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8. 如果 $ a = 2 + \sqrt{3} $，$ b = \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} $，那么 $ a $ 和 $ b $ 的数量关系是 ______。
答案
8.$a=b$
解析
【分析】
要判断a和b的数量关系，已知a已经是最简形式，b是分母含二次根式的分式，因此首先需要对b做分母有理化处理，利用平方差公式去掉分母中的根号，再将化简后的结果和a对比，即可得到二者的数量关系。
【解析】
对b进行分母有理化，给分子、分母同时乘分母的有理化因式$2+\sqrt{3}$：
$\begin{aligned}b&=\frac{1}{2-\sqrt{3}}\\&=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}\\&=2+\sqrt{3}\end{aligned}$
已知$a=2+\sqrt{3}$，因此可得$a=b$。
【答案】
$a=b$
【知识点】
分母有理化、平方差公式、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握分母有理化的操作方法，完成分式化简后对比两个数的大小即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断a和b的数量关系，已知a已经是最简形式，b是分母含二次根式的分式，因此首先需要对b做分母有理化处理，利用平方差公式去掉分母中的根号，再将化简后的结果和a对比，即可得到二者的数量关系。
【解析】
对b进行分母有理化，给分子、分母同时乘分母的有理化因式$2+\sqrt{3}$：
$\begin{aligned}b&=\frac{1}{2-\sqrt{3}}\\&=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}\\&=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}\\&=2+\sqrt{3}\end{aligned}$
已知$a=2+\sqrt{3}$，因此可得$a=b$。
【答案】
$a=b$
【知识点】
分母有理化、平方差公式、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握分母有理化的操作方法，完成分式化简后对比两个数的大小即可得出结论。
【难度系数】
0.8
9. 如图19-4,从一个大正方形中裁去面积为$30\ \mathrm{cm}^2$和$48\ \mathrm{cm}^2$的两个小正方形,则余下部分的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.
答案
9.$24\sqrt{10}$
解析
【分析】
观察图形可知，大正方形由两个面积分别为$30\ \mathrm{cm}^2$、$48\ \mathrm{cm}^2$的小正方形和两个完全相同的阴影长方形组成。要求余下阴影部分的面积，首先根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，阴影长方形的长和宽恰好分别是两个小正方形的边长，算出单个长方形的面积后乘2，即可得到余下部分的总面积。
【解析】
解：设面积为$30\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$a$，面积为$48\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$b$。
根据正方形面积公式可得：
$a^2=30$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$；
$b^2=48$，所以$b=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
观察图形可知，余下的两个阴影长方形的长为$b$、宽为$a$，且两个长方形面积相等。
单个长方形面积为$a× b=\sqrt{30}×\sqrt{48}$，因此余下部分总面积为：
$\begin{aligned}2× a× b&=2×\sqrt{30}×\sqrt{48}\\&=2×\sqrt{30×48}\\&=2×\sqrt{1440}\\&=2×\sqrt{144×10}\\&=2×12\sqrt{10}\\&=24\sqrt{10}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$24\sqrt{10}$
【知识点】
正方形面积计算，二次根式运算，长方形面积计算
【点评】
本题将几何图形面积求解与二次根式运算结合，解题的关键是准确判断阴影部分长方形的长、宽和已知小正方形边长的关系，计算时遵循二次根式的化简规则即可。
【难度系数】
0.6
观察图形可知，大正方形由两个面积分别为$30\ \mathrm{cm}^2$、$48\ \mathrm{cm}^2$的小正方形和两个完全相同的阴影长方形组成。要求余下阴影部分的面积，首先根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，阴影长方形的长和宽恰好分别是两个小正方形的边长，算出单个长方形的面积后乘2，即可得到余下部分的总面积。
【解析】
解：设面积为$30\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$a$，面积为$48\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$b$。
根据正方形面积公式可得：
$a^2=30$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$；
$b^2=48$，所以$b=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
观察图形可知，余下的两个阴影长方形的长为$b$、宽为$a$，且两个长方形面积相等。
单个长方形面积为$a× b=\sqrt{30}×\sqrt{48}$，因此余下部分总面积为：
$\begin{aligned}2× a× b&=2×\sqrt{30}×\sqrt{48}\\&=2×\sqrt{30×48}\\&=2×\sqrt{1440}\\&=2×\sqrt{144×10}\\&=2×12\sqrt{10}\\&=24\sqrt{10}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$24\sqrt{10}$
【知识点】
正方形面积计算，二次根式运算，长方形面积计算
【点评】
本题将几何图形面积求解与二次根式运算结合，解题的关键是准确判断阴影部分长方形的长、宽和已知小正方形边长的关系，计算时遵循二次根式的化简规则即可。
【难度系数】
0.6
10. 已知实数 $ a $ 满足 $ |2049 - a| + \sqrt{a - 2050} = a $，那么 $ a - 2049^2 $ 的值是 ______。
答案
10.2050 提示:由二次根式有意义的条件,可知$a-2050≥0,\therefore\ \ a≥2050.\therefore\ \ 2049-a＜0.$$\therefore\ \ |2049-a|+\sqrt{a-2050}=a-2049+\sqrt{a-2050}=a.$$\therefore\ \ a=2050+2049^2.\therefore\ \ a-2049^2=2050.$
解析
【分析】
解决本题首先要抓住两个核心考点的限制条件：一是二次根式的被开方数必须为非负数，二是负数的绝对值等于它的相反数。我们可以先从二次根式有意义的条件入手，先求出a的取值范围，再根据a的范围化简绝对值，最后对原式变形就能直接求出目标代数式的值，不需要计算a的具体数值，用整体代换的思路更简便。
【解析】
1. 由二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$a-2050≥0$，解得 $a≥2050$。
2. 因为$a≥2050$，所以$2049-a＜0$，根据绝对值的性质去绝对值符号：
$|2049-a|=a-2049$。
3. 将化简后的绝对值代入原等式：
$a-2049+\sqrt{a-2050}=a$
两边同时减去a，整理得：
$\sqrt{a-2050}=2049$
4. 等式两边同时平方消去根号：
$a-2050=2049^2$
移项即可得到：
$a-2049^2=2050$
【答案】
2050
【知识点】
二次根式有意义的条件、绝对值的性质、代数式求值
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的典型题型，解题的突破口是先通过二次根式的隐含限制确定参数的取值范围，再去绝对值化简等式，最后利用整体代换思想直接求出结果，避免了复杂的数值计算。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要抓住两个核心考点的限制条件：一是二次根式的被开方数必须为非负数，二是负数的绝对值等于它的相反数。我们可以先从二次根式有意义的条件入手，先求出a的取值范围，再根据a的范围化简绝对值，最后对原式变形就能直接求出目标代数式的值，不需要计算a的具体数值，用整体代换的思路更简便。
【解析】
1. 由二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$a-2050≥0$，解得 $a≥2050$。
2. 因为$a≥2050$，所以$2049-a＜0$，根据绝对值的性质去绝对值符号：
$|2049-a|=a-2049$。
3. 将化简后的绝对值代入原等式：
$a-2049+\sqrt{a-2050}=a$
两边同时减去a，整理得：
$\sqrt{a-2050}=2049$
4. 等式两边同时平方消去根号：
$a-2050=2049^2$
移项即可得到：
$a-2049^2=2050$
【答案】
2050
【知识点】
二次根式有意义的条件、绝对值的性质、代数式求值
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的典型题型，解题的突破口是先通过二次根式的隐含限制确定参数的取值范围，再去绝对值化简等式，最后利用整体代换思想直接求出结果，避免了复杂的数值计算。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 计算：
(1)$(2\sqrt{5}-\sqrt{2})^{0}+|2-\sqrt{5}|+(-1)^{2025}-\dfrac{1}{3}×\sqrt{45}$；
(2)$(\sqrt{3}-2)^{2}+\sqrt{12}+6\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(3)$(\dfrac{1}{\sqrt{6}})^{-2}+\sqrt{20}÷\sqrt{5}$.
11. 计算：
(1)$(2\sqrt{5}-\sqrt{2})^{0}+|2-\sqrt{5}|+(-1)^{2025}-\dfrac{1}{3}×\sqrt{45}$；
(2)$(\sqrt{3}-2)^{2}+\sqrt{12}+6\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(3)$(\dfrac{1}{\sqrt{6}})^{-2}+\sqrt{20}÷\sqrt{5}$.
答案
11.(1)原式$=1+\sqrt{5}-2-1-\sqrt{5}=-2.$
(2)原式$=3+4-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+6×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=3+4-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=7.$
(3)原式$=6+\sqrt{4}=6+2=8.$
(2)原式$=3+4-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+6×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=3+4-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=7.$
(3)原式$=6+\sqrt{4}=6+2=8.$
解析
【分析】
本题是实数与二次根式的混合运算题，解题时需遵循“先乘方、开方，再乘除，最后加减”的运算顺序，结合对应运算法则逐步计算即可：
(1) 先分别计算零指数幂、去绝对值、有理数乘方、二次根式化简，再合并同类项即可，注意非零数的0次幂为1，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，负数的奇数次幂为负数；
(2) 先利用完全平方公式计算乘方，再化简各个二次根式，最后合并同类二次根式即可；
(3) 先计算负整数指数幂、二次根式的除法，再做加法运算即可，注意负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$。
【解析】
(1) 分别计算各项：
非零数的0次幂：$(2\sqrt{5}-\sqrt{2})^0=1$；
去绝对值：因为$\sqrt{5}＞2$，所以$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$；
有理数乘方：$(-1)^{2025}=-1$；
二次根式乘法：$\frac{1}{3}×\sqrt{45}=\frac{1}{3}×3\sqrt{5}=\sqrt{5}$；
代入原式得：$1+(\sqrt{5}-2)+(-1)-\sqrt{5}=1+\sqrt{5}-2-1-\sqrt{5}=-2$。
(2) 分别计算各项：
完全平方展开：$(\sqrt{3}-2)^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×2+2^2=3-4\sqrt{3}+4$；
二次根式化简：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$6\sqrt{\frac{1}{3}}=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$；
代入原式得：$3-4\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3+4+(-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{3})=7$。
(3) 分别计算各项：
负整数指数幂：$(\frac{1}{\sqrt{6}})^{-2}=(\sqrt{6})^2=6$；
二次根式除法：$\sqrt{20}÷\sqrt{5}=\sqrt{20÷5}=\sqrt{4}=2$；
代入原式得：$6+2=8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{7}$；(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次根式的混合运算；零（负）整数指数幂运算；绝对值的化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查各类运算法则的掌握情况，解题时需注意运算顺序，同时要细心处理符号问题和二次根式的化简，熟练掌握这类运算能为后续代数学习打下扎实的基础。
【难度系数】
0.75
本题是实数与二次根式的混合运算题，解题时需遵循“先乘方、开方，再乘除，最后加减”的运算顺序，结合对应运算法则逐步计算即可：
(1) 先分别计算零指数幂、去绝对值、有理数乘方、二次根式化简，再合并同类项即可，注意非零数的0次幂为1，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，负数的奇数次幂为负数；
(2) 先利用完全平方公式计算乘方，再化简各个二次根式，最后合并同类二次根式即可；
(3) 先计算负整数指数幂、二次根式的除法，再做加法运算即可，注意负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$。
【解析】
(1) 分别计算各项：
非零数的0次幂：$(2\sqrt{5}-\sqrt{2})^0=1$；
去绝对值：因为$\sqrt{5}＞2$，所以$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$；
有理数乘方：$(-1)^{2025}=-1$；
二次根式乘法：$\frac{1}{3}×\sqrt{45}=\frac{1}{3}×3\sqrt{5}=\sqrt{5}$；
代入原式得：$1+(\sqrt{5}-2)+(-1)-\sqrt{5}=1+\sqrt{5}-2-1-\sqrt{5}=-2$。
(2) 分别计算各项：
完全平方展开：$(\sqrt{3}-2)^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×2+2^2=3-4\sqrt{3}+4$；
二次根式化简：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$6\sqrt{\frac{1}{3}}=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$；
代入原式得：$3-4\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3+4+(-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{3})=7$。
(3) 分别计算各项：
负整数指数幂：$(\frac{1}{\sqrt{6}})^{-2}=(\sqrt{6})^2=6$；
二次根式除法：$\sqrt{20}÷\sqrt{5}=\sqrt{20÷5}=\sqrt{4}=2$；
代入原式得：$6+2=8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{7}$；(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次根式的混合运算；零（负）整数指数幂运算；绝对值的化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查各类运算法则的掌握情况，解题时需注意运算顺序，同时要细心处理符号问题和二次根式的化简，熟练掌握这类运算能为后续代数学习打下扎实的基础。
【难度系数】
0.75
12. 先化简, 再求值: $\dfrac{a^2 - b^2}{a^2b - ab^2} ÷ (1 + \dfrac{a^2 + b^2}{2ab})$, 其中 $a = \sqrt{3} - \sqrt{11}$, $b = \sqrt{3} + \sqrt{11}$.
答案
12.原式$\dfrac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)}·\dfrac{2ab}{(a+b)^2}=\dfrac{2}{a+b}.$当$a=\sqrt{3}-\sqrt{11},b=\sqrt{3}+\sqrt{11}$时,原式$=\dfrac{2}{(\sqrt{3}-\sqrt{11})+(\sqrt{3}+\sqrt{11})}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则解题，可避免直接代入复杂的a、b值导致计算量过大。解题思路如下：第一步先对第一个分式的分子、分母因式分解，分子用平方差公式，分母提取公因式；第二步计算括号内的分式加法，将1通分为分母是2ab的分式，合并后分子可整理为完全平方形式；第三步将除法运算转化为乘法运算，通过约分化为最简分式；最后代入a、b的值计算，注意a+b中互为相反数的项可抵消，能进一步简化计算。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{a^2 - b^2}{a^2b - ab^2} ÷ (1 + \frac{a^2 + b^2}{2ab})\\=&\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)} ÷ (\frac{2ab}{2ab} + \frac{a^2 + b^2}{2ab})\\=&\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)} ÷ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2ab}\\=&\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)} · \frac{2ab}{(a+b)^2}\\=&\frac{2}{a+b}\end{aligned}$
再代入$a = \sqrt{3} - \sqrt{11}$，$b = \sqrt{3} + \sqrt{11}$：
$a+b = (\sqrt{3} - \sqrt{11}) + (\sqrt{3} + \sqrt{11}) = 2\sqrt{3}$
$\mathrm{原式} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，二次根式运算
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心考查因式分解在分式约分中的应用，以及二次根式的加减运算，优先化简再代入求值可大幅降低计算难度，减少计算错误，需注意约分的前提是约去的因式不为0。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则解题，可避免直接代入复杂的a、b值导致计算量过大。解题思路如下：第一步先对第一个分式的分子、分母因式分解，分子用平方差公式，分母提取公因式；第二步计算括号内的分式加法，将1通分为分母是2ab的分式，合并后分子可整理为完全平方形式；第三步将除法运算转化为乘法运算，通过约分化为最简分式；最后代入a、b的值计算，注意a+b中互为相反数的项可抵消，能进一步简化计算。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{a^2 - b^2}{a^2b - ab^2} ÷ (1 + \frac{a^2 + b^2}{2ab})\\=&\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)} ÷ (\frac{2ab}{2ab} + \frac{a^2 + b^2}{2ab})\\=&\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)} ÷ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2ab}\\=&\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)} · \frac{2ab}{(a+b)^2}\\=&\frac{2}{a+b}\end{aligned}$
再代入$a = \sqrt{3} - \sqrt{11}$，$b = \sqrt{3} + \sqrt{11}$：
$a+b = (\sqrt{3} - \sqrt{11}) + (\sqrt{3} + \sqrt{11}) = 2\sqrt{3}$
$\mathrm{原式} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，二次根式运算
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心考查因式分解在分式约分中的应用，以及二次根式的加减运算，优先化简再代入求值可大幅降低计算难度，减少计算错误，需注意约分的前提是约去的因式不为0。
【难度系数】
0.7
