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14. 如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E.若AB=2,AE=3,则DE的长为 （
A.5
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{6}$
D.2.5
B
）A.5
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{6}$
D.2.5
答案
14.B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用平行四边形对边平行的性质，得到同旁内角∠BAD与∠CDA互补，再结合角平分线的定义，可推出∠AED=90°，即△AED为直角三角形；2. 利用平行线的内错角相等，结合角平分线定义，可证得△ABE和△DCE均为等腰三角形，进而得到BE=AB、EC=CD，结合平行四边形对边相等的性质，求出BC的长度，也就得到了斜边AD的长度；3. 最后在直角三角形AED中，用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，AD=BC，AB//CD，
∴∠BAD + ∠CDA = 180°，∠DAE = ∠AEB，∠ADE = ∠DEC。
∵AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，
∴∠BAE = ∠DAE，∠CDE = ∠ADE，
∴∠DAE + ∠ADE = $\frac{1}{2}$(∠BAD + ∠CDA) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
∴∠AED = 180° - 90° = 90°，即△AED是直角三角形。
又
∵∠BAE = ∠DAE，∠DAE = ∠AEB，
∴∠BAE = ∠AEB，
∴BE = AB = 2，
同理可得EC = CD = AB = 2，
∴BC = BE + EC = 2 + 2 = 4，即AD = BC = 4。
在Rt△AED中，AE=3，AD=4，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2 - AE^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形、角平分线、等腰三角形判定、勾股定理等知识点结合考查，解题的关键是先判断出△AED是直角三角形，再求出AD的长度，熟练掌握基础几何性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用平行四边形对边平行的性质，得到同旁内角∠BAD与∠CDA互补，再结合角平分线的定义，可推出∠AED=90°，即△AED为直角三角形；2. 利用平行线的内错角相等，结合角平分线定义，可证得△ABE和△DCE均为等腰三角形，进而得到BE=AB、EC=CD，结合平行四边形对边相等的性质，求出BC的长度，也就得到了斜边AD的长度；3. 最后在直角三角形AED中，用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，AD=BC，AB//CD，
∴∠BAD + ∠CDA = 180°，∠DAE = ∠AEB，∠ADE = ∠DEC。
∵AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，
∴∠BAE = ∠DAE，∠CDE = ∠ADE，
∴∠DAE + ∠ADE = $\frac{1}{2}$(∠BAD + ∠CDA) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
∴∠AED = 180° - 90° = 90°，即△AED是直角三角形。
又
∵∠BAE = ∠DAE，∠DAE = ∠AEB，
∴∠BAE = ∠AEB，
∴BE = AB = 2，
同理可得EC = CD = AB = 2，
∴BC = BE + EC = 2 + 2 = 4，即AD = BC = 4。
在Rt△AED中，AE=3，AD=4，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2 - AE^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形、角平分线、等腰三角形判定、勾股定理等知识点结合考查，解题的关键是先判断出△AED是直角三角形，再求出AD的长度，熟练掌握基础几何性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
15. 在$□ ABCD$中，$∠ DAB$的平分线将边$BC$分为$3\ \mathrm{cm}$和$4\ \mathrm{cm}$两部分，则$□ ABCD$的周长为（
A.$20\ \mathrm{cm}$
B.$22\ \mathrm{cm}$
C.$10\ \mathrm{cm}$
D.$20\ \mathrm{cm}$或$22\ \mathrm{cm}$
D
）A.$20\ \mathrm{cm}$
B.$22\ \mathrm{cm}$
C.$10\ \mathrm{cm}$
D.$20\ \mathrm{cm}$或$22\ \mathrm{cm}$
答案
15.D
解析
【分析】
首先回忆平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，可推导得出△ABE为等腰三角形，即AB=BE。由于题目未明确角平分线分BC所得的两部分哪段是BE、哪段是EC，因此需要分两种情况分类讨论，分别计算周长，避免漏解。
【解析】
设∠DAB的平分线交BC于点E。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴ ∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）。
∵ AE平分∠DAB，
∴ ∠DAE=∠BAE，
∴ ∠BAE=∠AEB，
∴ AB=BE（等角对等边）。
分两种情况讨论：
① 当BE=3cm，EC=4cm时：
BC=BE+EC=3+4=7cm，AB=BE=3cm，
平行四边形ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(3+7)=20cm；
② 当BE=4cm，EC=3cm时：
BC=BE+EC=4+3=7cm，AB=BE=4cm，
平行四边形ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(4+7)=22cm。
综上，□ABCD的周长为20cm或22cm。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，仅计算其中一种情况导致漏解。解题时需明确不确定条件的多种可能性，熟练结合平行四边形、等腰三角形的相关性质推导计算。
【难度系数】
0.6
首先回忆平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，可推导得出△ABE为等腰三角形，即AB=BE。由于题目未明确角平分线分BC所得的两部分哪段是BE、哪段是EC，因此需要分两种情况分类讨论，分别计算周长，避免漏解。
【解析】
设∠DAB的平分线交BC于点E。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∴ ∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）。
∵ AE平分∠DAB，
∴ ∠DAE=∠BAE，
∴ ∠BAE=∠AEB，
∴ AB=BE（等角对等边）。
分两种情况讨论：
① 当BE=3cm，EC=4cm时：
BC=BE+EC=3+4=7cm，AB=BE=3cm，
平行四边形ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(3+7)=20cm；
② 当BE=4cm，EC=3cm时：
BC=BE+EC=4+3=7cm，AB=BE=4cm，
平行四边形ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(4+7)=22cm。
综上，□ABCD的周长为20cm或22cm。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，仅计算其中一种情况导致漏解。解题时需明确不确定条件的多种可能性，熟练结合平行四边形、等腰三角形的相关性质推导计算。
【难度系数】
0.6
16.如图,在$□ ABCD$中,E为边BC延长线上一点,连接AE,DE.若$△ ADE$的面积为2,则$□ ABCD$的面积为________.
答案
16.4
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行，因此AD与BE平行，平行线之间的距离处处相等。观察可得△ADE和平行四边形ABCD共享底边AD，且△ADE中AD边上的高等于平行四边形ABCD中AD边上的高（即AD与BE的间距）。再结合三角形和平行四边形的面积公式，即可推出平行四边形面积是△ADE面积的2倍，代入数值计算即可。
【解析】
解：设AD与BC之间的距离为$ h $，即平行四边形ABCD中AD边上的高为$ h $。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $ AD // BC $，
又
∵ 点E在BC的延长线上，
∴ 点E到直线AD的距离等于$ h $。
已知$ S_{△ ADE} = \frac{1}{2} × AD × h = 2 $，
则$ AD × h = 4 $。
而平行四边形ABCD的面积$ S_{□ ABCD} = AD × h = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质；平行线间的距离；面积计算
【点评】
本题解题的核心是发现△ADE与平行四边形ABCD同底等高，结合二者的面积公式即可快速求解，解题时要熟练掌握平行四边形对边平行的性质，理解平行线间距离处处相等的特点。
【难度系数】
0.8
首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行，因此AD与BE平行，平行线之间的距离处处相等。观察可得△ADE和平行四边形ABCD共享底边AD，且△ADE中AD边上的高等于平行四边形ABCD中AD边上的高（即AD与BE的间距）。再结合三角形和平行四边形的面积公式，即可推出平行四边形面积是△ADE面积的2倍，代入数值计算即可。
【解析】
解：设AD与BC之间的距离为$ h $，即平行四边形ABCD中AD边上的高为$ h $。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $ AD // BC $，
又
∵ 点E在BC的延长线上，
∴ 点E到直线AD的距离等于$ h $。
已知$ S_{△ ADE} = \frac{1}{2} × AD × h = 2 $，
则$ AD × h = 4 $。
而平行四边形ABCD的面积$ S_{□ ABCD} = AD × h = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质；平行线间的距离；面积计算
【点评】
本题解题的核心是发现△ADE与平行四边形ABCD同底等高，结合二者的面积公式即可快速求解，解题时要熟练掌握平行四边形对边平行的性质，理解平行线间距离处处相等的特点。
【难度系数】
0.8
17.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AB=CD=2,BC=5,∠BAD的平分线交BC于点E,且AE//CD,则四边形ABCD的面积为
$4\sqrt{3}$
.答案
17.$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先根据两组对边分别平行的条件判定四边形AECD是平行四边形，得到边的等量关系；再结合角平分线性质和平行线的内错角相等，推导得出△ABE是等边三角形，进而求出梯形的高和上底AD的长度，最后代入梯形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵AD//BC，AE//CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=2，AD=EC。
2. 推导△ABE的形状：
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
又
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=2。
3. 求上底AD长度：
∵BC=5，
∴EC=BC-BE=5-2=3，
∴AD=EC=3。
4. 求梯形的高：
∵AB=BE=AE=2，
∴△ABE是等边三角形，
过A作AF⊥BC于F，AF既是等边△ABE的高，也是梯形ABCD的高，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AB^2-(\frac{BE}{2})^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
5. 计算梯形面积：
∵AD//BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
面积$S=\frac{1}{2}×(AD+BC)× AF=\frac{1}{2}×(3+5)×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，梯形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心是通过平行关系和角平分线性质推导得到等边三角形，进而得到梯形的关键参数（上底、高），需要熟练掌握特殊几何图形的性质，结合等量代换完成推导。
【难度系数】
0.65
首先根据两组对边分别平行的条件判定四边形AECD是平行四边形，得到边的等量关系；再结合角平分线性质和平行线的内错角相等，推导得出△ABE是等边三角形，进而求出梯形的高和上底AD的长度，最后代入梯形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵AD//BC，AE//CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=2，AD=EC。
2. 推导△ABE的形状：
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
又
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=2。
3. 求上底AD长度：
∵BC=5，
∴EC=BC-BE=5-2=3，
∴AD=EC=3。
4. 求梯形的高：
∵AB=BE=AE=2，
∴△ABE是等边三角形，
过A作AF⊥BC于F，AF既是等边△ABE的高，也是梯形ABCD的高，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AB^2-(\frac{BE}{2})^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
5. 计算梯形面积：
∵AD//BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
面积$S=\frac{1}{2}×(AD+BC)× AF=\frac{1}{2}×(3+5)×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，梯形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心是通过平行关系和角平分线性质推导得到等边三角形，进而得到梯形的关键参数（上底、高），需要熟练掌握特殊几何图形的性质，结合等量代换完成推导。
【难度系数】
0.65
18.利用“剪、拼”的方法将如图的一块三角形纸片变成一个与原三角形面积相等的平行四边形纸片,请说明你的方法,并证明该方法的合理性.
答案
18.解:如图,四边形 ABDE 即为所求.
方法:沿 AC 的中点 E 以及 BC 的中点 F,剪掉△EFC,再将△EFC 绕点 F 按顺时针方向旋转 180°到△DFB 的位置.(答案不唯一)
证明如下:
∵AE=EC,EC=BD,
∴BD=AE.
∵∠D=∠CEF,
∴BD//AC,
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
解析
【分析】
要构造与原三角形面积相等的平行四边形，可结合平行四边形的判定条件和图形变换的性质思考：首先平行四边形需要满足一组对边平行且相等，其次剪拼前后总面积不能改变，旋转操作刚好不改变图形的形状和面积。因此我们可以先取三角形两边的中点，沿中点连线剪下小三角形，将小三角形旋转180°后，借助旋转的全等性质就能得到相等且平行的对边，最终得到符合要求的平行四边形。
【解析】
方法：分别取AC的中点E、BC的中点F，连接EF，沿EF剪掉△EFC，再将△EFC绕点F按顺时针方向旋转180°到△DFB的位置，所得四边形ABDE即为所求。
证明：
∵E是AC的中点，F是BC的中点，
∴AE=EC，BF=FC。
由旋转的性质可得△DFB≌△EFC，
∴EC=BD，∠D=∠CEF，
∴BD=AE，且BD//AC，即BD//AE。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABDE是平行四边形。
又
∵S四边形ABDE = S四边形ABFE + S△DFB = S四边形ABFE + S△EFC = S△ABC，
因此所得平行四边形和原三角形面积相等，符合要求。
【答案】
如图，四边形ABDE即为所求。
方法:沿AC的中点E以及BC的中点F,剪掉△EFC,再将△EFC绕点F按顺时针方向旋转180°到△DFB的位置。(答案不唯一)
证明如下:
∵AE=EC,EC=BD,
∴BD=AE.
∵∠D=∠CEF,
∴BD//AC,
∴四边形ABDE是平行四边形.
【知识点】
图形剪拼操作，平行四边形的判定，旋转的性质
【点评】
本题结合动手操作考查几何推理能力，需要灵活运用旋转的性质和平行四边形的判定定理解题，解法多样，具有一定的开放性，兼顾了对实践能力和逻辑思维的考查。
【难度系数】
0.7
要构造与原三角形面积相等的平行四边形，可结合平行四边形的判定条件和图形变换的性质思考：首先平行四边形需要满足一组对边平行且相等，其次剪拼前后总面积不能改变，旋转操作刚好不改变图形的形状和面积。因此我们可以先取三角形两边的中点，沿中点连线剪下小三角形，将小三角形旋转180°后，借助旋转的全等性质就能得到相等且平行的对边，最终得到符合要求的平行四边形。
【解析】
方法：分别取AC的中点E、BC的中点F，连接EF，沿EF剪掉△EFC，再将△EFC绕点F按顺时针方向旋转180°到△DFB的位置，所得四边形ABDE即为所求。
证明：
∵E是AC的中点，F是BC的中点，
∴AE=EC，BF=FC。
由旋转的性质可得△DFB≌△EFC，
∴EC=BD，∠D=∠CEF，
∴BD=AE，且BD//AC，即BD//AE。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABDE是平行四边形。
又
∵S四边形ABDE = S四边形ABFE + S△DFB = S四边形ABFE + S△EFC = S△ABC，
因此所得平行四边形和原三角形面积相等，符合要求。
【答案】
如图，四边形ABDE即为所求。
方法:沿AC的中点E以及BC的中点F,剪掉△EFC,再将△EFC绕点F按顺时针方向旋转180°到△DFB的位置。(答案不唯一)
证明如下:
∵AE=EC,EC=BD,
∴BD=AE.
∵∠D=∠CEF,
∴BD//AC,
∴四边形ABDE是平行四边形.
【知识点】
图形剪拼操作，平行四边形的判定，旋转的性质
【点评】
本题结合动手操作考查几何推理能力，需要灵活运用旋转的性质和平行四边形的判定定理解题，解法多样，具有一定的开放性，兼顾了对实践能力和逻辑思维的考查。
【难度系数】
0.7
19.某城市部分街道示意图如图,已知$AF// BC$,$EC⊥ BC$,$BA// DE$,$BD// AE$.甲、乙两人同时从$B$站乘车到$F$站,甲乘1路车,路线是$B⇒ A⇒ E⇒ F$;乙乘2路车,路线是$B⇒ D⇒ C⇒ F$,假设两车速度相同,途中耽误的时间相同,那么谁先到达$F$站?请说明理由.
答案
19.解:同时到达.理由如下:
如图,连接 BE 交 AD 于点 G.
∵BA//DE,AE//DB,
∴四边形 ABDE 为平行四边形,
∴AB=DE,AE=BD,BG=GE.
∵AF//BC,G 是 BE 的中点,
∴F 是 CE 的中点,
即 EF=FC.
∵EC⊥BC,AF//BC,
∴AF⊥CE,
∴AF 垂直平分 CE,
∴DE=DC,
∴AB=DC,
∴AB+AE+EF=DC+BD+CF,
∴二人同时到达 F 站.
解析
【分析】
要判断谁先到达F站，因两车速度相同、途中耽误时间相同，本质是比较两条路线的总长度是否相等：①先根据两组对边分别平行的条件判定四边形ABDE是平行四边形，得到AE=BD、AB=DE，同时平行四边形对角线互相平分，可得交点G是BE的中点；②结合AF//BC，利用过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边，推得F是CE中点，即EF=FC；③由EC⊥BC、AF//BC可推出AF⊥EC，因此AF是CE的垂直平分线，根据垂直平分线性质得DE=DC，进而得到AB=DC；④最后将两条路线的线段对应替换，即可证明总长度相等，得出两人同时到达的结论。
【解析】
解：两人同时到达，理由如下：
如图，连接BE交AD于点G。
∵BA//DE，AE//DB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB=DE，AE=BD，BG=GE。
∵AF//BC，G是BE的中点，
∴F是CE的中点，即EF=FC。
∵EC⊥BC，AF//BC，
∴AF⊥CE，即AF垂直平分CE，
∴DE=DC，
∴AB=DC，
∴AB+AE+EF=DC+BD+CF。
∵两车行驶速度相同，途中耽误的时间相同，因此两人所用时间相等。
【答案】
两人同时到达F站。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质
【点评】
本题将实际行程问题转化为几何线段长度和的比较问题，解题核心是灵活运用平行四边形、垂直平分线的性质推导线段相等，能很好地考查几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断谁先到达F站，因两车速度相同、途中耽误时间相同，本质是比较两条路线的总长度是否相等：①先根据两组对边分别平行的条件判定四边形ABDE是平行四边形，得到AE=BD、AB=DE，同时平行四边形对角线互相平分，可得交点G是BE的中点；②结合AF//BC，利用过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边，推得F是CE中点，即EF=FC；③由EC⊥BC、AF//BC可推出AF⊥EC，因此AF是CE的垂直平分线，根据垂直平分线性质得DE=DC，进而得到AB=DC；④最后将两条路线的线段对应替换，即可证明总长度相等，得出两人同时到达的结论。
【解析】
解：两人同时到达，理由如下：
如图，连接BE交AD于点G。
∵BA//DE，AE//DB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB=DE，AE=BD，BG=GE。
∵AF//BC，G是BE的中点，
∴F是CE的中点，即EF=FC。
∵EC⊥BC，AF//BC，
∴AF⊥CE，即AF垂直平分CE，
∴DE=DC，
∴AB=DC，
∴AB+AE+EF=DC+BD+CF。
∵两车行驶速度相同，途中耽误的时间相同，因此两人所用时间相等。
【答案】
两人同时到达F站。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质
【点评】
本题将实际行程问题转化为几何线段长度和的比较问题，解题核心是灵活运用平行四边形、垂直平分线的性质推导线段相等，能很好地考查几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
