登录
7. 小明想知道学校的旗杆有多高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1 m,当他把绳子下端拉开5 m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆高度为
12
m.答案
7.12
解析
【分析】
解题时首先要将实际场景抽象为数学模型：旗杆垂直于地面，将绳子拉开5m后，旗杆、地面的水平距离、绳子恰好构成直角三角形。我们可以设旗杆高度为未知数，结合“绳子垂到地面余1m”的条件表示出绳子（即直角三角形斜边）的长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设旗杆的高度为$ x $ m，由题意得绳子的总长度为$ (x+1) $ m。
因为旗杆垂直于地面，所以旗杆、地面5m的水平距离、绳子构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后移项计算：
$2x = 24$
解得$ x=12 $。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理的应用，列一元一次方程解应用题
【点评】
本题属于勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题的核心是准确从实际场景中提炼出直角三角形模型，找到三条边的数量关系列方程计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要将实际场景抽象为数学模型：旗杆垂直于地面，将绳子拉开5m后，旗杆、地面的水平距离、绳子恰好构成直角三角形。我们可以设旗杆高度为未知数，结合“绳子垂到地面余1m”的条件表示出绳子（即直角三角形斜边）的长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设旗杆的高度为$ x $ m，由题意得绳子的总长度为$ (x+1) $ m。
因为旗杆垂直于地面，所以旗杆、地面5m的水平距离、绳子构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后移项计算：
$2x = 24$
解得$ x=12 $。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理的应用，列一元一次方程解应用题
【点评】
本题属于勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题的核心是准确从实际场景中提炼出直角三角形模型，找到三条边的数量关系列方程计算。
【难度系数】
0.7
8. 如图20-14,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地$AB=2.5\ \mathrm{m}$,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高$1.6\ \mathrm{m}$的学生CD正对门,缓慢走到离门$1.2\ \mathrm{m}$的地方时($BC=1.2\ \mathrm{m}$),感应门自动打开,则$AD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$.
答案
8.1.5
解析
【分析】
这是勾股定理的实际应用题，解题时首先要通过作辅助线构造直角三角形：过点D作DE垂直AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，利用矩形的性质可得到直角三角形ADE两条直角边的长度，再代入勾股定理就能求出斜边AD的长度。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
$\because AB⊥ BC$，$CD⊥ BC$，
$\therefore$ 四边形BCDE是矩形，
$\therefore DE=BC=1.2\ \mathrm{m}$，$BE=CD=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE=AB-BE=2.5\ \mathrm{m}-1.6\ \mathrm{m}=0.9\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2=0.9^2+1.2^2=0.81+1.44=2.25$，
$\therefore AD=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何计算，解题核心是通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形的计算问题，掌握勾股定理和矩形的基本性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
这是勾股定理的实际应用题，解题时首先要通过作辅助线构造直角三角形：过点D作DE垂直AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，利用矩形的性质可得到直角三角形ADE两条直角边的长度，再代入勾股定理就能求出斜边AD的长度。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
$\because AB⊥ BC$，$CD⊥ BC$，
$\therefore$ 四边形BCDE是矩形，
$\therefore DE=BC=1.2\ \mathrm{m}$，$BE=CD=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE=AB-BE=2.5\ \mathrm{m}-1.6\ \mathrm{m}=0.9\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2=0.9^2+1.2^2=0.81+1.44=2.25$，
$\therefore AD=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何计算，解题核心是通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形的计算问题，掌握勾股定理和矩形的基本性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
9. 在$△ ABC$中，$AB = 2\sqrt{2}$，$BC = 1$，$∠ ABC = 45°$，以$AB$为一边作等腰直角三角形$ABD$，使$∠ ABD = 90°$，连接$CD$，则线段$CD$的长为________.
答案
9.$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
解析
【分析】
解题时首先要注意等腰直角三角形ABD的位置不唯一，需分两种情况讨论：D点与C点在AB的同侧、D点与C点在AB的异侧。我们可以通过建立平面直角坐标系，将各点坐标表示出来，再利用勾股定理（两点间距离公式）计算CD的长度，避免漏解。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设点B为坐标原点$(0,0)$，射线BA在x轴正方向上：
$\because AB=2\sqrt{2}$，$\therefore$点A坐标为$(2\sqrt{2}, 0)$
$\because ∠ABC=45°$，$BC=1$，过C作$CE⊥x$轴于E
则$BE=CE=BC·\cos45°=1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore$点C坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$
$\because △ABD$是等腰直角三角形，$∠ABD=90°$，$\therefore BD=AB=2\sqrt{2}$，且$BD⊥AB$
分两种情况：
①当D点在y轴正半轴时，D点坐标为$(0, 2\sqrt{2})$
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2} - 0)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (-\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{9}{2}} = \sqrt{5}$
②当D点在y轴负半轴时，D点坐标为$(0, -2\sqrt{2})$
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2} - 0)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{25}{2}} = \sqrt{13}$
综上，线段CD的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，分类讨论思想，勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略D点的两种位置情况导致漏解，解题时遇到没有明确图形位置的几何题，要先考虑是否需要分类讨论，结合坐标系或构造直角三角形用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意等腰直角三角形ABD的位置不唯一，需分两种情况讨论：D点与C点在AB的同侧、D点与C点在AB的异侧。我们可以通过建立平面直角坐标系，将各点坐标表示出来，再利用勾股定理（两点间距离公式）计算CD的长度，避免漏解。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设点B为坐标原点$(0,0)$，射线BA在x轴正方向上：
$\because AB=2\sqrt{2}$，$\therefore$点A坐标为$(2\sqrt{2}, 0)$
$\because ∠ABC=45°$，$BC=1$，过C作$CE⊥x$轴于E
则$BE=CE=BC·\cos45°=1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore$点C坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$
$\because △ABD$是等腰直角三角形，$∠ABD=90°$，$\therefore BD=AB=2\sqrt{2}$，且$BD⊥AB$
分两种情况：
①当D点在y轴正半轴时，D点坐标为$(0, 2\sqrt{2})$
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2} - 0)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (-\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{9}{2}} = \sqrt{5}$
②当D点在y轴负半轴时，D点坐标为$(0, -2\sqrt{2})$
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2} - 0)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{25}{2}} = \sqrt{13}$
综上，线段CD的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，分类讨论思想，勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略D点的两种位置情况导致漏解，解题时遇到没有明确图形位置的几何题，要先考虑是否需要分类讨论，结合坐标系或构造直角三角形用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.6
10. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据(单位:km)如图20-15.笔直铁路经过A,B两地.
(1)A,B间的距离为
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为
(1)A,B间的距离为
20
km;(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为
13
km.答案
10.(1)20 提示:由A,B两点的纵坐标相同,可知AB//x轴,
∴ AB=12-(-8)=20(km).
(2)13 提示:过点C作l⊥AB于点E,
,连接AC,作AC的垂直平分线交直线l于点D,由(1)可知,CE=1-(-17)=18(km),AE=12 km,设CD=x km,∴ AD=CD=x km. 由勾股定理,可知$x^2=(18-x)^2+12^2$,解得x=13.
∴ CD=13 km.
解析
【分析】
(1) 先观察A、B两点的坐标特征，发现两点纵坐标相同，可知AB平行于x轴，平行于x轴的直线上两点的距离等于两点横坐标之差的绝对值，直接计算即可得到AB的长度。
(2) 首先根据点到直线的最短距离是垂线段，过C作AB的垂线CE，E为垂足；要使D到A、C的距离相等，根据垂直平分线的性质，D在AC的垂直平分线上，因此AD=CD。设CD的长度为x，将AD、DE用含x的代数式表示，再在直角三角形ADE中利用勾股定理列方程，解方程即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 已知点A坐标为(12,1)，点B坐标为(-8,1)，两点纵坐标相同，因此AB平行于x轴，
所以A、B间的距离为$|12-(-8)|=20(\mathrm{km})$。
(2) 过点C作$l⊥ AB$于点E，，连接AC，作AC的垂直平分线交直线$l$于点D。
由(1)可知AB平行于x轴，因此CE为竖直线段，长度为$1-(-17)=18(\mathrm{km})$，点E的横坐标与C相同为0，可得AE的长度为$12-0=12(\mathrm{km})$。
因为D在AC的垂直平分线上，所以$AD=CD$。
设$CD=x\ \mathrm{km}$，则$AD=x\ \mathrm{km}$，$DE=CE-CD=(18-x)\mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，根据勾股定理可得：$AD^2=AE^2+DE^2$，
代入得：$x^2=12^2+(18-x)^2$，
展开等式右侧：$x^2=144+324-36x+x^2$，
两边消去$x^2$，整理得：$36x=468$，
解得$x=13$，即$CD=13\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\boxed{20}$
(2) $\boxed{13}$
【知识点】
1. 平面直角坐标系两点距离计算
2. 垂直平分线的性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际场景考查平面直角坐标系与几何知识的综合应用，第一问为基础题，考查平行于坐标轴的线段长度计算方法；第二问需要结合点到直线的距离、垂直平分线性质以及勾股定理列方程求解，注重考查代数与几何结合的解题能力，有利于巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察A、B两点的坐标特征，发现两点纵坐标相同，可知AB平行于x轴，平行于x轴的直线上两点的距离等于两点横坐标之差的绝对值，直接计算即可得到AB的长度。
(2) 首先根据点到直线的最短距离是垂线段，过C作AB的垂线CE，E为垂足；要使D到A、C的距离相等，根据垂直平分线的性质，D在AC的垂直平分线上，因此AD=CD。设CD的长度为x，将AD、DE用含x的代数式表示，再在直角三角形ADE中利用勾股定理列方程，解方程即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 已知点A坐标为(12,1)，点B坐标为(-8,1)，两点纵坐标相同，因此AB平行于x轴，
所以A、B间的距离为$|12-(-8)|=20(\mathrm{km})$。
(2) 过点C作$l⊥ AB$于点E，
，连接AC，作AC的垂直平分线交直线$l$于点D。由(1)可知AB平行于x轴，因此CE为竖直线段，长度为$1-(-17)=18(\mathrm{km})$，点E的横坐标与C相同为0，可得AE的长度为$12-0=12(\mathrm{km})$。
因为D在AC的垂直平分线上，所以$AD=CD$。
设$CD=x\ \mathrm{km}$，则$AD=x\ \mathrm{km}$，$DE=CE-CD=(18-x)\mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，根据勾股定理可得：$AD^2=AE^2+DE^2$，
代入得：$x^2=12^2+(18-x)^2$，
展开等式右侧：$x^2=144+324-36x+x^2$，
两边消去$x^2$，整理得：$36x=468$，
解得$x=13$，即$CD=13\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\boxed{20}$
(2) $\boxed{13}$
【知识点】
1. 平面直角坐标系两点距离计算
2. 垂直平分线的性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际场景考查平面直角坐标系与几何知识的综合应用，第一问为基础题，考查平行于坐标轴的线段长度计算方法；第二问需要结合点到直线的距离、垂直平分线性质以及勾股定理列方程求解，注重考查代数与几何结合的解题能力，有利于巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图20-16,△ABC是小新家门口的一块空地,三边的长分别是AB=13 m,BC=14 m,AC=15 m.现准备以每平方米50元的单价请承包商种植草皮,问:共需要多少费用?
图20-16
11. 如图20-16,△ABC是小新家门口的一块空地,三边的长分别是AB=13 m,BC=14 m,AC=15 m.现准备以每平方米50元的单价请承包商种植草皮,问:共需要多少费用?
图20-16
答案
11.过点A作AD⊥BC,设BD=x m,则DC=(14-x) m.
∵ 在Rt△ABD与Rt△ACD中,由勾股定理,得$AB^2-BD^2=AC^2-DC^2$,即$13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$. 解得x=5.
∴ $AD=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×14×12=84(\mathrm{m}^2)$.
∴ 共需费用84×50=4200(元).
∵ 在Rt△ABD与Rt△ACD中,由勾股定理,得$AB^2-BD^2=AC^2-DC^2$,即$13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$. 解得x=5.
∴ $AD=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×14×12=84(\mathrm{m}^2)$.
∴ 共需费用84×50=4200(元).
解析
【分析】
要计算种植草皮的总费用，需先求出△ABC的面积，再乘以每平方米50元的单价即可。已知三角形三边的长度，没有直接给出高，因此可以通过作高将一般三角形转化为直角三角形求解：过点A作BC边上的高AD，将BC分为BD和DC两段，设BD的长度为x，用含x的式子表示DC的长度；再根据两个直角三角形共用高AD，由勾股定理分别表示AD²，建立方程求出x的值，进而求出高AD的长度，最后计算三角形面积和总费用。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x m，则DC=(14-x) m。
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD为公共高，由勾股定理可得：
$AD^2=AB^2-BD^2$，$AD^2=AC^2-DC^2$
∴$AB^2-BD^2=AC^2-DC^2$，代入数值得：
$13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$
展开计算：$169-x^2=225-(196-28x+x^2)$
$169-x^2=29+28x-x^2$
化简解得$x=5$。
将x=5代入Rt△ABD中求AD：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$（m）
△ABC的面积为：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×14×12=84$（$m^2$）
总费用为：$84×50=4200$（元）
【答案】
共需要4200元。
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何计算，解题的核心是通过作高将一般三角形转化为直角三角形，利用公共高建立等量关系列方程求解，体现了方程思想在几何问题中的应用，同时也考查了学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
要计算种植草皮的总费用，需先求出△ABC的面积，再乘以每平方米50元的单价即可。已知三角形三边的长度，没有直接给出高，因此可以通过作高将一般三角形转化为直角三角形求解：过点A作BC边上的高AD，将BC分为BD和DC两段，设BD的长度为x，用含x的式子表示DC的长度；再根据两个直角三角形共用高AD，由勾股定理分别表示AD²，建立方程求出x的值，进而求出高AD的长度，最后计算三角形面积和总费用。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x m，则DC=(14-x) m。
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD为公共高，由勾股定理可得：
$AD^2=AB^2-BD^2$，$AD^2=AC^2-DC^2$
∴$AB^2-BD^2=AC^2-DC^2$，代入数值得：
$13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$
展开计算：$169-x^2=225-(196-28x+x^2)$
$169-x^2=29+28x-x^2$
化简解得$x=5$。
将x=5代入Rt△ABD中求AD：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$（m）
△ABC的面积为：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×14×12=84$（$m^2$）
总费用为：$84×50=4200$（元）
【答案】
共需要4200元。
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何计算，解题的核心是通过作高将一般三角形转化为直角三角形，利用公共高建立等量关系列方程求解，体现了方程思想在几何问题中的应用，同时也考查了学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
