登录
12. 如图20-17,一艘船先由A港沿北偏东$60°$方向航行10 km至B港,然后再沿北偏西$30°$方向航行10 km至C港.
(1)求A,C两港之间的距离(结果保留到0.1 km,参考数据:$\sqrt{2}\approx 1.414,\sqrt{3}\approx 1.732$);
(2)确定C港在A港的什么方向.
图20-17
(1)求A,C两港之间的距离(结果保留到0.1 km,参考数据:$\sqrt{2}\approx 1.414,\sqrt{3}\approx 1.732$);
(2)确定C港在A港的什么方向.
图20-17
答案
12.(1)由题意,得$∠PBC=30°$,$∠MAB=60°$.
∴ $∠CBQ=60°$,$∠BAN=30°$.
∵ BQ//AN,
∴ $∠ABQ=∠BAN=30°$.
∴ $∠ABC=∠CBQ+∠ABQ=90°$.
∵ AB=BC=10 km,
∴ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10\sqrt{2}\approx14.1(\mathrm{km})$.
∴ A,C两港之间的距离为14.1 km.
(2)由(1)知,$△ABC$为等腰直角三角形,
∴ $∠BAC=45°$.
∴ $∠CAM=60°-45°=15°$.
∴ C港在A港北偏东$15°$的方向上.
∴ $∠CBQ=60°$,$∠BAN=30°$.
∵ BQ//AN,
∴ $∠ABQ=∠BAN=30°$.
∴ $∠ABC=∠CBQ+∠ABQ=90°$.
∵ AB=BC=10 km,
∴ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10\sqrt{2}\approx14.1(\mathrm{km})$.
∴ A,C两港之间的距离为14.1 km.
(2)由(1)知,$△ABC$为等腰直角三角形,
∴ $∠BAC=45°$.
∴ $∠CAM=60°-45°=15°$.
∴ C港在A港北偏东$15°$的方向上.
解析
【分析】
(1) 求A、C两港距离时，首先结合方位角和平行线的性质推导△ABC中∠ABC的度数，判断三角形的形状，再结合已知边长用勾股定理计算AC长度；(2) 确定C港方位时，先根据等腰直角三角形的角度特征求出∠BAC的度数，再结合A港的方位角基准计算出C港相对A港的方位角。
【解析】
(1) 由题意得$∠PBC=30°$，$∠MAB=60°$，
∴ $∠CBQ=90°-30°=60°$，$∠BAN=90°-60°=30°$，
∵ BQ、AN均为东西方向的水平线，即$BQ// AN$，
∴ $∠ABQ=∠BAN=30°$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ABC=∠CBQ+∠ABQ=60°+30°=90°$，
又
∵ $AB=BC=10\mathrm{km}$，
∴ 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\approx10×1.414=14.1(\mathrm{km})$
(2) 由(1)可知$AB=BC$，$∠ABC=90°$，即$△ ABC$为等腰直角三角形，
∴ $∠BAC=45°$，
∴ $∠CAM=∠MAB-∠BAC=60°-45°=15°$，即C港在A港北偏东$15°$方向。
【答案】
(1) A、C两港之间的距离为14.1 km；
(2) C港在A港北偏东$15°$的方向上。
【知识点】
方位角的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于方位角与几何计算结合的典型应用题，解题关键是通过方位角和平行线性质推出三角形为等腰直角三角形，既考查了方位角的识别，也考查了勾股定理的实际应用，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
(1) 求A、C两港距离时，首先结合方位角和平行线的性质推导△ABC中∠ABC的度数，判断三角形的形状，再结合已知边长用勾股定理计算AC长度；(2) 确定C港方位时，先根据等腰直角三角形的角度特征求出∠BAC的度数，再结合A港的方位角基准计算出C港相对A港的方位角。
【解析】
(1) 由题意得$∠PBC=30°$，$∠MAB=60°$，
∴ $∠CBQ=90°-30°=60°$，$∠BAN=90°-60°=30°$，
∵ BQ、AN均为东西方向的水平线，即$BQ// AN$，
∴ $∠ABQ=∠BAN=30°$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ABC=∠CBQ+∠ABQ=60°+30°=90°$，
又
∵ $AB=BC=10\mathrm{km}$，
∴ 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\approx10×1.414=14.1(\mathrm{km})$
(2) 由(1)可知$AB=BC$，$∠ABC=90°$，即$△ ABC$为等腰直角三角形，
∴ $∠BAC=45°$，
∴ $∠CAM=∠MAB-∠BAC=60°-45°=15°$，即C港在A港北偏东$15°$方向。
【答案】
(1) A、C两港之间的距离为14.1 km；
(2) C港在A港北偏东$15°$的方向上。
【知识点】
方位角的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于方位角与几何计算结合的典型应用题，解题关键是通过方位角和平行线性质推出三角形为等腰直角三角形，既考查了方位角的识别，也考查了勾股定理的实际应用，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
1. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，周长为60，斜边与一条直角边之比为 $13:5$，则这个三角形的三边长分别是（
A.$5,4,3$
B.$13,12,5$
C.$10,8,6$
D.$26,24,10$
D
）A.$5,4,3$
B.$13,12,5$
C.$10,8,6$
D.$26,24,10$
答案
1.D
解析
【分析】
拿到本题有两种解题思路：思路一：题目给出斜边与一条直角边的比例关系，结合直角三角形的勾股定理，我们可以通过设参数的方式表示出三条边的长度，再根据周长为60的已知条件列方程求解参数，即可得到三边长；思路二：四个选项的三边长均满足勾股定理，可直接计算各选项的周长，周长为60的即为正确答案，解题更高效。
【解析】
解法一：
∵斜边与一条直角边的比为$13:5$，
∴设斜边长为$13k$，该直角边长为$5k$（$k＞0$）。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠C=90°$，根据勾股定理，另一条直角边长为：
$\sqrt{(13k)^2 - (5k)^2} = \sqrt{169k^2 - 25k^2} = \sqrt{144k^2} = 12k$
已知三角形周长为60，可得方程：
$13k + 5k + 12k = 60$
合并同类项得$30k=60$，解得$k=2$。
因此三边长分别为$13×2=26$，$5×2=10$，$12×2=24$，即三边长为26、24、10。
解法二（排除法）：
分别计算各选项的周长：
A选项：$5+4+3=12≠60$，不符合要求，排除；
B选项：$13+12+5=30≠60$，不符合要求，排除；
C选项：$10+8+6=24≠60$，不符合要求，排除；
D选项：$26+24+10=60$，符合周长条件，当选。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；三角形周长计算；比例的应用
【点评】
本题是直角三角形边长计算的基础题型，既可以通过设参数结合勾股定理、周长公式推导结果，也可以通过排除法快速锁定答案，熟练掌握勾股定理和比例设参的技巧，能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
拿到本题有两种解题思路：思路一：题目给出斜边与一条直角边的比例关系，结合直角三角形的勾股定理，我们可以通过设参数的方式表示出三条边的长度，再根据周长为60的已知条件列方程求解参数，即可得到三边长；思路二：四个选项的三边长均满足勾股定理，可直接计算各选项的周长，周长为60的即为正确答案，解题更高效。
【解析】
解法一：
∵斜边与一条直角边的比为$13:5$，
∴设斜边长为$13k$，该直角边长为$5k$（$k＞0$）。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠C=90°$，根据勾股定理，另一条直角边长为：
$\sqrt{(13k)^2 - (5k)^2} = \sqrt{169k^2 - 25k^2} = \sqrt{144k^2} = 12k$
已知三角形周长为60，可得方程：
$13k + 5k + 12k = 60$
合并同类项得$30k=60$，解得$k=2$。
因此三边长分别为$13×2=26$，$5×2=10$，$12×2=24$，即三边长为26、24、10。
解法二（排除法）：
分别计算各选项的周长：
A选项：$5+4+3=12≠60$，不符合要求，排除；
B选项：$13+12+5=30≠60$，不符合要求，排除；
C选项：$10+8+6=24≠60$，不符合要求，排除；
D选项：$26+24+10=60$，符合周长条件，当选。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；三角形周长计算；比例的应用
【点评】
本题是直角三角形边长计算的基础题型，既可以通过设参数结合勾股定理、周长公式推导结果，也可以通过排除法快速锁定答案，熟练掌握勾股定理和比例设参的技巧，能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 如图 20-18，$A(8,0),C(-2,0)$，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 y 轴正半轴于点 B，则点 B 的坐标为 (
A.$(0,5)$
B.$(5,0)$
C.$(6,0)$
D.$(0,6)$
D
)A.$(0,5)$
B.$(5,0)$
C.$(6,0)$
D.$(0,6)$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先从已知坐标入手，首先计算AC的长度，根据圆的半径相等可知AB=AC；再观察点B在y轴正半轴，可知△AOB是直角三角形，已知OA和AB的长度，就可以用勾股定理求出OB的长度，进而得到点B的坐标。
【解析】
已知A(8,0)，C(-2,0)，两点都在x轴上，因此AC的长度为：
$AC = 8 - (-2) = 10$
因为弧以A为圆心、AC为半径，所以半径$AB=AC=10$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OA=8$，$AB=10$，根据勾股定理：
$OB^2 + OA^2 = AB^2$
代入数值计算得：
$OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$
因为点B在y轴正半轴，所以点B的坐标为$(0,6)$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；平面直角坐标系；圆的基本性质
【点评】
本题是基础类题型，将圆的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是利用同圆半径相等得到AB的长度，再结合直角三角形的性质计算OB的长度，是平面直角坐标系与几何结合的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知坐标入手，首先计算AC的长度，根据圆的半径相等可知AB=AC；再观察点B在y轴正半轴，可知△AOB是直角三角形，已知OA和AB的长度，就可以用勾股定理求出OB的长度，进而得到点B的坐标。
【解析】
已知A(8,0)，C(-2,0)，两点都在x轴上，因此AC的长度为：
$AC = 8 - (-2) = 10$
因为弧以A为圆心、AC为半径，所以半径$AB=AC=10$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OA=8$，$AB=10$，根据勾股定理：
$OB^2 + OA^2 = AB^2$
代入数值计算得：
$OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$
因为点B在y轴正半轴，所以点B的坐标为$(0,6)$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；平面直角坐标系；圆的基本性质
【点评】
本题是基础类题型，将圆的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是利用同圆半径相等得到AB的长度，再结合直角三角形的性质计算OB的长度，是平面直角坐标系与几何结合的常考题型。
【难度系数】
0.8
3. 直角三角形的边长为 $a,b$,斜边上的高为 $h$,则下列各式总能成立的是
$(\quad)$
A.$ab=h^2$
B.$a^2+b^2=2h^2$
C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{h}$
D.$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
$(\quad)$
A.$ab=h^2$
B.$a^2+b^2=2h^2$
C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{h}$
D.$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
答案
3.D
解析
【分析】
要判断哪个式子总能成立，可结合直角三角形的核心性质推导：首先用两种方法表示直角三角形的面积，得到直角边、斜边与斜边上高的关系；再结合勾股定理对式子变形推导，逐一验证选项即可，也可通过代入特殊值快速排除错误选项。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$c$。
1. 根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
2. 由直角三角形面积的两种计算方法：
$S=\frac{1}{2}ab$（以两条直角边为底和高），
$S=\frac{1}{2}ch$（以斜边和斜边上的高为底和高），
因此$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，化简得$ab=ch$，即$c=\frac{ab}{h}$。
3. 将$c=\frac{ab}{h}$代入勾股定理的式子：
$a^2 + b^2 = (\frac{ab}{h})^2=\frac{a^2b^2}{h^2}$。
4. 等式两边同时除以$a^2b^2$（$a$、$b$为直角边长，均不为0），可得：
$\frac{a^2}{a^2b^2}+\frac{b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{h^2}$，
即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$，对应选项D。
也可代入特殊值验证：取直角边为3、4的直角三角形，斜边为5，斜边上的高$h=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。代入各选项：
A.$ab=12$，$h^2=\frac{144}{25}$，不相等，错误；
B.$a^2+b^2=25$，$2h^2=\frac{288}{25}$，不相等，错误；
C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{12}$，$\frac{1}{h}=\frac{5}{12}$，不相等，错误；
D.$\frac{1}{9}+\frac{1}{16}=\frac{25}{144}$，$\frac{1}{h^2}=\frac{25}{144}$，相等，正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；代数式变形
【点评】
本题是直角三角形性质的典型应用题目，利用面积法建立边与高的关联是解题的突破口，结合代数式变形即可推导出结论，也可通过特殊值法快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
要判断哪个式子总能成立，可结合直角三角形的核心性质推导：首先用两种方法表示直角三角形的面积，得到直角边、斜边与斜边上高的关系；再结合勾股定理对式子变形推导，逐一验证选项即可，也可通过代入特殊值快速排除错误选项。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$c$。
1. 根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
2. 由直角三角形面积的两种计算方法：
$S=\frac{1}{2}ab$（以两条直角边为底和高），
$S=\frac{1}{2}ch$（以斜边和斜边上的高为底和高），
因此$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，化简得$ab=ch$，即$c=\frac{ab}{h}$。
3. 将$c=\frac{ab}{h}$代入勾股定理的式子：
$a^2 + b^2 = (\frac{ab}{h})^2=\frac{a^2b^2}{h^2}$。
4. 等式两边同时除以$a^2b^2$（$a$、$b$为直角边长，均不为0），可得：
$\frac{a^2}{a^2b^2}+\frac{b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{h^2}$，
即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$，对应选项D。
也可代入特殊值验证：取直角边为3、4的直角三角形，斜边为5，斜边上的高$h=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。代入各选项：
A.$ab=12$，$h^2=\frac{144}{25}$，不相等，错误；
B.$a^2+b^2=25$，$2h^2=\frac{288}{25}$，不相等，错误；
C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{12}$，$\frac{1}{h}=\frac{5}{12}$，不相等，错误；
D.$\frac{1}{9}+\frac{1}{16}=\frac{25}{144}$，$\frac{1}{h^2}=\frac{25}{144}$，相等，正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；代数式变形
【点评】
本题是直角三角形性质的典型应用题目，利用面积法建立边与高的关联是解题的突破口，结合代数式变形即可推导出结论，也可通过特殊值法快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
4. 如图20-19,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=8,BC=6$,将$△ ADE$沿$DE$翻折,使点$A$与点$B$重合,则$CE$的长为（
A.$\dfrac{19}{8}$
B.$2$
C.$\dfrac{25}{4}$
D.$\dfrac{7}{4}$
D
）A.$\dfrac{19}{8}$
B.$2$
C.$\dfrac{25}{4}$
D.$\dfrac{7}{4}$
答案
4.D
解析
【分析】
这是一道折叠与勾股定理结合的计算题，解题思路如下：①首先根据折叠的性质，翻折后点A与点B重合，可得AE=BE；②要求CE的长度，可设CE为x，用含x的式子表示出BE的长度；③观察到△BCE是直角三角形，∠C=90°，已知BC的长度，可利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出CE的长。
【解析】
解：设CE的长为$x$，则$AE=AC-CE=8-x$。
由翻折的性质可知，$△ ADE$与$△ BDE$全等，因此$BE=AE=8-x$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore △ BCE$是直角三角形，根据勾股定理可得：
$CE^2 + BC^2 = BE^2$
代入数据得：$x^2 + 6^2 = (8-x)^2$
展开得：$x^2 + 36 = 64 - 16x + x^2$
消去$x^2$，移项整理得：$16x=28$
解得：$x=\frac{7}{4}$
即CE的长为$\frac{7}{4}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是几何折叠类的基础常考题，解题核心是利用折叠性质得到相等的线段，再结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，体现了数形结合与方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
这是一道折叠与勾股定理结合的计算题，解题思路如下：①首先根据折叠的性质，翻折后点A与点B重合，可得AE=BE；②要求CE的长度，可设CE为x，用含x的式子表示出BE的长度；③观察到△BCE是直角三角形，∠C=90°，已知BC的长度，可利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出CE的长。
【解析】
解：设CE的长为$x$，则$AE=AC-CE=8-x$。
由翻折的性质可知，$△ ADE$与$△ BDE$全等，因此$BE=AE=8-x$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore △ BCE$是直角三角形，根据勾股定理可得：
$CE^2 + BC^2 = BE^2$
代入数据得：$x^2 + 6^2 = (8-x)^2$
展开得：$x^2 + 36 = 64 - 16x + x^2$
消去$x^2$，移项整理得：$16x=28$
解得：$x=\frac{7}{4}$
即CE的长为$\frac{7}{4}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是几何折叠类的基础常考题，解题核心是利用折叠性质得到相等的线段，再结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，体现了数形结合与方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
