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13. 先阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}$化简，若你能找到两个数$m$和$n$，使$m^2+n^2=a$且$mn=\sqrt{b}$，则$a\pm2\sqrt{b}$可变为$m^2+n^2\pm2mn$，即变成$(m\pm n)^2$，开方，从而使$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}$可以化简。
例如：$5\pm2\sqrt{6}=3+2\pm2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2\pm2\sqrt{2}·\sqrt{3}=(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})^2$，
$\therefore\sqrt{5\pm2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}\pm$
有这样一类题目：将$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}$化简，若你能找到两个数$m$和$n$，使$m^2+n^2=a$且$mn=\sqrt{b}$，则$a\pm2\sqrt{b}$可变为$m^2+n^2\pm2mn$，即变成$(m\pm n)^2$，开方，从而使$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}$可以化简。
例如：$5\pm2\sqrt{6}=3+2\pm2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2\pm2\sqrt{2}·\sqrt{3}=(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})^2$，
$\therefore\sqrt{5\pm2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}\pm$
答案
解：
$\sqrt{5\pm2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}\pm\sqrt{2}$
(1) 化简$\sqrt{13-2\sqrt{42}}$：
$\because 13-2\sqrt{42}=7+6-2\sqrt{42}=(\sqrt{7})^2+(\sqrt{6})^2-2·\sqrt{7}·\sqrt{6}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2$
$\therefore \sqrt{13-2\sqrt{42}}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
(2) 化简$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$：
先将原式变形为含$2\sqrt{b}$的形式：
$7+4\sqrt{3}=7+2\sqrt{12}$
$\because 7+2\sqrt{12}=4+3+2\sqrt{12}=2^2+(\sqrt{3})^2+2·2·\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2$
$\therefore \sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$
$\sqrt{5\pm2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}\pm\sqrt{2}$
(1) 化简$\sqrt{13-2\sqrt{42}}$：
$\because 13-2\sqrt{42}=7+6-2\sqrt{42}=(\sqrt{7})^2+(\sqrt{6})^2-2·\sqrt{7}·\sqrt{6}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2$
$\therefore \sqrt{13-2\sqrt{42}}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
(2) 化简$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$：
先将原式变形为含$2\sqrt{b}$的形式：
$7+4\sqrt{3}=7+2\sqrt{12}$
$\because 7+2\sqrt{12}=4+3+2\sqrt{12}=2^2+(\sqrt{3})^2+2·2·\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2$
$\therefore \sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是阅读理解类的复合二次根式化简题，解题核心是运用材料给出的“配完全平方法”：
1. 先判断根号下的式子是否为$a\pm2\sqrt{b}$的标准形式，若不是，先通过变形把根号外的系数转化为2，得到标准形式；
2. 寻找两个正数$m、n$，满足$m^2+n^2=a$，且$m^2× n^2=b$（即$mn=\sqrt{b}$）；
3. 将根号下的式子改写为$(m\pm n)^2$的形式，再根据算术平方根的非负性开方，差的平方开方后取较大数减较小数，和的平方开方后直接取和即可。
【解析】
（1）化简$\sqrt{13-2\sqrt{42}}$
拆分常数项13：$7+6=13$，且$\sqrt{7}×\sqrt{6}=\sqrt{42}$，满足配方要求：
$\begin{aligned}13-2\sqrt{42}&=7+6-2\sqrt{42}\\&=(\sqrt{7})^2+(\sqrt{6})^2-2·\sqrt{7}·\sqrt{6}\\&=(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2\end{aligned}$
根据算术平方根的非负性，$\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}=|\sqrt{7}-\sqrt{6}|=\sqrt{7}-\sqrt{6}$（$\sqrt{7}＞\sqrt{6}$）。
（2）化简$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$
先将原式化为$a\pm2\sqrt{b}$的标准形式：$4\sqrt{3}=2×2\sqrt{3}=2\sqrt{2^2×3}=2\sqrt{12}$，即根号下为$7+2\sqrt{12}$。
拆分常数项7：$4+3=7$，且$2×\sqrt{3}=\sqrt{12}$，满足配方要求：
$\begin{aligned}7+2\sqrt{12}&=4+3+2\sqrt{12}\\&=2^2+(\sqrt{3})^2+2·2·\sqrt{3}\\&=(2+\sqrt{3})^2\end{aligned}$
开方得$\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$；(2) $2+\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，复合二次根式化简
【点评】
本题属于材料阅读型题目，重点考察对新方法的理解迁移能力，解题关键是掌握“配完全平方”的思路，对于非标准形式的复合二次根式，要先变形为$a\pm2\sqrt{b}$的形式再配方，开方时注意保证结果非负。
【难度系数】
0.7
本题是阅读理解类的复合二次根式化简题，解题核心是运用材料给出的“配完全平方法”：
1. 先判断根号下的式子是否为$a\pm2\sqrt{b}$的标准形式，若不是，先通过变形把根号外的系数转化为2，得到标准形式；
2. 寻找两个正数$m、n$，满足$m^2+n^2=a$，且$m^2× n^2=b$（即$mn=\sqrt{b}$）；
3. 将根号下的式子改写为$(m\pm n)^2$的形式，再根据算术平方根的非负性开方，差的平方开方后取较大数减较小数，和的平方开方后直接取和即可。
【解析】
（1）化简$\sqrt{13-2\sqrt{42}}$
拆分常数项13：$7+6=13$，且$\sqrt{7}×\sqrt{6}=\sqrt{42}$，满足配方要求：
$\begin{aligned}13-2\sqrt{42}&=7+6-2\sqrt{42}\\&=(\sqrt{7})^2+(\sqrt{6})^2-2·\sqrt{7}·\sqrt{6}\\&=(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2\end{aligned}$
根据算术平方根的非负性，$\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2}=|\sqrt{7}-\sqrt{6}|=\sqrt{7}-\sqrt{6}$（$\sqrt{7}＞\sqrt{6}$）。
（2）化简$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$
先将原式化为$a\pm2\sqrt{b}$的标准形式：$4\sqrt{3}=2×2\sqrt{3}=2\sqrt{2^2×3}=2\sqrt{12}$，即根号下为$7+2\sqrt{12}$。
拆分常数项7：$4+3=7$，且$2×\sqrt{3}=\sqrt{12}$，满足配方要求：
$\begin{aligned}7+2\sqrt{12}&=4+3+2\sqrt{12}\\&=2^2+(\sqrt{3})^2+2·2·\sqrt{3}\\&=(2+\sqrt{3})^2\end{aligned}$
开方得$\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$；(2) $2+\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，复合二次根式化简
【点评】
本题属于材料阅读型题目，重点考察对新方法的理解迁移能力，解题关键是掌握“配完全平方”的思路，对于非标准形式的复合二次根式，要先变形为$a\pm2\sqrt{b}$的形式再配方，开方时注意保证结果非负。
【难度系数】
0.7
$\sqrt{2}.$
请仿照上例解下列问题：
(1)$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$；
(2)$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}.$
请仿照上例解下列问题：
(1)$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$；
(2)$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}.$
答案
13.(1)原式$=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}-1.$
(2)原式$=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}.$
(2)原式$=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}.$
解析
【分析】
本题是复合二次根式的化简题，解题核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质计算。解题步骤思路：①先观察根号内的式子结构，均为“整数±2√正数”的形式，对应完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的展开结构；②将根号内的整数拆分为两个正数的平方和，让根号内带系数2的根号项对应完全平方里的$2ab$项，即可把根号内的式子写成完全平方的形式；③最后根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合非负性去掉绝对值得到最终结果。
【解析】
(1) 先拆分根号内的整数部分：$3=2+1=(\sqrt{2})^2+1^2$，带根号的项$2\sqrt{2}=2×\sqrt{2}×1$，因此：
原式$=\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$
根据二次根式性质，$\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=|\sqrt{2}-1|$，因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1$。
(2) 拆分根号内的整数部分：$4=1+3=1^2+(\sqrt{3})^2$，带根号的项$2\sqrt{3}=2×1×\sqrt{3}$，因此：
原式$=\sqrt{1^2 + 2×1×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}$
根据二次根式性质，$\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=|1+\sqrt{3}|$，因为$1+\sqrt{3}＞0$，所以$|1+\sqrt{3}|=1+\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$\sqrt{2}-1$；(2)$1+\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能准确将根号内的式子拆分为完全平方式，同时要注意二次根式的计算结果为非负数，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
本题是复合二次根式的化简题，解题核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质计算。解题步骤思路：①先观察根号内的式子结构，均为“整数±2√正数”的形式，对应完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的展开结构；②将根号内的整数拆分为两个正数的平方和，让根号内带系数2的根号项对应完全平方里的$2ab$项，即可把根号内的式子写成完全平方的形式；③最后根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合非负性去掉绝对值得到最终结果。
【解析】
(1) 先拆分根号内的整数部分：$3=2+1=(\sqrt{2})^2+1^2$，带根号的项$2\sqrt{2}=2×\sqrt{2}×1$，因此：
原式$=\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$
根据二次根式性质，$\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=|\sqrt{2}-1|$，因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1$。
(2) 拆分根号内的整数部分：$4=1+3=1^2+(\sqrt{3})^2$，带根号的项$2\sqrt{3}=2×1×\sqrt{3}$，因此：
原式$=\sqrt{1^2 + 2×1×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}$
根据二次根式性质，$\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=|1+\sqrt{3}|$，因为$1+\sqrt{3}＞0$，所以$|1+\sqrt{3}|=1+\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$\sqrt{2}-1$；(2)$1+\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能准确将根号内的式子拆分为完全平方式，同时要注意二次根式的计算结果为非负数，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 下列计算正确的是 （
A.$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 5$
B.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 2$
C.$5\sqrt{3} × 5\sqrt{2} = 5\sqrt{6}$
D.$\sqrt{4\dfrac{1}{2}} = 2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
1. 下列计算正确的是 （
B
）A.$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 5$
B.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 2$
C.$5\sqrt{3} × 5\sqrt{2} = 5\sqrt{6}$
D.$\sqrt{4\dfrac{1}{2}} = 2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断二次根式计算是否正确，需按照二次根式的运算规则逐一验证每个选项：首先明确只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能合并加减；二次根式乘除运算时，系数和被开方数分别计算，最后化简为最简二次根式；带分数要先化为假分数再进行化简。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，不是同类二次根式，不能直接合并相加，因此A计算错误；
B选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}（a≥0,b＞0）$，可得$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，因此B计算正确；
C选项：二次根式乘法运算中，系数和被开方数分别相乘，即$5\sqrt{3}×5\sqrt{2}=(5×5)×\sqrt{3×2}=25\sqrt{6}$，不是$5\sqrt{6}$，因此C计算错误；
D选项：先将带分数化为假分数，$\sqrt{4\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，而$2\sqrt{\dfrac{1}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，二者不相等，因此D计算错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘除运算；同类二次根式；二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的基本运算，核心是牢记二次根式的运算规则，做题时需注意区分加减和乘除的运算要求，带分数要先转化为假分数再化简，避免因运算规则混淆或细节处理不当出错。
【难度系数】
0.8
要判断二次根式计算是否正确，需按照二次根式的运算规则逐一验证每个选项：首先明确只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能合并加减；二次根式乘除运算时，系数和被开方数分别计算，最后化简为最简二次根式；带分数要先化为假分数再进行化简。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，不是同类二次根式，不能直接合并相加，因此A计算错误；
B选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}（a≥0,b＞0）$，可得$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，因此B计算正确；
C选项：二次根式乘法运算中，系数和被开方数分别相乘，即$5\sqrt{3}×5\sqrt{2}=(5×5)×\sqrt{3×2}=25\sqrt{6}$，不是$5\sqrt{6}$，因此C计算错误；
D选项：先将带分数化为假分数，$\sqrt{4\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，而$2\sqrt{\dfrac{1}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，二者不相等，因此D计算错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘除运算；同类二次根式；二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的基本运算，核心是牢记二次根式的运算规则，做题时需注意区分加减和乘除的运算要求，带分数要先转化为假分数再化简，避免因运算规则混淆或细节处理不当出错。
【难度系数】
0.8
2. 若使算式 $3\sqrt{2} ◯ \sqrt{8}$ 的运算结果最小,则$◯$表示的运算符号是 (
A.+
B.-
C.×
D.÷
B
)A.+
B.-
C.×
D.÷
答案
2.B
解析
【分析】
要确定哪个运算符号能让算式的运算结果最小，我们可以按以下思路求解：第一步先把算式里的非最简二次根式$\sqrt{8}$化简为最简形式；第二步分别将四个选项的运算符号代入算式，计算出对应的结果；第三步比较四个结果的大小，最小结果对应的运算符号就是正确答案。
【解析】
首先化简二次根式：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$。
分别计算四个选项的运算结果：
A. 若填“$+$”：$3\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\approx7.07$；
B. 若填“$-$”：$3\sqrt{2}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\approx1.414$；
C. 若填“$×$”：$3\sqrt{2}×\sqrt{8}=3\sqrt{2}×2\sqrt{2}=6×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=6×2=12$；
D. 若填“$÷$”：$3\sqrt{2}÷\sqrt{8}=3\sqrt{2}÷2\sqrt{2}=\frac{3}{2}=1.5$。
比较大小可得：$\sqrt{2}＜1.5＜5\sqrt{2}＜12$，因此填“$-$”时运算结果最小。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是先化简非最简二次根式，再严格按照二次根式四则运算法则计算不同运算的结果，通过大小对比即可得出答案，解题时注意不要混淆二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.8
要确定哪个运算符号能让算式的运算结果最小，我们可以按以下思路求解：第一步先把算式里的非最简二次根式$\sqrt{8}$化简为最简形式；第二步分别将四个选项的运算符号代入算式，计算出对应的结果；第三步比较四个结果的大小，最小结果对应的运算符号就是正确答案。
【解析】
首先化简二次根式：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$。
分别计算四个选项的运算结果：
A. 若填“$+$”：$3\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\approx7.07$；
B. 若填“$-$”：$3\sqrt{2}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\approx1.414$；
C. 若填“$×$”：$3\sqrt{2}×\sqrt{8}=3\sqrt{2}×2\sqrt{2}=6×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=6×2=12$；
D. 若填“$÷$”：$3\sqrt{2}÷\sqrt{8}=3\sqrt{2}÷2\sqrt{2}=\frac{3}{2}=1.5$。
比较大小可得：$\sqrt{2}＜1.5＜5\sqrt{2}＜12$，因此填“$-$”时运算结果最小。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是先化简非最简二次根式，再严格按照二次根式四则运算法则计算不同运算的结果，通过大小对比即可得出答案，解题时注意不要混淆二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.8
3. 计算$\sqrt{5+2\sqrt{6}} · \sqrt{5-2\sqrt{6}}$的结果为
（
A.$\sqrt{17}$
B.$\sqrt{13}$
C.$13$
D.$1$
（
D
）A.$\sqrt{17}$
B.$\sqrt{13}$
C.$13$
D.$1$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先观察算式的结构：两个二次根式相乘，被开方数分别是$5+2\sqrt{6}$和$5-2\sqrt{6}$，刚好符合平方差公式中“两数和乘两数差”的特征。我们可以先利用二次根式的乘法运算性质，将两个二次根式合并为一个二次根式，再用平方差公式计算被开方数的乘积，最后化简得到结果，这种方法比分别化简两个二次根式更简便。
【解析】
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
原式$=\sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算被开方部分：
$(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})=5^2-(2\sqrt{6})^2=25-4×6=25-24=1$
因此原式$=\sqrt{1}=1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题的核心是灵活运用公式简化计算，解题时优先观察算式的结构特征，选择合适的运算律或公式，可以大幅降低计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察算式的结构：两个二次根式相乘，被开方数分别是$5+2\sqrt{6}$和$5-2\sqrt{6}$，刚好符合平方差公式中“两数和乘两数差”的特征。我们可以先利用二次根式的乘法运算性质，将两个二次根式合并为一个二次根式，再用平方差公式计算被开方数的乘积，最后化简得到结果，这种方法比分别化简两个二次根式更简便。
【解析】
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
原式$=\sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算被开方部分：
$(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})=5^2-(2\sqrt{6})^2=25-4×6=25-24=1$
因此原式$=\sqrt{1}=1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题的核心是灵活运用公式简化计算，解题时优先观察算式的结构特征，选择合适的运算律或公式，可以大幅降低计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 如果$5+\sqrt{7},5-\sqrt{7}$的小数部分分别为$a,b$,那么$a+b$的值为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4.A
解析
【分析】
要计算$a+b$的值，首先需要分别求出两个数的小数部分$a$和$b$。求一个数的小数部分，核心是先确定这个数的整数部分，小数部分等于原数减去它的整数部分。首先估算$\sqrt{7}$的取值范围，再据此分别求出$5+\sqrt{7}$和$5-\sqrt{7}$的整数部分，进而得到$a$、$b$的表达式，最后代入化简计算即可。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
$\therefore 2＜\sqrt{7}＜3$
1. 求$a$的值：
$5+2＜5+\sqrt{7}＜5+3$，即$7＜5+\sqrt{7}＜8$
可得$5+\sqrt{7}$的整数部分为7，因此小数部分：
$a=(5+\sqrt{7})-7=\sqrt{7}-2$
2. 求$b$的值：
$5-3＜5-\sqrt{7}＜5-2$，即$2＜5-\sqrt{7}＜3$
可得$5-\sqrt{7}$的整数部分为2，因此小数部分：
$b=(5-\sqrt{7})-2=3-\sqrt{7}$
3. 计算$a+b$：
$a+b=(\sqrt{7}-2)+(3-\sqrt{7})=1$
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算；实数的运算
【点评】
本题是无理数相关的常考基础题，解题关键是掌握夹逼法估算无理数大小的方法，明确“小数部分=原数-整数部分”的关系，计算时无理数项会相互抵消，化简即可得到结果。
【难度系数】
0.7
要计算$a+b$的值，首先需要分别求出两个数的小数部分$a$和$b$。求一个数的小数部分，核心是先确定这个数的整数部分，小数部分等于原数减去它的整数部分。首先估算$\sqrt{7}$的取值范围，再据此分别求出$5+\sqrt{7}$和$5-\sqrt{7}$的整数部分，进而得到$a$、$b$的表达式，最后代入化简计算即可。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
$\therefore 2＜\sqrt{7}＜3$
1. 求$a$的值：
$5+2＜5+\sqrt{7}＜5+3$，即$7＜5+\sqrt{7}＜8$
可得$5+\sqrt{7}$的整数部分为7，因此小数部分：
$a=(5+\sqrt{7})-7=\sqrt{7}-2$
2. 求$b$的值：
$5-3＜5-\sqrt{7}＜5-2$，即$2＜5-\sqrt{7}＜3$
可得$5-\sqrt{7}$的整数部分为2，因此小数部分：
$b=(5-\sqrt{7})-2=3-\sqrt{7}$
3. 计算$a+b$：
$a+b=(\sqrt{7}-2)+(3-\sqrt{7})=1$
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算；实数的运算
【点评】
本题是无理数相关的常考基础题，解题关键是掌握夹逼法估算无理数大小的方法，明确“小数部分=原数-整数部分”的关系，计算时无理数项会相互抵消，化简即可得到结果。
【难度系数】
0.7
5. 已知一个直角三角形的周长是$4+\sqrt{26}$，斜边上的中线长是2，则这个三角形的面积是（
A.5
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.1
B
）A.5
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.1
答案
5.B 提示:设两直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$.$\because\ \ $直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,$\therefore\ \ $斜边$c=2×2=4$.$\because\ \ $直角三角形的周长是$4+\sqrt{26}$,$\therefore\ \ a+b+c=4+\sqrt{26}.\therefore\ \ \begin{cases} a+b+c=4+\sqrt{26}, \\ a^2+b^2=4^2. \end{cases}\therefore\ \ \begin{cases} a+b=\sqrt{26}, \\ a^2+b^2=16. \end{cases}\therefore\ \ ab=\dfrac{1}{2}[(a+b)^2-(a^2+b^2)]=\dfrac{1}{2}×(26-16)=5.$故$S_{\mathrm{三角形}}=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{5}{2}.$
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：1. 看到直角三角形斜边上的中线，首先回忆对应性质，可直接求出斜边长度；2. 结合给出的周长，就能得到两条直角边的和；3. 求直角三角形面积本质是求两直角边的乘积，不需要单独算出每条直角边的长度，结合勾股定理，利用完全平方公式的变形就能整体求出两直角边的乘积，最后代入面积公式即可得到结果。
【解析】
设该直角三角形的两直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
1. 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知斜边上中线长为2，可得$c=2×2=4$。
2. 已知三角形周长为$4+\sqrt{26}$，即$a+b+c=4+\sqrt{26}$，代入$c=4$可得$a+b=\sqrt{26}$。
3. 根据勾股定理，可得$a^2+b^2=c^2=4^2=16$。
4. 由完全平方公式变形可得$ab=\dfrac{1}{2}[(a+b)^2-(a^2+b^2)]$，代入$a+b=\sqrt{26}$、$a^2+b^2=16$，计算得：
$ab=\dfrac{1}{2}×[(\sqrt{26})^2-16]=\dfrac{1}{2}×(26-16)=5$。
5. 三角形面积$S=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}×5=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；勾股定理；完全平方公式变形
【点评】
本题是直角三角形性质与代数公式结合的典型题型，解题无需单独求解两条直角边的长度，运用整体代入思想计算两直角边的乘积即可简化计算，很好地考察了数形结合思想和公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路逐步推导：1. 看到直角三角形斜边上的中线，首先回忆对应性质，可直接求出斜边长度；2. 结合给出的周长，就能得到两条直角边的和；3. 求直角三角形面积本质是求两直角边的乘积，不需要单独算出每条直角边的长度，结合勾股定理，利用完全平方公式的变形就能整体求出两直角边的乘积，最后代入面积公式即可得到结果。
【解析】
设该直角三角形的两直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
1. 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知斜边上中线长为2，可得$c=2×2=4$。
2. 已知三角形周长为$4+\sqrt{26}$，即$a+b+c=4+\sqrt{26}$，代入$c=4$可得$a+b=\sqrt{26}$。
3. 根据勾股定理，可得$a^2+b^2=c^2=4^2=16$。
4. 由完全平方公式变形可得$ab=\dfrac{1}{2}[(a+b)^2-(a^2+b^2)]$，代入$a+b=\sqrt{26}$、$a^2+b^2=16$，计算得：
$ab=\dfrac{1}{2}×[(\sqrt{26})^2-16]=\dfrac{1}{2}×(26-16)=5$。
5. 三角形面积$S=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}×5=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；勾股定理；完全平方公式变形
【点评】
本题是直角三角形性质与代数公式结合的典型题型，解题无需单独求解两条直角边的长度，运用整体代入思想计算两直角边的乘积即可简化计算，很好地考察了数形结合思想和公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
6. 计算：$2^{-1}+\sqrt{(-2)^{2}}=\underline{\hspace{5cm}}.$
答案
6.$\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
这道题是实数混合运算基础题，解题时可拆分两部分分别计算后再求和：首先运用负整数指数幂的运算规则计算$2^{-1}$，再根据二次根式的性质计算$\sqrt{(-2)^2}$，最后将两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
1. 计算负整数指数幂：根据运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$；
2. 计算二次根式：根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$；
3. 求和运算：将两个结果相加，$\frac{1}{2}+2=\frac{1}{2}+\frac{4}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
负整数指数幂运算，二次根式化简，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类考题，主要考查对基础运算公式的掌握程度，只要牢记相关运算规则、细心计算即可得分，是代数运算中的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
这道题是实数混合运算基础题，解题时可拆分两部分分别计算后再求和：首先运用负整数指数幂的运算规则计算$2^{-1}$，再根据二次根式的性质计算$\sqrt{(-2)^2}$，最后将两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
1. 计算负整数指数幂：根据运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$；
2. 计算二次根式：根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$；
3. 求和运算：将两个结果相加，$\frac{1}{2}+2=\frac{1}{2}+\frac{4}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
负整数指数幂运算，二次根式化简，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类考题，主要考查对基础运算公式的掌握程度，只要牢记相关运算规则、细心计算即可得分，是代数运算中的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
7. 如果两个最简二次根式$\sqrt{3a-1}$与
答案
解：
由题意可知，两个最简二次根式$\sqrt{3a-1}$与$\sqrt{2a+3}$是同类二次根式，
因此被开方数相等，可得方程：
$3a - 1 = 2a + 3$
解得：
$a = 4$
验证：当$a=4$时，$3a-1=11＞0$，$2a+3=11＞0$，两个根式均为有意义的最简二次根式，符合题意。
综上，$a$的值为$\boldsymbol{4}$。
由题意可知，两个最简二次根式$\sqrt{3a-1}$与$\sqrt{2a+3}$是同类二次根式，
因此被开方数相等，可得方程：
$3a - 1 = 2a + 3$
解得：
$a = 4$
验证：当$a=4$时，$3a-1=11＞0$，$2a+3=11＞0$，两个根式均为有意义的最简二次根式，符合题意。
综上，$a$的值为$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
这道题考查同类最简二次根式的应用，解题思路如下：首先回忆同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。题目已经明确两个根式都是最简二次根式，因此它们的被开方数一定相等，据此可列出关于a的一元一次方程；解出方程的解后，需要代入验证两个二次根式的被开方数均为非负数，保证根式有意义，同时确认仍是最简二次根式，排除不符合题意的解。
【解析】
由题意可知，两个最简二次根式$\sqrt{3a-1}$与$\sqrt{2a+3}$是同类二次根式，因此被开方数相等，可得方程：
$3a - 1 = 2a + 3$
移项计算得：
$3a-2a=3+1$
解得：$a = 4$
验证：当$a=4$时，$3a-1=3×4-1=11＞0$，$2a+3=2×4+3=11＞0$，且11不含能开得尽方的因数，两个根式均为有意义的最简二次根式，符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
同类二次根式的定义，二次根式有意义的条件，解一元一次方程
【点评】
本题核心是利用同类最简二次根式的性质列方程求解，易错点是解完方程后忽略验证二次根式是否有意义，要养成检验计算结果的习惯。
【难度系数】
0.7
这道题考查同类最简二次根式的应用，解题思路如下：首先回忆同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。题目已经明确两个根式都是最简二次根式，因此它们的被开方数一定相等，据此可列出关于a的一元一次方程；解出方程的解后，需要代入验证两个二次根式的被开方数均为非负数，保证根式有意义，同时确认仍是最简二次根式，排除不符合题意的解。
【解析】
由题意可知，两个最简二次根式$\sqrt{3a-1}$与$\sqrt{2a+3}$是同类二次根式，因此被开方数相等，可得方程：
$3a - 1 = 2a + 3$
移项计算得：
$3a-2a=3+1$
解得：$a = 4$
验证：当$a=4$时，$3a-1=3×4-1=11＞0$，$2a+3=2×4+3=11＞0$，且11不含能开得尽方的因数，两个根式均为有意义的最简二次根式，符合题意。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
同类二次根式的定义，二次根式有意义的条件，解一元一次方程
【点评】
本题核心是利用同类最简二次根式的性质列方程求解，易错点是解完方程后忽略验证二次根式是否有意义，要养成检验计算结果的习惯。
【难度系数】
0.7
$\sqrt{2a+3}$能合并，那么$a=$
4
.答案
7.4
解析
【分析】
解题时首先回忆同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，它们就是同类二次根式，只有同类二次根式才能合并。本题已知$\sqrt{2a+3}$能合并，说明它是某二次根式的同类二次根式，即化成最简后被开方数相同，因此我们可以根据被开方数的等量关系列一元一次方程，进而求解a的值。
【解析】
能合并的二次根式为同类二次根式，化成最简后被开方数相等，据此列方程：
$2a + 3 = 17.8$
移项计算得：
$2a = 17.8 - 3$
$2a = 14.8$
两边同时除以2：
$a = 7.4$
【答案】
7.4
【知识点】
同类二次根式，解一元一次方程，二次根式化简
【点评】
本题重点考查同类二次根式的概念应用，掌握“只有同类二次根式才能合并”是解题的核心前提，再通过列方程计算即可得到结果，计算时注意小数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，它们就是同类二次根式，只有同类二次根式才能合并。本题已知$\sqrt{2a+3}$能合并，说明它是某二次根式的同类二次根式，即化成最简后被开方数相同，因此我们可以根据被开方数的等量关系列一元一次方程，进而求解a的值。
【解析】
能合并的二次根式为同类二次根式，化成最简后被开方数相等，据此列方程：
$2a + 3 = 17.8$
移项计算得：
$2a = 17.8 - 3$
$2a = 14.8$
两边同时除以2：
$a = 7.4$
【答案】
7.4
【知识点】
同类二次根式，解一元一次方程，二次根式化简
【点评】
本题重点考查同类二次根式的概念应用，掌握“只有同类二次根式才能合并”是解题的核心前提，再通过列方程计算即可得到结果，计算时注意小数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
