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20.数学课上,我们探究过三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.以下是对此定理的探究及证明过程:
已知:如图1,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.
求证:$DE// BC$且$DE=\frac{1}{2}BC$.
(1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学.如图2,他们在思考后说出了添加的辅助线.
甲:延长DE至点F,使$EF=DE$,连接CF.
乙:延长DE至点F,使$EF=DE$,连接FC,DC,AF.
丙:过点A作$AH⊥ DE$,延长HD至点G,使$DG=HD$,延长HE至点F,使$EF=HE$,连接BG,CF.
丁:过点E作$EG// AB$,交BC于点G,过点A作BC的平行线交GE的延长线于点F.
以上四位同学所作的辅助线,能证明三角形的中位线定理的是 （
A.甲、乙、丁 B.乙、丙 C.乙、丁 D.甲、乙、丙、丁
(2)【定理证明】请你根据乙同学所作的辅助线将证明过程补充完整.
(3)【定理应用】如图3,B,C两地被池塘隔开,不能直接测量它们之间的距离.小颖在地面上选了点A和点D,使$AD// BC$,连接AB,DC,并分别找到AB和DC的中点M,N.若测得$AD=a\ \mathrm{m}$,$MN=b\ \mathrm{m}$,则C,B两地间的距离为
已知:如图1,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.
求证:$DE// BC$且$DE=\frac{1}{2}BC$.
(1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学.如图2,他们在思考后说出了添加的辅助线.
甲:延长DE至点F,使$EF=DE$,连接CF.
乙:延长DE至点F,使$EF=DE$,连接FC,DC,AF.
丙:过点A作$AH⊥ DE$,延长HD至点G,使$DG=HD$,延长HE至点F,使$EF=HE$,连接BG,CF.
丁:过点E作$EG// AB$,交BC于点G,过点A作BC的平行线交GE的延长线于点F.
以上四位同学所作的辅助线,能证明三角形的中位线定理的是 （
D
）A.甲、乙、丁 B.乙、丙 C.乙、丁 D.甲、乙、丙、丁
(2)【定理证明】请你根据乙同学所作的辅助线将证明过程补充完整.
(3)【定理应用】如图3,B,C两地被池塘隔开,不能直接测量它们之间的距离.小颖在地面上选了点A和点D,使$AD// BC$,连接AB,DC,并分别找到AB和DC的中点M,N.若测得$AD=a\ \mathrm{m}$,$MN=b\ \mathrm{m}$,则C,B两地间的距离为
$2b-a$
$\mathrm{m}$(用含$a,b$的代数式表示).答案
20.(1)解:四位同学所作的辅助线都能证明三角形的中位线定理,故答案为 D.
(2)证明:
∵DE=EF,AE=CE,
∴四边形 ADCF 是平行四边形,
∴AD//CF,AD=CF.
∵AD=BD,
∴BD=CF,
∴四边形 BCFD 是平行四边形,
∴DF//BC,DF=BC,
∴DE//BC.
∵DE=$\frac{1}{2}$DF,
∴DE=$\frac{1}{2}$BC.
(3)解:如图,连接 BN 并延长,交 AD 的延长线于点 P.
∵AD//BC,
∴∠NBC=∠NPD,∠NCB=∠NDP.
又
∵CN=DN,
∴△NBC≌△NPD(AAS),
∴BC=PD,BN=PN,
∴N 为 BP 的中点.
又
∵M 为 AB 的中点,
∴MN 是△ABP 的中位线,
∴AP=2MN=2b m.
∵AD=a m,
∴PD=(2b−a)m,
∴BC=(2b−a)m.故答案为(2b−a).
解析
【分析】
(1) 本问需逐一验证四位同学的辅助线能否推导出“DE//BC且$DE=\frac{1}{2}BC$”：甲的辅助线可通过证三角形全等得到对边平行且相等，进而构造平行四边形推导结论；乙的辅助线利用对角线互相平分先证平行四边形，再推导第二组平行四边形得到结论；丙的辅助线通过全等构造出含DE边的平行四边形，可推导中位线性质；丁的辅助线通过平行线构造全等和平行四边形，同样可证中位线定理，四位同学的辅助线均可行。
(2) 本问利用乙的辅助线，可先通过对角线互相平分判定四边形ADCF是平行四边形，再推导得到四边形BCFD是平行四边形，进而得到中位线与第三边的位置、数量关系。
(3) 本问是中位线的实际应用，已知M、N为两条边的中点，可通过延长BN交AD延长线于点P，先证三角形全等将BC转化为AD延长线上的线段PD，再利用三角形中位线定理求出AP的长度，减去AD的长度即可得到BC的长度。
【解析】
(1) 逐一验证四位同学的辅助线：
甲：延长DE至F使$EF=DE$，连接CF，可证$△ ADE≌△ CFE$（SAS），得$AD=CF$、$AD//CF$，结合$AD=BD$，可得BD平行且等于CF，四边形DBCF为平行四边形，因此$DE//BC$，$DE=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}BC$，可证明定理；
乙：延长DE至F使$EF=DE$，连接FC、DC、AF，由$AE=CE$、$DE=EF$可知四边形ADCF对角线互相平分，是平行四边形，得AD平行且等于CF，结合$AD=BD$，可得BD平行且等于CF，四边形BCFD为平行四边形，因此$DF//BC$、$DF=BC$，故$DE//BC$且$DE=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}BC$，可证明定理；
丙：过点A作$AH⊥DE$，延长HD至G使$DG=HD$，延长HE至F使$EF=HE$，连接BG、CF，可证$△ BDG≌△ ADH$、$△ CEF≌△ AEH$，得$BG=AH=CF$且$BG//AH//CF$，因此四边形BCFG是平行四边形，$GF//BC$且$GF=BC$，又$DE=\frac{1}{2}GF$，故$DE//BC$且$DE=\frac{1}{2}BC$，可证明定理；
丁：过点E作$EG//AB$交BC于G，过A作BC的平行线交GE延长线于F，由$AF//BC$可证$△ AEF≌△ CEG$（AAS），得$AF=CG$，又$AF//BG$、$AB//FG$，因此四边形ABGF是平行四边形，得$AB=FG$，$BG=AF=CG$，即G为BC中点，进而可证中位线定理。
因此四位同学的辅助线都能证明定理，答案选D。
(2) 证明：
∵$DE=EF$，$AE=CE$，
∴四边形ADCF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴$AD//CF$，$AD=CF$。
∵D是AB中点，
∴$AD=BD$，
∴$BD=CF$，且$BD//CF$，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴$DF//BC$，$DF=BC$，
∴$DE//BC$。
∵$DE=\frac{1}{2}DF$，
∴$DE=\frac{1}{2}BC$。
(3) 连接BN并延长，交AD的延长线于点P，
∵$AD//BC$，
∴$∠NBC=∠NPD$，$∠NCB=∠NDP$。
又
∵N是DC中点，
∴$CN=DN$，
∴$△ NBC≌△ NPD$（AAS），
∴$BC=PD$，$BN=PN$，即N为BP的中点。
又
∵M是AB的中点，
∴MN是$△ ABP$的中位线，
∴$AP=2MN=2b\ \mathrm{m}$。
∵$AD=a\ \mathrm{m}$，
∴$PD=AP-AD=(2b−a)\mathrm{m}$，
∴$BC=PD=(2b−a)\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\mathrm{D}$
(2) 证明过程见上述解析
(3) $(2b-a)$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题从三角形中位线定理的探究、证明到实际应用层层递进，既考查了全等三角形、平行四边形等基础几何知识的掌握，又引导学生掌握构造辅助线转化几何问题的思路，第三问结合实际场景考查定理应用，能有效提升学生的知识迁移能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本问需逐一验证四位同学的辅助线能否推导出“DE//BC且$DE=\frac{1}{2}BC$”：甲的辅助线可通过证三角形全等得到对边平行且相等，进而构造平行四边形推导结论；乙的辅助线利用对角线互相平分先证平行四边形，再推导第二组平行四边形得到结论；丙的辅助线通过全等构造出含DE边的平行四边形，可推导中位线性质；丁的辅助线通过平行线构造全等和平行四边形，同样可证中位线定理，四位同学的辅助线均可行。
(2) 本问利用乙的辅助线，可先通过对角线互相平分判定四边形ADCF是平行四边形，再推导得到四边形BCFD是平行四边形，进而得到中位线与第三边的位置、数量关系。
(3) 本问是中位线的实际应用，已知M、N为两条边的中点，可通过延长BN交AD延长线于点P，先证三角形全等将BC转化为AD延长线上的线段PD，再利用三角形中位线定理求出AP的长度，减去AD的长度即可得到BC的长度。
【解析】
(1) 逐一验证四位同学的辅助线：
甲：延长DE至F使$EF=DE$，连接CF，可证$△ ADE≌△ CFE$（SAS），得$AD=CF$、$AD//CF$，结合$AD=BD$，可得BD平行且等于CF，四边形DBCF为平行四边形，因此$DE//BC$，$DE=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}BC$，可证明定理；
乙：延长DE至F使$EF=DE$，连接FC、DC、AF，由$AE=CE$、$DE=EF$可知四边形ADCF对角线互相平分，是平行四边形，得AD平行且等于CF，结合$AD=BD$，可得BD平行且等于CF，四边形BCFD为平行四边形，因此$DF//BC$、$DF=BC$，故$DE//BC$且$DE=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}BC$，可证明定理；
丙：过点A作$AH⊥DE$，延长HD至G使$DG=HD$，延长HE至F使$EF=HE$，连接BG、CF，可证$△ BDG≌△ ADH$、$△ CEF≌△ AEH$，得$BG=AH=CF$且$BG//AH//CF$，因此四边形BCFG是平行四边形，$GF//BC$且$GF=BC$，又$DE=\frac{1}{2}GF$，故$DE//BC$且$DE=\frac{1}{2}BC$，可证明定理；
丁：过点E作$EG//AB$交BC于G，过A作BC的平行线交GE延长线于F，由$AF//BC$可证$△ AEF≌△ CEG$（AAS），得$AF=CG$，又$AF//BG$、$AB//FG$，因此四边形ABGF是平行四边形，得$AB=FG$，$BG=AF=CG$，即G为BC中点，进而可证中位线定理。
因此四位同学的辅助线都能证明定理，答案选D。
(2) 证明：
∵$DE=EF$，$AE=CE$，
∴四边形ADCF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴$AD//CF$，$AD=CF$。
∵D是AB中点，
∴$AD=BD$，
∴$BD=CF$，且$BD//CF$，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴$DF//BC$，$DF=BC$，
∴$DE//BC$。
∵$DE=\frac{1}{2}DF$，
∴$DE=\frac{1}{2}BC$。
(3) 连接BN并延长，交AD的延长线于点P，
∵$AD//BC$，
∴$∠NBC=∠NPD$，$∠NCB=∠NDP$。
又
∵N是DC中点，
∴$CN=DN$，
∴$△ NBC≌△ NPD$（AAS），
∴$BC=PD$，$BN=PN$，即N为BP的中点。
又
∵M是AB的中点，
∴MN是$△ ABP$的中位线，
∴$AP=2MN=2b\ \mathrm{m}$。
∵$AD=a\ \mathrm{m}$，
∴$PD=AP-AD=(2b−a)\mathrm{m}$，
∴$BC=PD=(2b−a)\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\mathrm{D}$
(2) 证明过程见上述解析
(3) $(2b-a)$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题从三角形中位线定理的探究、证明到实际应用层层递进，既考查了全等三角形、平行四边形等基础几何知识的掌握，又引导学生掌握构造辅助线转化几何问题的思路，第三问结合实际场景考查定理应用，能有效提升学生的知识迁移能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
