21. 下面是小明同学的一篇数学读书笔记,请仔细阅读并完成相应的任务.
我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题:
如图1,给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,如何利用无刻度的直尺和圆规在点B,C之间画一条过点A的直线,且点B和点C到这条直线的距离相等?

下面是我的解题步骤:
如图2,第一步:以点B为圆心,以AC的长为半径画弧;
第二步:以点C为圆心,以AB的长为半径画弧,两弧交于点D;
第三步:作直线AD,则点B和点C到直线AD的距离相等.
下面是部分证明过程:
证明:如图3,连接BD,CD,过点B作$BE⊥AD$于点E,过点C作$CF⊥AD$于点F,连接BC交AD于点O.由作图可知$AB=CD,AC=BD$,
∴四边形ABDC是平行四边形(依据1),
∴$BO=CO$(依据2).
……
于是我得到了这样的结论:只要确定了线段BC的中点,则由两点确定一条直线即可确定问题中所求的直线.
任务:(1)材料中的“依据1”是指;
“依据2”是指.
(2)请将小明的证明过程补充完整.
(3)尺规作图:请在下图中,用不同于材料中的方法,在点B和点C之间作直线AM,使得点B和点C到直线AM的距离相等.(要求:保留作图痕迹,标明字母,不写作法)

21.(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的对角线互相平分
(2)补充证明过程如下:
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BEO=∠CFO=90°.
在△BEO 和△CFO 中,$\begin{cases}∠BEO=∠CFO,\\∠BOE=∠COF,\\OB=OC,\end{cases}$
∴△BEO≌△CFO(AAS),
∴BE=CF,即点 B 和点 C 到直线 AD 的距离相等.
(3)如图,直线 AM 即为所求.

【分析】
(1) 针对依据类问题，先梳理已知条件：作图得AB=CD、AC=BD，即四边形ABDC两组对边分别相等，对应平行四边形的判定定理；BO=CO是平行四边形对角线的性质，直接对应相关定理即可。
(2) 补充证明的目标是证明点B、C到AD的距离相等，即证垂线段BE=CF。已知已推出OB=OC，结合两条垂线得到的直角相等、对顶角相等，可用AAS证明△BEO和△CFO全等，得到对应边BE=CF即可完成证明。
(3) 作图要求和材料方法不同，材料是构造平行四边形找BC中点，我们可直接用尺规作线段BC的垂直平分线，找到BC中点M后连接AM，即可满足B、C到AM距离相等的要求，作图时保留垂直平分线的弧痕即可。
【解析】
(1) 已知四边形ABDC两组对边分别相等，依据平行四边形判定定理，可得依据1为两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角线互相平分，因此BO=CO，依据2为平行四边形的对角线互相平分。
(2) 要证B、C到AD的距离相等，即证BE=CF，结合已知的OB=OC，通过证明三角形全等即可推导得出对应边相等。
(3) 作BC的垂直平分线找到中点M，连接AM，此时M是BC中点，可证B、C到AM的距离相等，符合作图要求。
【答案】
(1) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的对角线互相平分
(2) 补充证明过程如下:
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BEO=∠CFO=90°.
在△BEO 和△CFO 中,$\begin{cases}∠BEO=∠CFO,\\∠BOE=∠COF,\\OB=OC,\end{cases}$
∴△BEO≌△CFO(AAS),
∴BE=CF,即点 B 和点 C 到直线 AD 的距离相等.
(3) 如图,直线 AM 即为所求.

【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；尺规作图
【点评】
本题将尺规作图与几何证明相结合，既考查了基础几何定理的记忆与应用，也锻炼了动手操作能力，需要学生灵活运用平行四边形、全等三角形的相关性质解决作图和证明问题，是对几何基础能力的综合考查。
【难度系数】
0.7