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12.某班有 45 人,一次体能测试后,老师对测试成绩进行了统计.由于小亮未参加本次集体测试,因此计算出其他 44 人的平均分为 90 分,方差$s^2=41$.之后小亮进行了补测,成绩为 90 分.对比该班 44 人的体能测试成绩,关于该班 45 人的体能测试成绩,下列说法正确的是
（
A.平均分不变,方差变小
B.平均分不变,方差变大
C.平均分变小,方差变小
D.平均分变小,方差变大
（
A
）A.平均分不变,方差变小
B.平均分不变,方差变大
C.平均分变小,方差变小
D.平均分变小,方差变大
答案
12.A
解析
【分析】
解题时我们可以分两步分别判断平均分和方差的变化：第一步先计算加入小亮成绩后的平均分，对比原平均分判断是否变化；第二步根据方差的计算公式，计算加入小亮成绩后的方差，对比原方差判断变化，最终选出正确选项。首先小亮的成绩等于原44人的平均分，可初步判断平均分不会改变；再根据方差反映数据波动程度的性质，新增数据等于平均数时，数据的波动会变小，即可进一步判断方差的变化。
【解析】
1. 计算45人的平均分：
原44人的总分为 $44×90=3960$ 分，
加入小亮的补测成绩90分后，45人的总分为 $3960+90=4050$ 分，
因此45人的平均分为 $4050÷45=90$ 分，和原44人的平均分相同，即平均分不变。
2. 计算45人的方差：
根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$（其中$\overline{x}$为平均数，$n$为数据个数），
原44人的方差为41，因此原44人的成绩与平均分90的差的平方和为 $44×41$。
小亮的成绩为90分，与平均分的差为 $90-90=0$，对应差的平方为0，因此45人的成绩与平均分的差的平方和仍为 $44×41$，
则45人的方差为 $\frac{44×41}{45}\approx40.09＜41$，即方差变小。
综上，平均分不变，方差变小，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题考查平均数和方差的变化规律，解题的核心是熟练掌握平均数和方差的计算公式，也可直接记住规律：当新增数据等于原数据集的平均数时，整体平均数不变，方差会减小。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以分两步分别判断平均分和方差的变化：第一步先计算加入小亮成绩后的平均分，对比原平均分判断是否变化；第二步根据方差的计算公式，计算加入小亮成绩后的方差，对比原方差判断变化，最终选出正确选项。首先小亮的成绩等于原44人的平均分，可初步判断平均分不会改变；再根据方差反映数据波动程度的性质，新增数据等于平均数时，数据的波动会变小，即可进一步判断方差的变化。
【解析】
1. 计算45人的平均分：
原44人的总分为 $44×90=3960$ 分，
加入小亮的补测成绩90分后，45人的总分为 $3960+90=4050$ 分，
因此45人的平均分为 $4050÷45=90$ 分，和原44人的平均分相同，即平均分不变。
2. 计算45人的方差：
根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$（其中$\overline{x}$为平均数，$n$为数据个数），
原44人的方差为41，因此原44人的成绩与平均分90的差的平方和为 $44×41$。
小亮的成绩为90分，与平均分的差为 $90-90=0$，对应差的平方为0，因此45人的成绩与平均分的差的平方和仍为 $44×41$，
则45人的方差为 $\frac{44×41}{45}\approx40.09＜41$，即方差变小。
综上，平均分不变，方差变小，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题考查平均数和方差的变化规律，解题的核心是熟练掌握平均数和方差的计算公式，也可直接记住规律：当新增数据等于原数据集的平均数时，整体平均数不变，方差会减小。
【难度系数】
0.7
13. 现有一组数据：1,1,5,10,20,17,4,12,1,3,9,13,2,14,1,16.若用一个统计量直观反映这组数据的平均水准，则最合适的是
中位数
（选填“平均数”“中位数”或“众数”）。答案
13.中位数
解析
【分析】
要选择合适的统计量反映数据的平均水准，需结合平均数、中位数、众数的特点逐一分析：首先回忆三类统计量的适用场景，平均数易受极端值影响，众数反映数据的多数水平，中位数不受极端值影响、能反映数据的中等水平。观察本组数据，既有多次出现的偏小值1，也有20、17这类偏大的极端值，我们逐一排除不合适的统计量：众数为1，远小于大部分数据，无法代表平均水准；平均数会受极端值干扰，结果存在偏差；只有中位数不受极端值影响，最适合反映本组数据的平均水准。
【解析】
1. 分析众数：本组数据中1出现的次数最多，共4次，即众数为1，但本组中绝大多数数据都大于1，因此众数无法反映整体平均水准。
2. 分析平均数：平均数的计算涉及所有数据的取值，易受极端值（本题中偏小的多个1、偏大的17和20）影响，计算出的结果不能准确反映数据的平均水准。
3. 分析中位数：将数据从小到大排序为：1,1,1,1,2,3,4,5,9,10,12,13,14,16,17,20，共16个数据，取第8、9位数据的平均值作为中位数，即$\frac{5+9}{2}=7$。中位数不受极端值干扰，能直观反映本组数据的中间平均水准。
综上，最合适的统计量是中位数。
【答案】
中位数
【知识点】
统计量的选用；中位数的特征；平均数的特征
【点评】
本题考查不同统计量的适用场景，解题核心是掌握三类统计量的优缺点，结合数据的实际特征选择对应的统计量反映数据的集中趋势。
【难度系数】
0.7
要选择合适的统计量反映数据的平均水准，需结合平均数、中位数、众数的特点逐一分析：首先回忆三类统计量的适用场景，平均数易受极端值影响，众数反映数据的多数水平，中位数不受极端值影响、能反映数据的中等水平。观察本组数据，既有多次出现的偏小值1，也有20、17这类偏大的极端值，我们逐一排除不合适的统计量：众数为1，远小于大部分数据，无法代表平均水准；平均数会受极端值干扰，结果存在偏差；只有中位数不受极端值影响，最适合反映本组数据的平均水准。
【解析】
1. 分析众数：本组数据中1出现的次数最多，共4次，即众数为1，但本组中绝大多数数据都大于1，因此众数无法反映整体平均水准。
2. 分析平均数：平均数的计算涉及所有数据的取值，易受极端值（本题中偏小的多个1、偏大的17和20）影响，计算出的结果不能准确反映数据的平均水准。
3. 分析中位数：将数据从小到大排序为：1,1,1,1,2,3,4,5,9,10,12,13,14,16,17,20，共16个数据，取第8、9位数据的平均值作为中位数，即$\frac{5+9}{2}=7$。中位数不受极端值干扰，能直观反映本组数据的中间平均水准。
综上，最合适的统计量是中位数。
【答案】
中位数
【知识点】
统计量的选用；中位数的特征；平均数的特征
【点评】
本题考查不同统计量的适用场景，解题核心是掌握三类统计量的优缺点，结合数据的实际特征选择对应的统计量反映数据的集中趋势。
【难度系数】
0.7
14.小华参加了3门功课的测试,平均成绩是83分.若他计划在数学(满分120分)测试后,使4门功课的平均成绩达到90分,则数学测试至少要得
111
分.答案
14.111
解析
【分析】
解决本题的核心是利用平均分和总分的关系：总分=平均分×科目数量。首先先算出前3门功课的总分数，再算出4门功课平均成绩达到90分时的总分数，两个总分数的差值就是数学测试至少需要取得的分数，最后验证该分数未超过满分，确保结果合理即可。
【解析】
方法一：算术法
1. 计算前3门功课的总分：
已知3门平均成绩为83分，总分为 $ 3 × 83 = 249 $ 分
2. 计算4门功课平均90分时的总分：
总分为 $ 4 × 90 = 360 $ 分
3. 计算数学至少需要的得分：
数学得分 = 4门总分 - 3门总分 = $ 360 - 249 = 111 $ 分
4. 验证合理性：111分＜满分120分，符合要求。
方法二：方程法
设数学测试得$ x $分，根据4门平均成绩为90分列方程：
$ \frac{249 + x}{4} = 90 $
解得 $ x = 360 - 249 = 111 $，验证111＜120，符合要求。
【答案】
111
【知识点】
平均数的应用；总分与平均分的关系
【点评】
本题是平均数的基础实际应用题，解题关键是掌握总分、平均分、科目数三者的数量关系，计算时注意运算准确性，涉及满分限制的题型，最后要验证结果是否符合实际要求。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用平均分和总分的关系：总分=平均分×科目数量。首先先算出前3门功课的总分数，再算出4门功课平均成绩达到90分时的总分数，两个总分数的差值就是数学测试至少需要取得的分数，最后验证该分数未超过满分，确保结果合理即可。
【解析】
方法一：算术法
1. 计算前3门功课的总分：
已知3门平均成绩为83分，总分为 $ 3 × 83 = 249 $ 分
2. 计算4门功课平均90分时的总分：
总分为 $ 4 × 90 = 360 $ 分
3. 计算数学至少需要的得分：
数学得分 = 4门总分 - 3门总分 = $ 360 - 249 = 111 $ 分
4. 验证合理性：111分＜满分120分，符合要求。
方法二：方程法
设数学测试得$ x $分，根据4门平均成绩为90分列方程：
$ \frac{249 + x}{4} = 90 $
解得 $ x = 360 - 249 = 111 $，验证111＜120，符合要求。
【答案】
111
【知识点】
平均数的应用；总分与平均分的关系
【点评】
本题是平均数的基础实际应用题，解题关键是掌握总分、平均分、科目数三者的数量关系，计算时注意运算准确性，涉及满分限制的题型，最后要验证结果是否符合实际要求。
【难度系数】
0.8
