7. 如图,AB 和 CD 是夹在两平行线 $ l_1, l_2 $ 之间的平行线段,则 AB ______ CD.(填“＞”“＜”或“=”)

7.=

【分析】
首先观察图形和已知条件，已知$l_1$和$l_2$互相平行，AB、CD是夹在两条平行线之间的平行线段。我们可以先判断四边形ABDC的形状：根据平行四边形的判定规则，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此先确认两组对边的平行关系，再利用平行四边形的性质就能推出AB和CD的大小关系。
【解析】
解：
∵ $l_1 // l_2$，点A、C在$l_1$上，点B、D在$l_2$上
∴ $AC // BD$
又
∵ $AB // CD$
∴ 四边形ABDC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴ $AB = CD$（平行四边形的对边相等）
【答案】
=
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，通过已知的平行关系判定平行四边形，再利用平行四边形的性质得到线段的相等关系，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9

8.[开放性]如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,AD 上,请添加一个条件:
,使四边形 AECF 是平行四边形(只填一个即可).

8.AF=CE(答案不唯一)

【分析】
首先回忆平行四边形的性质与判定定理：已知四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，因此四边形AECF中已经满足AF//EC这一条件。根据平行四边形的判定规则，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此我们只需要补充这组平行对边相等的条件即可；也可补充另一组对边平行的条件，均能判定四边形AECF是平行四边形。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即AF//EC。
根据平行四边形判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴当添加条件AF=CE时，AF平行且等于CE，此时四边形AECF是平行四边形。
（也可添加AE//CF等其他合理条件）
【答案】
AF=CE（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题为开放性题目，解题的关键是结合已知图形先找出待判定四边形已经具备的条件，再结合平行四边形的判定定理补充缺失的条件，答案灵活，合理即可。
【难度系数】
0.8

9.课外活动课上,老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝(如图),其面积为 $450 \ \mathrm{cm}^2$,则每条对角线所用的竹条的长为 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.

9.30

【分析】
解题时首先回忆等腰梯形的性质：等腰梯形的两条对角线长度相等；其次要掌握对角线互相垂直的四边形的面积计算方法：面积等于两条对角线长度乘积的一半。我们可以设每条对角线的长度为x，结合已知的面积数值列出方程，求解即可得到对角线的长度。
【解析】
设每条对角线的长度为$ x \ \mathrm{cm} $。
∵ 等腰梯形的两条对角线相等，且对角线互相垂直，
∴ 该等腰梯形的面积可表示为$ S=\frac{1}{2} × x × x $。
已知梯形面积为$ 450 \ \mathrm{cm}^2 $，代入得：
$ \frac{1}{2}x^2 = 450 $
整理得$ x^2 = 900 $，
∵ 线段长度为正数，
∴ $ x = \sqrt{900} = 30 $，即每条对角线长为30cm。
【答案】
30
【知识点】
1. 等腰梯形的性质
2. 特殊四边形面积计算
3. 算术平方根应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合特殊图形的性质选择合适的面积公式，只要熟练掌握等腰梯形对角线相等的性质和对角线垂直的四边形面积计算方法，就能快速求解，是四边形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7

10. 如图，$△ ABC$ 的周长为 36，点 $D,E$ 在边 $BC$ 上，$∠ ABC$ 的平分线垂直于 $AE$，垂足为 $N$，$∠ ACB$ 的平分线垂直于 $AD$，垂足为 $M$。若 $BC=15$，则 $MN$ 的长度为________。

10.3

【分析】
解题时首先从“角平分线+线段垂直”的特征条件入手，联想等腰三角形“三线合一”的性质，先通过全等证明△BAE、△CAD为等腰三角形，得到N是AE中点、M是AD中点，确定MN是△ADE的中位线；再利用周长条件求出AB+AC的长度，结合等腰三角形两腰相等的性质，通过线段和差关系求出DE的长，最后利用三角形中位线的性质即可求出MN的长度。
【解析】
1. 证明△ABN≌△EBN：
∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN=∠EBN，
又
∵BN⊥AE，
∴∠ANB=∠ENB=90°，
在△ABN和△EBN中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABN=∠ EBN\\ BN=BN\\ ∠ ANB=∠ ENB\end{array} $
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴AB=BE，AN=NE，即N是AE的中点。
2. 同理可证△ACM≌△DCM（ASA），得AC=CD，AM=MD，即M是AD的中点。
3. 由M是AD中点、N是AE中点，可知MN是△ADE的中位线，根据三角形中位线定理得：$MN=\frac{1}{2}DE$。
4. 计算DE的长度：
已知△ABC周长为36，BC=15，
∴AB+AC=36-BC=21。
由上述结论得BE=AB，CD=AC，
∴BE+CD=AB+AC=21。
又
∵BE+CD = (BD+DE) + (DE+EC) = (BD+DE+EC) + DE = BC + DE，
代入BC=15得：$21=15+DE$，解得$DE=6$。
5. 代入中位线公式得：$MN=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形性质，三角形中位线定理，全等三角形判定
【点评】
本题是几何综合类基础题型，将角平分线、等腰三角形、三角形中位线等知识点结合考查，解题的突破口是抓住“角平分线+垂直”的特征构造全等得到等腰三角形，进而得到线段中点确定中位线，再通过线段和差关系求解，对学生的图形分析能力和逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

11. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ A=140°$,直线$BE$交$AD$于点$E$,交$CD$的延长线于点$F$,且$DE=DF$.求$∠ F$的度数.

11.解:
∵四边形 ABCD 为平行四边形,
∴AB//CD,
∴∠EDC=180°−∠A=40°.
又 DE=DF,
∴∠F=∠DEF,
∴∠EDC=2∠F=40°,
∴∠F=20°.

【分析】
解题时先从平行四边形的性质出发，利用平行四边形对边平行的特点，得到∠A与∠ADC互补，计算出∠EDC的度数；再结合DE=DF的条件，根据等腰三角形等边对等角的性质，得出∠F=∠DEF；最后利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，建立∠EDC与∠F的数量关系，代入计算即可求出∠F的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A + ∠ADC = 180°，
∵∠A=140°，
∴∠EDC=∠ADC=180°−∠A=40°。
又
∵DE=DF，
∴∠F=∠DEF，
∵∠EDC是△DEF的外角，
∴∠EDC=∠F + ∠DEF=2∠F，
即2∠F=40°，
∴∠F=20°。
【答案】
20°
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了平行四边形、等腰三角形的核心性质，解题关键是找到过渡角∠EDC，建立已知角和待求角的关联，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在$□ ABCD$中,$G$是边$CD$上一点,$BG$的延长线交$AD$的延长线于点$E$,$AF=CG$.
(1)求证:四边形$DFBG$是平行四边形;
(2)若$∠ DGE=105°$,求$∠ AFD$的度数.

12.(1)证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠A=∠C,AD=CB,CD=AB.
又 AF=CG,
∴△ADF≌△CBG(SAS),
∴DF=BG.
∵CD=AB,AF=CG,
∴DG=BF,
∴四边形 DFBG 是平行四边形.
(2)解:
∵△ADF≌△CBG,
∴∠AFD=∠BGC=∠DGE=105°.

【分析】
(1) 要证明四边形DFBG是平行四边形，可选用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法。首先利用平行四边形ABCD的性质得到对应边、对应角的等量关系，结合已知AF=CG，先证明△ADF和△CBG全等，得到DF=BG；再通过AB=CD、AF=CG推导得出DG=BF，即可满足两组对边分别相等的判定条件。
(2) 由(1)的全等结论可得∠AFD与∠BGC相等，再结合对顶角相等的性质，可知∠BGC和∠DGE相等，通过等量代换即可求出∠AFD的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB，AB=CD。
又
∵AF=CG，
∴$\{\begin{array}{l} AD=CB\\ ∠A=∠C\\ AF=CG\end{array} $
∴△ADF≌△CBG（SAS），
∴DF=BG。
∵AB=CD，AF=CG，
∴AB-AF=CD-CG，即BF=DG，
∴四边形DFBG的两组对边分别相等，
∴四边形DFBG是平行四边形。
(2) 解：
由(1)可知△ADF≌△CBG，
∴∠AFD=∠BGC，
∵∠BGC与∠DGE是对顶角，
∴∠BGC=∠DGE，
∴∠AFD=∠DGE=105°。
【答案】
(1) 四边形DFBG是平行四边形，证明成立；
(2) $\boxed{105°}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，主要考查平行四边形、全等三角形的相关定理，解题时只要找准图形中的边角等量关系，结合基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ C=60°$,$M,N$分别是$AD,BC$的中点.
(1)求证:四边形$MNCD$是平行四边形;
(2)若$BC=2CD$,$MN=1$,求$BD$的长.

13.(1)证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC,AD//BC.
∵M,N 分别是AD,BC 的中点,
∴MD=NC.
又
∵MD//NC,
∴四边形 MNCD 是平行四边形.
(2)解:如图,连接 ND.
∵四边形 MNCD 是平行四边形,
∴DC=MN=1,
∴BC=2DC=2.
∵N 是 BC 的中点,
∴BN=CN=$\frac{1}{2}$BC.
∵BC=2CD,
∴CD=CN.
又
∵∠C=60°,
∴△NCD 是等边三角形,
∴ND=NC=DC=1,∠CDN=∠DNC=60°.
∵∠DNC 是△BND 的外角,
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.
∵DN=CN=BN,
∴∠DBN=∠BDN=$\frac{1}{2}$∠DNC=30°,
∴∠BDC=∠CDN+∠BDN=90°,
∴BD=$\sqrt{BC^2-DC^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 要证明四边形MNCD是平行四边形，可利用平行四边形的判定定理。已知四边形ABCD是平行四边形，可得AD与BC平行且相等，结合M、N分别是AD、BC的中点，可推出MD和NC平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可完成证明。
(2) 求解BD的长度时，先借助(1)中平行四边形MNCD的性质得到DC=MN=1，进而求出BC=2；连接辅助线ND，结合BC=2CD、∠C=60°可判定△NCD是等边三角形，得到ND=BN，再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质推出∠BDC=90°，最后在Rt△BDC中运用勾股定理即可算出BD的长度。
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC，AD//BC.
∵M,N分别是AD,BC的中点,
∴MD=NC.
又
∵MD//NC,
∴四边形MNCD是平行四边形.
(2)解:如图,连接ND.
∵四边形MNCD是平行四边形,
∴DC=MN=1,
∴BC=2DC=2.
∵N是BC的中点,
∴BN=CN=$\frac{1}{2}$BC.
∵BC=2CD,
∴CD=CN.
又
∵∠C=60°,
∴△NCD是等边三角形,
∴ND=NC=DC=1，∠CDN=∠DNC=60°.
∵∠DNC是△BND的外角,
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.
∵DN=CN=BN,
∴∠DBN=∠BDN=$\frac{1}{2}$∠DNC=30°,
∴∠BDC=∠CDN+∠BDN=90°,
∴BD=$\sqrt{BC^2-DC^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$.
【答案】
(1) 四边形MNCD是平行四边形，证明见解析；
(2) $BD=\sqrt{3}$

【知识点】
平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了四边形与特殊三角形的相关知识，通过构造辅助线得到等边三角形是解题的关键，能有效考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7