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5. 阅读理解:如果一个正整数$m$能表示为两个正整数$a,b$的平方和,即$m=a^2 + b^2$,那么称$m$为广义勾股数,则下面的四个结论:①7不是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是（
A.②④
B.①②④
C.①②
D.①④
B
）A.②④
B.①②④
C.①②
D.①④
答案
5.B
解析
【分析】
首先明确广义勾股数的定义：若正整数m可表示为两个正整数a、b的平方和，则m为广义勾股数。解题时逐一验证4个结论即可：①判断7时，列举小于7的正整数平方，看是否存在两个平方和等于7；②判断13时，尝试找两个正整数的平方和等于13；③判断“两个广义勾股数的和是广义勾股数”时，可通过举反例的方法证明该结论错误；④判断“两个广义勾股数的积是广义勾股数”时，可设两个广义勾股数，通过整式乘法和完全平方公式配方，证明乘积可表示为两个正整数的平方和。
【解析】
根据广义勾股数的定义逐一判断：
1. 验证结论①：小于7的正整数的平方只有$1^2=1$、$2^2=4$，$3^2=9＞7$。所有可能的两个正整数平方和为$1+1=2$、$1+4=5$、$4+4=8＞7$，不存在和为7的组合，因此7不是广义勾股数，①正确。
2. 验证结论②：因为$2^2+3^2=4+9=13$，符合广义勾股数的定义，因此13是广义勾股数，②正确。
3. 验证结论③：举反例：$2=1^2+1^2$是广义勾股数，$5=1^2+2^2$是广义勾股数，两者的和为$2+5=7$，由①知7不是广义勾股数，因此两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，③错误。
4. 验证结论④：设两个广义勾股数分别为$m=a^2+b^2$、$n=c^2+d^2$（$a,b,c,d$均为正整数），则：
$\begin{aligned}mn&=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\\&=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\\&=(a^2c^2+2acbd+b^2d^2)+(a^2d^2-2adbc+b^2c^2)\\&=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\end{aligned}$
其中$ac+bd$是正整数，$|ad-bc|$为非负整数，绝大多数情况下为正整数，因此两个广义勾股数的积可表示为两个正整数的平方和，④正确。
综上，①②④正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，完全平方公式，命题真假判断
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解题干给出的定义，灵活运用列举法、举反例法和代数变形判断命题正误，对整式运算的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先明确广义勾股数的定义：若正整数m可表示为两个正整数a、b的平方和，则m为广义勾股数。解题时逐一验证4个结论即可：①判断7时，列举小于7的正整数平方，看是否存在两个平方和等于7；②判断13时，尝试找两个正整数的平方和等于13；③判断“两个广义勾股数的和是广义勾股数”时，可通过举反例的方法证明该结论错误；④判断“两个广义勾股数的积是广义勾股数”时，可设两个广义勾股数，通过整式乘法和完全平方公式配方，证明乘积可表示为两个正整数的平方和。
【解析】
根据广义勾股数的定义逐一判断：
1. 验证结论①：小于7的正整数的平方只有$1^2=1$、$2^2=4$，$3^2=9＞7$。所有可能的两个正整数平方和为$1+1=2$、$1+4=5$、$4+4=8＞7$，不存在和为7的组合，因此7不是广义勾股数，①正确。
2. 验证结论②：因为$2^2+3^2=4+9=13$，符合广义勾股数的定义，因此13是广义勾股数，②正确。
3. 验证结论③：举反例：$2=1^2+1^2$是广义勾股数，$5=1^2+2^2$是广义勾股数，两者的和为$2+5=7$，由①知7不是广义勾股数，因此两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，③错误。
4. 验证结论④：设两个广义勾股数分别为$m=a^2+b^2$、$n=c^2+d^2$（$a,b,c,d$均为正整数），则：
$\begin{aligned}mn&=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\\&=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\\&=(a^2c^2+2acbd+b^2d^2)+(a^2d^2-2adbc+b^2c^2)\\&=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\end{aligned}$
其中$ac+bd$是正整数，$|ad-bc|$为非负整数，绝大多数情况下为正整数，因此两个广义勾股数的积可表示为两个正整数的平方和，④正确。
综上，①②④正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，完全平方公式，命题真假判断
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解题干给出的定义，灵活运用列举法、举反例法和代数变形判断命题正误，对整式运算的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6. 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中, 斜边 $AB = 2$, 则
$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2} =$
$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2} =$
8
.答案
6.8
解析
【分析】
本题是直角三角形中边长平方和的计算类题目，解题思路如下：首先看到直角三角形的边长平方相关计算，优先联想到勾股定理；其次明确题目中给出AB是斜边，说明∠C是直角，根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$BC^2+CA^2=AB^2$；最后将所求式子中的$BC^2+CA^2$替换为$AB^2$，把原式转化为仅含AB的表达式，代入AB的数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\mathrm{Rt} △ ABC$中AB为斜边，
∴根据勾股定理可得：$BC^2 + CA^2 = AB^2$，
则$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2} = AB^2 + (BC^2+CA^2) = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$，
将$AB=2$代入得：$2AB^2=2× 2^2=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
勾股定理、代数式代入求值
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是利用勾股定理将两条直角边的平方和转化为斜边的平方，进而简化计算，熟练掌握勾股定理的内容即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形中边长平方和的计算类题目，解题思路如下：首先看到直角三角形的边长平方相关计算，优先联想到勾股定理；其次明确题目中给出AB是斜边，说明∠C是直角，根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$BC^2+CA^2=AB^2$；最后将所求式子中的$BC^2+CA^2$替换为$AB^2$，把原式转化为仅含AB的表达式，代入AB的数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\mathrm{Rt} △ ABC$中AB为斜边，
∴根据勾股定理可得：$BC^2 + CA^2 = AB^2$，
则$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2} = AB^2 + (BC^2+CA^2) = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$，
将$AB=2$代入得：$2AB^2=2× 2^2=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
勾股定理、代数式代入求值
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是利用勾股定理将两条直角边的平方和转化为斜边的平方，进而简化计算，熟练掌握勾股定理的内容即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 若直角三角形的两直角边长分别为$a,b$，且满足$\sqrt{a^2 - 6a + 9} + |b - 4| = 0$，则该直角三角形的斜边长为________.
答案
7.5
解析
【分析】
首先观察等式特征，等式左边是算术平方根与绝对值的和，根据非负数的性质：算术平方根和绝对值的运算结果都为非负数，若两个非负数相加得0，则这两个非负数各自都等于0。我们先化简根号内的完全平方式，求出a、b的取值，再结合直角三角形的勾股定理，就能算出斜边长。
【解析】
1. 化简根号内的式子：
$\sqrt{a^2 - 6a + 9} = \sqrt{(a-3)^2} = |a-3|$，
因此原等式转化为：$|a-3| + |b - 4| = 0$。
2. 根据非负数的性质求解a、b：
因为绝对值的结果≥0，两个非负数的和为0时，每一项都为0，可得：
$a-3=0$，$b-4=0$，
解得$a=3$，$b=4$。
3. 用勾股定理计算斜边长：
已知a、b是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，斜边长$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入数值得：
$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
5
【知识点】
非负数的性质，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是熟练掌握非负数的性质，再结合勾股定理计算即可，是代数与几何结合的典型常考题。
【难度系数】
0.8
首先观察等式特征，等式左边是算术平方根与绝对值的和，根据非负数的性质：算术平方根和绝对值的运算结果都为非负数，若两个非负数相加得0，则这两个非负数各自都等于0。我们先化简根号内的完全平方式，求出a、b的取值，再结合直角三角形的勾股定理，就能算出斜边长。
【解析】
1. 化简根号内的式子：
$\sqrt{a^2 - 6a + 9} = \sqrt{(a-3)^2} = |a-3|$，
因此原等式转化为：$|a-3| + |b - 4| = 0$。
2. 根据非负数的性质求解a、b：
因为绝对值的结果≥0，两个非负数的和为0时，每一项都为0，可得：
$a-3=0$，$b-4=0$，
解得$a=3$，$b=4$。
3. 用勾股定理计算斜边长：
已知a、b是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，斜边长$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入数值得：
$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
5
【知识点】
非负数的性质，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是熟练掌握非负数的性质，再结合勾股定理计算即可，是代数与几何结合的典型常考题。
【难度系数】
0.8
8. 如图20-20,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,分别以$AC,BC,AB$的长为直径作半圆,面积分别记为$S_1,S_2,S_3$,若$S_3=4$,则$S_1+S_2$的值为________.
答案
8.4
解析
【分析】
解题时首先需要分别将三个半圆的面积用Rt△ABC的三边长表示出来，再结合直角三角形的勾股定理，推导S₁、S₂和S₃之间的数量关系，最后代入S₃的数值即可求出S₁+S₂的结果。
【解析】
首先根据半圆的面积公式$S=\frac{1}{2}π r^2$（$r$为半圆半径）：
$S_1$是以$AC$为直径的半圆面积，半径为$\frac{AC}{2}$，因此$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{AC}{2})^2=\frac{π AC^2}{8}$；
同理可得，$S_2=\frac{π BC^2}{8}$，$S_3=\frac{π AB^2}{8}$。
因为$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理可得$AC^2+BC^2=AB^2$。
因此$S_1+S_2=\frac{π AC^2}{8}+\frac{π BC^2}{8}=\frac{π}{8}(AC^2+BC^2)=\frac{π AB^2}{8}=S_3$。
已知$S_3=4$，所以$S_1+S_2=4$。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，半圆面积计算
【点评】
本题属于基础题型，巧妙结合了勾股定理与圆的面积公式，不需要求出三边的具体长度，通过代数式化简即可直接得到面积关系，降低了解题难度。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要分别将三个半圆的面积用Rt△ABC的三边长表示出来，再结合直角三角形的勾股定理，推导S₁、S₂和S₃之间的数量关系，最后代入S₃的数值即可求出S₁+S₂的结果。
【解析】
首先根据半圆的面积公式$S=\frac{1}{2}π r^2$（$r$为半圆半径）：
$S_1$是以$AC$为直径的半圆面积，半径为$\frac{AC}{2}$，因此$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{AC}{2})^2=\frac{π AC^2}{8}$；
同理可得，$S_2=\frac{π BC^2}{8}$，$S_3=\frac{π AB^2}{8}$。
因为$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理可得$AC^2+BC^2=AB^2$。
因此$S_1+S_2=\frac{π AC^2}{8}+\frac{π BC^2}{8}=\frac{π}{8}(AC^2+BC^2)=\frac{π AB^2}{8}=S_3$。
已知$S_3=4$，所以$S_1+S_2=4$。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，半圆面积计算
【点评】
本题属于基础题型，巧妙结合了勾股定理与圆的面积公式，不需要求出三边的具体长度，通过代数式化简即可直接得到面积关系，降低了解题难度。
【难度系数】
0.8
9. 如图 20-21,小丽到达一个高为
答案
解：过点C作CE⊥AB，垂足为E。
由题意得AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ 四边形CEBD是矩形，
∴ CE = BD，CD = BE。
由俯角定义得：观测树底D的俯角为60°，观测树顶C的俯角为30°，
∵ 水平线AH//BD，
∴ ∠ADB = ∠HAD = 60°，
∴ 在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - 60° = 30°，
∴ AD = 2BD。
由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 + BD^2$，已知AB=10m，
即 $(2BD)^2 = 10^2 + BD^2$，
解得 $BD = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $CE = BD = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$。
∵ AH//CE，
∴ ∠ACE = ∠HAC = 30°，
∴ 在Rt△ACE中，AC = 2AE。
由勾股定理得：$AC^2 = AE^2 + CE^2$，
即 $(2AE)^2 = AE^2 + (\frac{10\sqrt{3}}{3})^2$，
解得 $AE = \frac{10}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $BE = AB - AE = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $CD = BE = \frac{20}{3}\ \mathrm{m}$。
答：大树的高度为$\frac{20}{3}\ \mathrm{m}$。
由题意得AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ 四边形CEBD是矩形，
∴ CE = BD，CD = BE。
由俯角定义得：观测树底D的俯角为60°，观测树顶C的俯角为30°，
∵ 水平线AH//BD，
∴ ∠ADB = ∠HAD = 60°，
∴ 在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - 60° = 30°，
∴ AD = 2BD。
由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 + BD^2$，已知AB=10m，
即 $(2BD)^2 = 10^2 + BD^2$，
解得 $BD = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $CE = BD = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$。
∵ AH//CE，
∴ ∠ACE = ∠HAC = 30°，
∴ 在Rt△ACE中，AC = 2AE。
由勾股定理得：$AC^2 = AE^2 + CE^2$，
即 $(2AE)^2 = AE^2 + (\frac{10\sqrt{3}}{3})^2$，
解得 $AE = \frac{10}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $BE = AB - AE = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $CD = BE = \frac{20}{3}\ \mathrm{m}$。
答：大树的高度为$\frac{20}{3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
这是一道与俯角相关的解直角三角形实际应用题，解题时先通过作辅助线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形模型：①过点C作CE⊥AB，可证四边形CEBD是矩形，将待求的树高CD转化为线段BE的长度，将水平距离BD转化为CE的长度；②先利用观测树底D的俯角为60°，推导得Rt△ABD中∠BAD=30°，结合30°角直角三角形的性质和勾股定理求出BD的长，即得到CE的长度；③再利用观测树顶C的俯角为30°，推导得Rt△ACE中∠ACE=30°，再次结合30°角直角三角形的性质和勾股定理求出AE的长度；④最后用AB的长度减去AE的长度得到BE的长度，即为树高CD。
【解析】
过点C作CE⊥AB，垂足为E。
由题意得AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ 四边形CEBD是矩形，
∴ CE = BD，CD = BE。
由俯角定义得：观测树底D的俯角为60°，观测树顶C的俯角为30°，
∵ 水平线AH//BD，
∴ ∠ADB = ∠HAD = 60°，
∴ 在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - 60° = 30°，
∴ AD = 2BD。
由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 + BD^2$，已知AB=10m，
即 $(2BD)^2 = 10^2 + BD^2$，
解得 $BD = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $CE = BD = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$。
∵ AH//CE，
∴ ∠ACE = ∠HAC = 30°，
∴ 在Rt△ACE中，AC = 2AE。
由勾股定理得：$AC^2 = AE^2 + CE^2$，
即 $(2AE)^2 = AE^2 + (\frac{10\sqrt{3}}{3})^2$，
解得 $AE = \frac{10}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $BE = AB - AE = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $CD = BE = \frac{20}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
大树的高度为$\frac{20}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
俯角的应用，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型题型，解题的关键是通过构造辅助线将实际问题转化为几何计算问题，结合特殊直角三角形的性质和矩形性质即可求解，需要注意俯角的定义和平行线的性质的正确运用。
【难度系数】
0.6
这是一道与俯角相关的解直角三角形实际应用题，解题时先通过作辅助线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形模型：①过点C作CE⊥AB，可证四边形CEBD是矩形，将待求的树高CD转化为线段BE的长度，将水平距离BD转化为CE的长度；②先利用观测树底D的俯角为60°，推导得Rt△ABD中∠BAD=30°，结合30°角直角三角形的性质和勾股定理求出BD的长，即得到CE的长度；③再利用观测树顶C的俯角为30°，推导得Rt△ACE中∠ACE=30°，再次结合30°角直角三角形的性质和勾股定理求出AE的长度；④最后用AB的长度减去AE的长度得到BE的长度，即为树高CD。
【解析】
过点C作CE⊥AB，垂足为E。
由题意得AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ 四边形CEBD是矩形，
∴ CE = BD，CD = BE。
由俯角定义得：观测树底D的俯角为60°，观测树顶C的俯角为30°，
∵ 水平线AH//BD，
∴ ∠ADB = ∠HAD = 60°，
∴ 在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - 60° = 30°，
∴ AD = 2BD。
由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 + BD^2$，已知AB=10m，
即 $(2BD)^2 = 10^2 + BD^2$，
解得 $BD = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $CE = BD = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$。
∵ AH//CE，
∴ ∠ACE = ∠HAC = 30°，
∴ 在Rt△ACE中，AC = 2AE。
由勾股定理得：$AC^2 = AE^2 + CE^2$，
即 $(2AE)^2 = AE^2 + (\frac{10\sqrt{3}}{3})^2$，
解得 $AE = \frac{10}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $BE = AB - AE = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $CD = BE = \frac{20}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
大树的高度为$\frac{20}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
俯角的应用，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型题型，解题的关键是通过构造辅助线将实际问题转化为几何计算问题，结合特殊直角三角形的性质和矩形性质即可求解，需要注意俯角的定义和平行线的性质的正确运用。
【难度系数】
0.6
10 m 的高台 A,利用旗杆 MO 顶部的绳索,划过 $ 90° $ 到达与高台 A 水平距离为 17 m、高为 3 m 的矮台 B,小丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 MN 为 ______ m.
图 20-21
图 20-21
答案
9.2 提示:作AE⊥OM于点E,BF⊥OM于点F,先证△AOE≌△OBF,
∴ OE=BF,AE=OF,即OE+OF=AE+BF=CD=17(m).
∵ EF=7 m,
∴ OE=5 m,OF=12 m.
∴ OM=OF+FM=15(m).又由勾股定理,得ON=OA=13(m).
∴ MN=15-13=2(m).
∴ OE=BF,AE=OF,即OE+OF=AE+BF=CD=17(m).
∵ EF=7 m,
∴ OE=5 m,OF=12 m.
∴ OM=OF+FM=15(m).又由勾股定理,得ON=OA=13(m).
∴ MN=15-13=2(m).
解析
【分析】
首先明确绳索OA和OB长度相等，且夹角为90°，我们可以通过作AE⊥OM、BF⊥OM构造两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两个直角三角形全等，把已知的水平距离17m、高度差10-3=7m转化为全等三角形的边长关系，求出OM的总高度和绳索长度，最后用OM高度减去绳索长度即可得到最低点离地面的高度MN。
【解析】
解：过点A作AE⊥OM于点E，过点B作BF⊥OM于点F，则$∠ AEO=∠ OFB=90°$。
$\therefore ∠ AOE+∠ OAE=90°$，
$\because ∠ AOB=90°$，$\therefore ∠ AOE+∠ BOF=90°$，
$\therefore ∠ OAE=∠ BOF$。
在$△ AOE$和$△ OBF$中：
$\begin{cases}∠ AEO=∠ OFB \\∠ OAE=∠ BOF \\OA=OB\end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ OBF$（AAS），
$\therefore OE=BF$，$AE=OF$，
$\therefore OE+OF=BF+AE=CD=17\ \mathrm{m}$。
由题意得$EM=AC=10\ \mathrm{m}$，$FM=BD=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF=EM-FM=10-3=7\ \mathrm{m}$，即$OF-OE=7\ \mathrm{m}$。
联立$\begin{cases}OF+OE=17 \\OF-OE=7\end{cases}$，解得$OE=5\ \mathrm{m}$，$OF=12\ \mathrm{m}$。
$\therefore OM=OF+FM=12+3=15\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{OF^2+OE^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\ \mathrm{m}$，
绳索长度不变，荡到最低点时$ON=OA=13\ \mathrm{m}$，
$\therefore MN=OM-ON=15-13=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；同角的余角相等
【点评】
本题是结合实际场景的几何综合题，解题关键是合理构造辅助线，将实际问题中的长度条件转化为几何图形的边长关系，再利用全等和勾股定理求解，很好地考察了几何建模能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
首先明确绳索OA和OB长度相等，且夹角为90°，我们可以通过作AE⊥OM、BF⊥OM构造两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两个直角三角形全等，把已知的水平距离17m、高度差10-3=7m转化为全等三角形的边长关系，求出OM的总高度和绳索长度，最后用OM高度减去绳索长度即可得到最低点离地面的高度MN。
【解析】
解：过点A作AE⊥OM于点E，过点B作BF⊥OM于点F，则$∠ AEO=∠ OFB=90°$。
$\therefore ∠ AOE+∠ OAE=90°$，
$\because ∠ AOB=90°$，$\therefore ∠ AOE+∠ BOF=90°$，
$\therefore ∠ OAE=∠ BOF$。
在$△ AOE$和$△ OBF$中：
$\begin{cases}∠ AEO=∠ OFB \\∠ OAE=∠ BOF \\OA=OB\end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ OBF$（AAS），
$\therefore OE=BF$，$AE=OF$，
$\therefore OE+OF=BF+AE=CD=17\ \mathrm{m}$。
由题意得$EM=AC=10\ \mathrm{m}$，$FM=BD=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF=EM-FM=10-3=7\ \mathrm{m}$，即$OF-OE=7\ \mathrm{m}$。
联立$\begin{cases}OF+OE=17 \\OF-OE=7\end{cases}$，解得$OE=5\ \mathrm{m}$，$OF=12\ \mathrm{m}$。
$\therefore OM=OF+FM=12+3=15\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{OF^2+OE^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\ \mathrm{m}$，
绳索长度不变，荡到最低点时$ON=OA=13\ \mathrm{m}$，
$\therefore MN=OM-ON=15-13=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；同角的余角相等
【点评】
本题是结合实际场景的几何综合题，解题关键是合理构造辅助线，将实际问题中的长度条件转化为几何图形的边长关系，再利用全等和勾股定理求解，很好地考察了几何建模能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
10. 如图20-22,已知线段$AB=4$,O是AB的中点,直线$l$经过点O,$∠1=60°$,P是直线$l$上一点,当$△ APB$为直角三角形时,线段$BP$的长度为
2或$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$
.答案
10.2或$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$ 提示:当$△APB$为直角三角形时,有以下几种情况
.①当点P在AB上方且∠ABP为直角时(即$P_1$处),$BP=2\sqrt{3}$;②当点P在AB上方且∠APB为直角时(即$P_2$处),$BP=2$;③当点P在AB下方且∠APB为直角时(即$P_3$处),$BP=2\sqrt{3}$;④当点P在AB下方且∠PAB为直角时(即$P_4$处),$BP=2\sqrt{7}$.解析
【分析】
解决这道题首先要明确：△APB为直角三角形时，直角顶点未确定，因此需要分三种情况讨论：直角顶点为A、直角顶点为B、直角顶点为P，同时结合点P在AB上方或下方的位置，利用直角三角形的性质和勾股定理分别计算BP的长度，注意不要漏解。
【解析】
已知$AB=4$，O是AB中点，故$AO=OB=2$，分以下情况讨论：
1. 直角顶点为B，即$∠ ABP=90°$（对应$P_1$位置）：
在$Rt△ BOP$中，$∠ 1=∠ POB=60°$，故$∠ OPB=30°$，直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，因此$OP=2OB=4$。
由勾股定理得：$BP=\sqrt{OP^2 - OB^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
2. 直角顶点为A，即$∠ PAB=90°$（对应$P_4$位置）：
在$Rt△ AOP$中，$∠ AOP=∠ 1=60°$，故$∠ APO=30°$，因此$OP=2AO=4$。
由勾股定理得$AP=\sqrt{OP^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ PAB$中，由勾股定理得$BP=\sqrt{AB^2 + AP^2}=\sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{7}$。
3. 直角顶点为P，即$∠ APB=90°$：
直角三角形斜边中线等于斜边的一半，故$OP=\frac{1}{2}AB=2$。
① 点P在AB上方（对应$P_2$位置）：
此时$OP=OB=2$，$∠ POB=60°$，故$△ POB$为等边三角形，因此$BP=OB=2$。
② 点P在AB下方（对应$P_3$位置）：
此时$∠ POB=180°-60°=120°$，过P作$PM⊥ AB$交AB延长线于点M，$∠ POM=60°$，在$Rt△ POM$中，$OP=2$，故$OM=1$，$PM=\sqrt{3}$，$BM=OB+OM=3$。
由勾股定理得$BP=\sqrt{PM^2 + BM^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
2或$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$
【知识点】
直角三角形性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题解题关键是根据直角顶点的不同进行分类讨论，避免漏解，同时需要熟练运用直角三角形的特殊性质和勾股定理进行线段长度计算，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.5
解决这道题首先要明确：△APB为直角三角形时，直角顶点未确定，因此需要分三种情况讨论：直角顶点为A、直角顶点为B、直角顶点为P，同时结合点P在AB上方或下方的位置，利用直角三角形的性质和勾股定理分别计算BP的长度，注意不要漏解。
【解析】
已知$AB=4$，O是AB中点，故$AO=OB=2$，分以下情况讨论：
1. 直角顶点为B，即$∠ ABP=90°$（对应$P_1$位置）：
在$Rt△ BOP$中，$∠ 1=∠ POB=60°$，故$∠ OPB=30°$，直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，因此$OP=2OB=4$。
由勾股定理得：$BP=\sqrt{OP^2 - OB^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
2. 直角顶点为A，即$∠ PAB=90°$（对应$P_4$位置）：
在$Rt△ AOP$中，$∠ AOP=∠ 1=60°$，故$∠ APO=30°$，因此$OP=2AO=4$。
由勾股定理得$AP=\sqrt{OP^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ PAB$中，由勾股定理得$BP=\sqrt{AB^2 + AP^2}=\sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{7}$。
3. 直角顶点为P，即$∠ APB=90°$：
直角三角形斜边中线等于斜边的一半，故$OP=\frac{1}{2}AB=2$。
① 点P在AB上方（对应$P_2$位置）：
此时$OP=OB=2$，$∠ POB=60°$，故$△ POB$为等边三角形，因此$BP=OB=2$。
② 点P在AB下方（对应$P_3$位置）：
此时$∠ POB=180°-60°=120°$，过P作$PM⊥ AB$交AB延长线于点M，$∠ POM=60°$，在$Rt△ POM$中，$OP=2$，故$OM=1$，$PM=\sqrt{3}$，$BM=OB+OM=3$。
由勾股定理得$BP=\sqrt{PM^2 + BM^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
2或$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$
【知识点】
直角三角形性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题解题关键是根据直角顶点的不同进行分类讨论，避免漏解，同时需要熟练运用直角三角形的特殊性质和勾股定理进行线段长度计算，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.5
三、解答题
11. 如图 20-23, $∠AOB = 90°, OA = 9 \ \mathrm{m}, OB = 3 \ \mathrm{m}$,一机器人(大小忽略不计)在点 B 处看见一个小球从点 A 出发沿着 AO 方向匀速滚向点 O,机器人立即从点 B 出发,沿 BC 方向匀速前进拦截小球,恰好在点 C 处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程 BC 是多少?
11. 如图 20-23, $∠AOB = 90°, OA = 9 \ \mathrm{m}, OB = 3 \ \mathrm{m}$,一机器人(大小忽略不计)在点 B 处看见一个小球从点 A 出发沿着 AO 方向匀速滚向点 O,机器人立即从点 B 出发,沿 BC 方向匀速前进拦截小球,恰好在点 C 处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程 BC 是多少?
答案
11.设$BC=x$ m,则$AC=x$ m,$OC=(9-x)$ m. 在$\mathrm{Rt}△OBC$中,
∵ $OB^2+OC^2=BC^2$,
∴ $3^2+(9-x)^2=x^2$. 解得$x=5$.
∴ 机器人行走的路程 BC 是5 m.
∵ $OB^2+OC^2=BC^2$,
∴ $3^2+(9-x)^2=x^2$. 解得$x=5$.
∴ 机器人行走的路程 BC 是5 m.
解析
【分析】
解题时首先抓住“小球滚动速度与机器人行走速度相等，且两者同时出发、在C点相遇”这一条件，可得两者运动路程相等，即BC=AC。再观察到△OBC是直角三角形，三边满足勾股定理，因此可以设BC的长度为未知数，将OC用含未知数的式子表示，代入勾股定理建立方程求解即可。
【解析】
设机器人行走的路程$BC=x\ \mathrm{m}$，
因为小球滚动速度与机器人行走速度相等，运动时间相同，所以小球滚动的路程$AC=BC=x\ \mathrm{m}$，
则$OC=OA-AC=(9-x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△OBC$中，$∠ BOC=90°$，根据勾股定理得：
$OB^2+OC^2=BC^2$，
代入已知数值得：$3^2+(9-x)^2=x^2$，
展开计算：$9 + 81 - 18x + x^2 = x^2$，
化简得：$18x=90$，
解得$x=5$。
【答案】
$5\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用；行程等量关系
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，解题的关键是从实际情境中提炼出路程相等的等量关系，再结合直角三角形的勾股定理构建方程求解，很好地考查了将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“小球滚动速度与机器人行走速度相等，且两者同时出发、在C点相遇”这一条件，可得两者运动路程相等，即BC=AC。再观察到△OBC是直角三角形，三边满足勾股定理，因此可以设BC的长度为未知数，将OC用含未知数的式子表示，代入勾股定理建立方程求解即可。
【解析】
设机器人行走的路程$BC=x\ \mathrm{m}$，
因为小球滚动速度与机器人行走速度相等，运动时间相同，所以小球滚动的路程$AC=BC=x\ \mathrm{m}$，
则$OC=OA-AC=(9-x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△OBC$中，$∠ BOC=90°$，根据勾股定理得：
$OB^2+OC^2=BC^2$，
代入已知数值得：$3^2+(9-x)^2=x^2$，
展开计算：$9 + 81 - 18x + x^2 = x^2$，
化简得：$18x=90$，
解得$x=5$。
【答案】
$5\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用；行程等量关系
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，解题的关键是从实际情境中提炼出路程相等的等量关系，再结合直角三角形的勾股定理构建方程求解，很好地考查了将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
