和为$2a - 1$，则两根之积为________.
答案
5. $-3$
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和为$-b$，两根之积为$c$。第一步先根据韦达定理写出本题方程的两根之和的表达式，再结合题目给出的两根之和为$2a-1$，列等式求出参数$a$的值；第二步需要代入$a$验证方程的判别式是否非负，保证方程有两个实数根；最后再用韦达定理求出两根之积即可。
【解析】
设一元二次方程$x^2 - ax - 3a = 0$的两根为$x_1$、$x_2$。
根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2 = a$，两根之积$x_1x_2 = -3a$。
由题意知两根之和为$2a-1$，因此列等式：
$a = 2a - 1$
解得：$a = 1$。
接下来验证判别式：$\Delta = (-a)^2 - 4×1×(-3a) = a^2 + 12a$，将$a=1$代入得$\Delta = 1^2 + 12×1 = 13 ＞ 0$，说明方程有两个实数根，$a=1$符合要求。
将$a=1$代入两根之积的表达式得：$x_1x_2 = -3×1 = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
根与系数的关系；根的判别式
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查韦达定理的应用，需要注意的是求出参数值后必须验证判别式，确保方程存在实数根，避免求出的参数不符合题意。
【难度系数】
0.7
首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和为$-b$，两根之积为$c$。第一步先根据韦达定理写出本题方程的两根之和的表达式，再结合题目给出的两根之和为$2a-1$，列等式求出参数$a$的值；第二步需要代入$a$验证方程的判别式是否非负，保证方程有两个实数根；最后再用韦达定理求出两根之积即可。
【解析】
设一元二次方程$x^2 - ax - 3a = 0$的两根为$x_1$、$x_2$。
根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2 = a$，两根之积$x_1x_2 = -3a$。
由题意知两根之和为$2a-1$，因此列等式：
$a = 2a - 1$
解得：$a = 1$。
接下来验证判别式：$\Delta = (-a)^2 - 4×1×(-3a) = a^2 + 12a$，将$a=1$代入得$\Delta = 1^2 + 12×1 = 13 ＞ 0$，说明方程有两个实数根，$a=1$符合要求。
将$a=1$代入两根之积的表达式得：$x_1x_2 = -3×1 = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
根与系数的关系；根的判别式
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查韦达定理的应用，需要注意的是求出参数值后必须验证判别式，确保方程存在实数根，避免求出的参数不符合题意。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 4x - 5 = 0$；
(2)$x^2 - 4x - 8 = 0$.
1. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 4x - 5 = 0$；
(2)$x^2 - 4x - 8 = 0$.
答案
1. (1)$x_1=-1,x_2=5$ (2)$x=2\pm2\sqrt{3}$
解析
【分析】
要使用配方法解一元二次方程，核心思路是将方程左侧变形为完全平方式，右侧为常数，再通过直接开方求解。本题两个方程的二次项系数均为1，解题思路如下：第一步先移项，将常数项移到等号右侧；第二步配方，在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式；第三步开方得到两个一元一次方程；第四步分别求解得到方程的根。
【解析】
(1) 解方程 $x^2 - 4x - 5 = 0$
① 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 4x = 5$
② 配方：一次项系数为-4，一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，等号两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = 5 +4$
将左侧整理为完全平方形式：
$(x-2)^2 = 9$
③ 开平方：
$x-2 = \pm 3$
④ 分别求解：
当$x-2=3$时，$x=5$；当$x-2=-3$时，$x=-1$。
(2) 解方程 $x^2 -4x -8 =0$
① 移项：
$x^2 -4x = 8$
② 配方，等号两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = 8 +4$
将左侧整理为完全平方形式：
$(x-2)^2 =12$
③ 开平方，将根式化简为最简形式：
$x-2 = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$
④ 移项求解：
$x = 2\pm 2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=5$ (2) $x=2\pm2\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是严格遵循配方法的步骤操作，注意配方时等号两边需同时加相同的数，开平方时不要遗漏负根，根式结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
要使用配方法解一元二次方程，核心思路是将方程左侧变形为完全平方式，右侧为常数，再通过直接开方求解。本题两个方程的二次项系数均为1，解题思路如下：第一步先移项，将常数项移到等号右侧；第二步配方，在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式；第三步开方得到两个一元一次方程；第四步分别求解得到方程的根。
【解析】
(1) 解方程 $x^2 - 4x - 5 = 0$
① 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 4x = 5$
② 配方：一次项系数为-4，一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，等号两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = 5 +4$
将左侧整理为完全平方形式：
$(x-2)^2 = 9$
③ 开平方：
$x-2 = \pm 3$
④ 分别求解：
当$x-2=3$时，$x=5$；当$x-2=-3$时，$x=-1$。
(2) 解方程 $x^2 -4x -8 =0$
① 移项：
$x^2 -4x = 8$
② 配方，等号两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = 8 +4$
将左侧整理为完全平方形式：
$(x-2)^2 =12$
③ 开平方，将根式化简为最简形式：
$x-2 = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$
④ 移项求解：
$x = 2\pm 2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=5$ (2) $x=2\pm2\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是严格遵循配方法的步骤操作，注意配方时等号两边需同时加相同的数，开平方时不要遗漏负根，根式结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
