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一、选择题
1. 下列各组数是勾股数的一组是（
A.$7,24,25$
B.$6^2,8^2,10^2$
C.$1.5,2,2.5$
D.$\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{7}$
1. 下列各组数是勾股数的一组是（
A
）A.$7,24,25$
B.$6^2,8^2,10^2$
C.$1.5,2,2.5$
D.$\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{7}$
答案
1.A
解析
【分析】
解决本题首先要明确勾股数的判断标准，需同时满足两个条件：①三个数均为正整数；②较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时依次对每个选项验证这两个条件，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。
选项A：$7$、$24$、$25$均为正整数，计算得$7^2=49$，$24^2=576$，$25^2=625$，满足$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，符合勾股数定义；
选项B：$6^2=36$，$8^2=64$，$10^2=100$，计算得$36^2+64^2=1296+4096=5392$，$100^2=10000$，$5392≠10000$，不满足勾股定理，不是勾股数；
选项C：$1.5$、$2.5$是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求；
选项D：$\sqrt{3}$、$\sqrt{7}$是无理数，不是正整数，不符合勾股数的要求。
综上，只有A选项的数是勾股数。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判断，解题的关键是牢记勾股数需要同时满足“为正整数”和“符合勾股定理”两个条件，尤其注意不要忽略正整数的前提，避免误选带小数或无理数的选项。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确勾股数的判断标准，需同时满足两个条件：①三个数均为正整数；②较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时依次对每个选项验证这两个条件，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。
选项A：$7$、$24$、$25$均为正整数，计算得$7^2=49$，$24^2=576$，$25^2=625$，满足$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，符合勾股数定义；
选项B：$6^2=36$，$8^2=64$，$10^2=100$，计算得$36^2+64^2=1296+4096=5392$，$100^2=10000$，$5392≠10000$，不满足勾股定理，不是勾股数；
选项C：$1.5$、$2.5$是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求；
选项D：$\sqrt{3}$、$\sqrt{7}$是无理数，不是正整数，不符合勾股数的要求。
综上，只有A选项的数是勾股数。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判断，解题的关键是牢记勾股数需要同时满足“为正整数”和“符合勾股定理”两个条件，尤其注意不要忽略正整数的前提，避免误选带小数或无理数的选项。
【难度系数】
0.8
2. 如图20-9是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分$ a $的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是
(
图20-9
A.$ 12≤ a≤ 13 $
B.$ 12≤ a≤ 15 $
C.$ 5≤ a≤ 12 $
D.$ 5≤ a≤ 13 $
(
A
)图20-9
A.$ 12≤ a≤ 13 $
B.$ 12≤ a≤ 15 $
C.$ 5≤ a≤ 12 $
D.$ 5≤ a≤ 13 $
答案
2.A
解析
【分析】
要确定直吸管在罐内部分a的长度范围，需分别求出a的最小值和最大值：①最短情况：吸管竖直放入，垂直指向底部中心时，长度最短，等于圆柱的高；②最长情况：吸管斜放，上端在上底面中心的孔处，下端抵在底面圆周的边缘时，长度最长，此时吸管、圆柱的高、底面半径可构成直角三角形，用勾股定理即可算出最长长度，最终得到a的取值范围。
【解析】
1. 求a的最小值：
当吸管竖直放置，下端恰好到达底部中心时，罐内吸管长度最短，此时a等于圆柱的高，即$a_{\mathrm{最小}}=12$。
2. 求a的最大值：
当吸管斜放，下端抵在底面圆周的边缘处，上端在上底面中心的圆孔处时，罐内吸管长度最长。此时圆柱的高12、底面半径5和吸管长度a构成直角三角形，a为斜边，根据勾股定理：
$a_{\mathrm{最大}}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
因此a的取值范围是$12≤ a≤13$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；圆柱的特征；最值范围求解
【点评】
本题是几何知识在实际场景中的应用，解题的核心是找到吸管长度的两种极端摆放情况，结合立体图形的性质转化为平面直角三角形的计算，难度不大，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
要确定直吸管在罐内部分a的长度范围，需分别求出a的最小值和最大值：①最短情况：吸管竖直放入，垂直指向底部中心时，长度最短，等于圆柱的高；②最长情况：吸管斜放，上端在上底面中心的孔处，下端抵在底面圆周的边缘时，长度最长，此时吸管、圆柱的高、底面半径可构成直角三角形，用勾股定理即可算出最长长度，最终得到a的取值范围。
【解析】
1. 求a的最小值：
当吸管竖直放置，下端恰好到达底部中心时，罐内吸管长度最短，此时a等于圆柱的高，即$a_{\mathrm{最小}}=12$。
2. 求a的最大值：
当吸管斜放，下端抵在底面圆周的边缘处，上端在上底面中心的圆孔处时，罐内吸管长度最长。此时圆柱的高12、底面半径5和吸管长度a构成直角三角形，a为斜边，根据勾股定理：
$a_{\mathrm{最大}}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
因此a的取值范围是$12≤ a≤13$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；圆柱的特征；最值范围求解
【点评】
本题是几何知识在实际场景中的应用，解题的核心是找到吸管长度的两种极端摆放情况，结合立体图形的性质转化为平面直角三角形的计算，难度不大，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
3. 如图20-10,在矩形$ABCD$中,$AB=3\ \mathrm{cm}$,$AD=9\ \mathrm{cm}$. 将此矩形折叠,使点$D$与点$B$重合,折痕为$EF$,则$△ ABE$的面积为 (
A.$3\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C
)A.$3\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
答案
3.C
解析
【分析】
要计算△ABE的面积，已知AB=3cm，只需要求出直角边AE的长度即可。首先根据折叠的性质，折叠后对应边相等，可得BE=DE；再结合矩形对边相等的性质，可知AE+DE=AD=9cm，即AE+BE=9cm。△ABE是直角三角形，我们可以设AE的长为未知数，利用勾股定理列方程求出AE的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵将矩形折叠使点D与点B重合，折痕为EF
∴BE = DE
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A = 90°，AD = 9cm
设AE = x cm，则DE = BE = (9 - x) cm
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$
代入已知数据：
$3^2 + x^2 = (9 - x)^2$
展开计算：
$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$
消去$x^2$后整理得：
$18x = 72$
解得$x = 4$，即AE = 4cm
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AB × AE = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6\ \mathrm{cm}^2$
故选C
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是矩形折叠类的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将未知边和已知边转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，掌握方程思想在几何计算中的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算△ABE的面积，已知AB=3cm，只需要求出直角边AE的长度即可。首先根据折叠的性质，折叠后对应边相等，可得BE=DE；再结合矩形对边相等的性质，可知AE+DE=AD=9cm，即AE+BE=9cm。△ABE是直角三角形，我们可以设AE的长为未知数，利用勾股定理列方程求出AE的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵将矩形折叠使点D与点B重合，折痕为EF
∴BE = DE
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A = 90°，AD = 9cm
设AE = x cm，则DE = BE = (9 - x) cm
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$
代入已知数据：
$3^2 + x^2 = (9 - x)^2$
展开计算：
$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$
消去$x^2$后整理得：
$18x = 72$
解得$x = 4$，即AE = 4cm
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AB × AE = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6\ \mathrm{cm}^2$
故选C
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是矩形折叠类的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将未知边和已知边转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，掌握方程思想在几何计算中的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 如图 20-11, 在 $△ ABC$ 中, $∠ A = 45°, ∠ B = 30°, CD ⊥ AB$ 于点 $D, CD = 2$, 则 $AB$ 的长为
(
A.$6$
B.$4\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3} + 2$
D.$2\sqrt{3} + 2$
(
D
)A.$6$
B.$4\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3} + 2$
D.$2\sqrt{3} + 2$
答案
4.D
解析
【分析】
要求AB的长度，观察图形可知AB=AD+BD，因此只需分别求出AD、BD的长度再相加即可。首先由CD⊥AB可得△ACD和△BCD均为直角三角形：①在Rt△ACD中，已知∠A=45°，可判断该三角形为等腰直角三角形，因此AD=CD，结合CD=2即可直接得到AD的长度；②在Rt△BCD中，已知∠B=30°，根据直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半可求出BC的长度，再利用勾股定理即可求出BD的长度，最后求和即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
①在Rt△ACD中，∠A=45°，
∴∠ACD=90°-∠A=45°，即∠A=∠ACD，
∴AD=CD=2。
②在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=2，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得BC=2CD=4，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
∴$AB=AD+BD=2+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是三角形边长计算的基础题型，核心思路是将斜三角形拆分为两个特殊直角三角形分别求解，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题时注意拆分线段的逻辑，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要求AB的长度，观察图形可知AB=AD+BD，因此只需分别求出AD、BD的长度再相加即可。首先由CD⊥AB可得△ACD和△BCD均为直角三角形：①在Rt△ACD中，已知∠A=45°，可判断该三角形为等腰直角三角形，因此AD=CD，结合CD=2即可直接得到AD的长度；②在Rt△BCD中，已知∠B=30°，根据直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半可求出BC的长度，再利用勾股定理即可求出BD的长度，最后求和即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
①在Rt△ACD中，∠A=45°，
∴∠ACD=90°-∠A=45°，即∠A=∠ACD，
∴AD=CD=2。
②在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=2，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得BC=2CD=4，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
∴$AB=AD+BD=2+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是三角形边长计算的基础题型，核心思路是将斜三角形拆分为两个特殊直角三角形分别求解，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题时注意拆分线段的逻辑，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 图20-12中每个小网格都是正方形,A,B,C,D是网格线交点,则∠BAC与∠DAC的大小关系为 (
A.$∠ BAC＞∠ DAC$
B.$∠ BAC＜∠ DAC$
C.$∠ BAC=∠ DAC$
D.无法确定
C
)A.$∠ BAC＞∠ DAC$
B.$∠ BAC＜∠ DAC$
C.$∠ BAC=∠ DAC$
D.无法确定
答案
5.C
解析
【分析】要比较∠BAC和∠DAC的大小，可将两个角放在对应的三角形中，通过证明三角形全等得到角相等的关系。首先设每个小正方形的边长为1，借助勾股定理分别计算△ABC和△ADC的各条边长，若两个三角形三边对应相等，即可判定全等，进而得到对应角相等。
【解析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$，$AD=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故$AB=AD$；
$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$DC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，故$BC=DC$；
又AC为公共边，即$AC=AC$。
根据SSS全等判定定理，可得$△ ABC ≌ △ ADC$，因此对应角$∠ BAC=∠ DAC$。
【答案】C
【知识点】勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】本题属于网格类几何题，解题的核心是借助勾股定理计算相关线段的长度，再通过全等三角形的性质得到角的大小关系，很好地考查了数形结合的应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$，$AD=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故$AB=AD$；
$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$DC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，故$BC=DC$；
又AC为公共边，即$AC=AC$。
根据SSS全等判定定理，可得$△ ABC ≌ △ ADC$，因此对应角$∠ BAC=∠ DAC$。
【答案】C
【知识点】勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】本题属于网格类几何题，解题的核心是借助勾股定理计算相关线段的长度，再通过全等三角形的性质得到角的大小关系，很好地考查了数形结合的应用能力。
【难度系数】0.7
6. 如图20-13所示(注:图中的三角形均为直角三角形,图中的四边形均为正方形),$S_{A}=$
225
,$y=$39
,$S_{B}=$225
.答案
6.225 39 225
解析
【分析】
本题核心考查勾股定理的应用，解题思路如下：
1. 求$S_A$：观察左侧图形，三个正方形分别对应直角三角形的三条边，根据勾股定理的几何意义，直角三角形两条直角边对应正方形的面积和等于斜边对应正方形的面积，已知斜边对应正方形面积为289，其中一条直角边对应正方形面积为64，作差即可求出$S_A$。
2. 求$y$：中间图形是直角三角形，已知两条直角边长度，直接代入勾股定理计算斜边长度即可。
3. 求$S_B$：右侧直角三角形的一条直角边为8，斜边为17，另一条直角边是正方形B的边长，先根据勾股定理求出边长的平方，也就是正方形B的面积。
【解析】
1. 计算$S_A$：
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，对应正方形面积关系为：$S_A + 64 = 289$，因此$S_A = 289 - 64 = 225$。
2. 计算$y$：
直角三角形两条直角边分别为15和36，由勾股定理得：
$y^2 = 15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521$，
因为$y＞0$，所以$y = \sqrt{1521} = 39$。
3. 计算$S_B$：
设正方形B的边长为$a$，$a$是直角三角形的另一条直角边，由勾股定理得：
$a^2 + 8^2 = 17^2$，
因此$a^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$，即$S_B = a^2 = 225$。
【答案】
225；39；225
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，既考查了勾股定理的数值计算，也考查了勾股定理的几何意义，解题时只需找准直角三角形的三边对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题核心考查勾股定理的应用，解题思路如下：
1. 求$S_A$：观察左侧图形，三个正方形分别对应直角三角形的三条边，根据勾股定理的几何意义，直角三角形两条直角边对应正方形的面积和等于斜边对应正方形的面积，已知斜边对应正方形面积为289，其中一条直角边对应正方形面积为64，作差即可求出$S_A$。
2. 求$y$：中间图形是直角三角形，已知两条直角边长度，直接代入勾股定理计算斜边长度即可。
3. 求$S_B$：右侧直角三角形的一条直角边为8，斜边为17，另一条直角边是正方形B的边长，先根据勾股定理求出边长的平方，也就是正方形B的面积。
【解析】
1. 计算$S_A$：
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，对应正方形面积关系为：$S_A + 64 = 289$，因此$S_A = 289 - 64 = 225$。
2. 计算$y$：
直角三角形两条直角边分别为15和36，由勾股定理得：
$y^2 = 15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521$，
因为$y＞0$，所以$y = \sqrt{1521} = 39$。
3. 计算$S_B$：
设正方形B的边长为$a$，$a$是直角三角形的另一条直角边，由勾股定理得：
$a^2 + 8^2 = 17^2$，
因此$a^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$，即$S_B = a^2 = 225$。
【答案】
225；39；225
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，既考查了勾股定理的数值计算，也考查了勾股定理的几何意义，解题时只需找准直角三角形的三边对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
