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13. $\sqrt{a}$的双重非负性是指被开方数$a≥0$,其化简的结果$\sqrt{a}≥0$. 请利用$\sqrt{a}$的双重非负性解决以下问题:
(1)已知$\sqrt{a+6}+\sqrt{b^2-2b-3}=0$,求$b^2-2b+2a$的值;
(2)若$a,b$为实数,且$a^2=\sqrt{b-1}+\sqrt{1-b}+4$,求$a+b$的值;
(3)已知实数$a,b$满足$|2a-4|+|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}+4=2a$,求$a+b$的值.
(1)已知$\sqrt{a+6}+\sqrt{b^2-2b-3}=0$,求$b^2-2b+2a$的值;
(2)若$a,b$为实数,且$a^2=\sqrt{b-1}+\sqrt{1-b}+4$,求$a+b$的值;
(3)已知实数$a,b$满足$|2a-4|+|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}+4=2a$,求$a+b$的值.
答案
13.(1)由题意,得$a+6=0,b^2-2b-3=0,$$\therefore\ \ a=-6,b^2-2b=3.$$\therefore\ \ b^2-2b+2a=3+(-12)=-9.$
(2)由题意,得$b-1≥0,1-b≥0.$解得$b=1.$$\therefore\ \ a^2=4,$解得$a=±2.$$\therefore\ \ a+b=3$或$a+b=-1.$
(3)$\because\ \ |2a-4|+|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}+4=2a,$$\therefore\ \ (a-3)b^2≥0,$解得$a≥3.$原式变形为$2a-4+|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}=2a-4.$$\therefore\ \ |b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}=0.$则$b+2=0,a-3=0.$解得$b=-2,a=3,$则$a+b=1.$
(2)由题意,得$b-1≥0,1-b≥0.$解得$b=1.$$\therefore\ \ a^2=4,$解得$a=±2.$$\therefore\ \ a+b=3$或$a+b=-1.$
(3)$\because\ \ |2a-4|+|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}+4=2a,$$\therefore\ \ (a-3)b^2≥0,$解得$a≥3.$原式变形为$2a-4+|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}=2a-4.$$\therefore\ \ |b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}=0.$则$b+2=0,a-3=0.$解得$b=-2,a=3,$则$a+b=1.$
解析
【分析】
本题围绕算术平方根的双重非负性设计，解题思路清晰：
(1) 两个非负的算术平方根相加和为0，说明每个算术平方根的被开方数都为0，可直接求出a的值和$b^2-2b$的值，整体代入计算即可；
(2) 先根据被开方数非负的要求，确定$b-1$和$1-b$的取值范围，解出b的值，再代入求a的取值，最后计算$a+b$；
(3) 先根据被开方数非负推出a的取值范围，据此化简绝对值，整理原式后得到两个非负数相加和为0，进而求出a、b的值，计算$a+b$即可。
【解析】
(1) 由题意得，$\sqrt{a+6}≥0$，$\sqrt{b^2-2b-3}≥0$，且二者和为0，因此：
$a+6=0$，$b^2-2b-3=0$
解得$a=-6$，$b^2-2b=3$
代入$b^2-2b+2a$得：$3+2×(-6)=-9$
(2) 要使$\sqrt{b-1}$和$\sqrt{1-b}$有意义，需满足：
$\begin{cases}b-1≥0 \\1-b≥0\end{cases}$
解得$b=1$
代入原式得$a^2=4$，即$a=±2$
当$a=2$时，$a+b=2+1=3$；当$a=-2$时，$a+b=-2+1=-1$
(3) 由$\sqrt{(a-3)b^2}$有意义得$(a-3)b^2≥0$，又$b^2≥0$，因此$a≥3$
则$2a-4＞0$，$|2a-4|=2a-4$，原式可变形为：
$2a-4+|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}+4=2a$
化简得$|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}=0$
由非负数性质得$b+2=0$，$a-3=0$
解得$b=-2$，$a=3$，因此$a+b=3+(-2)=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{-1}$；(3) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
算术平方根的双重非负性，非负数的性质，绝对值化简
【点评】
本题核心考查算术平方根双重非负性的应用，解题时要先根据被开方数非负确定未知量的取值范围，再结合“若干个非负数和为0，则每个非负数均为0”的性质求解，注意不要漏解如第二问a的两个取值。
【难度系数】
0.7
本题围绕算术平方根的双重非负性设计，解题思路清晰：
(1) 两个非负的算术平方根相加和为0，说明每个算术平方根的被开方数都为0，可直接求出a的值和$b^2-2b$的值，整体代入计算即可；
(2) 先根据被开方数非负的要求，确定$b-1$和$1-b$的取值范围，解出b的值，再代入求a的取值，最后计算$a+b$；
(3) 先根据被开方数非负推出a的取值范围，据此化简绝对值，整理原式后得到两个非负数相加和为0，进而求出a、b的值，计算$a+b$即可。
【解析】
(1) 由题意得，$\sqrt{a+6}≥0$，$\sqrt{b^2-2b-3}≥0$，且二者和为0，因此：
$a+6=0$，$b^2-2b-3=0$
解得$a=-6$，$b^2-2b=3$
代入$b^2-2b+2a$得：$3+2×(-6)=-9$
(2) 要使$\sqrt{b-1}$和$\sqrt{1-b}$有意义，需满足：
$\begin{cases}b-1≥0 \\1-b≥0\end{cases}$
解得$b=1$
代入原式得$a^2=4$，即$a=±2$
当$a=2$时，$a+b=2+1=3$；当$a=-2$时，$a+b=-2+1=-1$
(3) 由$\sqrt{(a-3)b^2}$有意义得$(a-3)b^2≥0$，又$b^2≥0$，因此$a≥3$
则$2a-4＞0$，$|2a-4|=2a-4$，原式可变形为：
$2a-4+|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}+4=2a$
化简得$|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}=0$
由非负数性质得$b+2=0$，$a-3=0$
解得$b=-2$，$a=3$，因此$a+b=3+(-2)=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{-1}$；(3) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
算术平方根的双重非负性，非负数的性质，绝对值化简
【点评】
本题核心考查算术平方根双重非负性的应用，解题时要先根据被开方数非负确定未知量的取值范围，再结合“若干个非负数和为0，则每个非负数均为0”的性质求解，注意不要漏解如第二问a的两个取值。
【难度系数】
0.7
蚂蚁和大象一样重
相信你一定见过蚂蚁和大象,它们的体形相差巨大,但如果有人说它们的体重“一样”,你会相信吗?
我知道你肯定不相信,那么让我们利用数学来推导一下这个看似荒谬的结论.
假设蚂蚁的体重为 $ x $ 克,大象的体重为 $ y $ 克,它们两个的体重和为 $ 2a $ 克,即 $ x + y = 2a $.
两边同时乘 $ (x - y) $,
得 $ (x + y)(x - y) = 2a(x - y) $,
即 $ x^2 - y^2 = 2ax - 2ay $,
可以变形为 $ x^2 - 2ax = y^2 - 2ay $.
两边同时加上 $ a^2 $,得 $ x^2 - 2ax + a^2 = y^2 - 2ay + a^2 $,
即 $ (x - a)^2 = (y - a)^2 $.
于是 $ \sqrt{(x - a)^2} = \sqrt{(y - a)^2} $,
得 $ x - a = y - a $.
所以 $ x = y $.
所以“大象和蚂蚁的体重相同”.
这个答案实在是太荒唐了,那么问题到底出在哪里呢?请同学们想一想.
相信你一定见过蚂蚁和大象,它们的体形相差巨大,但如果有人说它们的体重“一样”,你会相信吗?
我知道你肯定不相信,那么让我们利用数学来推导一下这个看似荒谬的结论.
假设蚂蚁的体重为 $ x $ 克,大象的体重为 $ y $ 克,它们两个的体重和为 $ 2a $ 克,即 $ x + y = 2a $.
两边同时乘 $ (x - y) $,
得 $ (x + y)(x - y) = 2a(x - y) $,
即 $ x^2 - y^2 = 2ax - 2ay $,
可以变形为 $ x^2 - 2ax = y^2 - 2ay $.
两边同时加上 $ a^2 $,得 $ x^2 - 2ax + a^2 = y^2 - 2ay + a^2 $,
即 $ (x - a)^2 = (y - a)^2 $.
于是 $ \sqrt{(x - a)^2} = \sqrt{(y - a)^2} $,
得 $ x - a = y - a $.
所以 $ x = y $.
所以“大象和蚂蚁的体重相同”.
这个答案实在是太荒唐了,那么问题到底出在哪里呢?请同学们想一想.
答案
解：
该推导的错误出现在开平方的步骤：
根据二次根式的性质，$\sqrt{A^2}=|A|$，因此由$(x-a)^2=(y-a)^2$两边开平方，正确结果应为：
$|x - a| = |y - a|$
由题设$x+y=2a$，可得$a = \frac{x+y}{2}$。
因为蚂蚁体重$x ＜ a$，所以$x - a ＜ 0$；大象体重$y ＞ a$，所以$y - a ＞ 0$。
去掉绝对值符号后得：
$a - x = y - a$
整理后得$x + y = 2a$，与已知条件一致，无法推出$x=y$。
原推导错误地直接将$\sqrt{(x-a)^2}$等同于$x-a$、$\sqrt{(y-a)^2}$等同于$y-a$，忽略了算术平方根的非负性要求，因此得到了错误的结论。
该推导的错误出现在开平方的步骤：
根据二次根式的性质，$\sqrt{A^2}=|A|$，因此由$(x-a)^2=(y-a)^2$两边开平方，正确结果应为：
$|x - a| = |y - a|$
由题设$x+y=2a$，可得$a = \frac{x+y}{2}$。
因为蚂蚁体重$x ＜ a$，所以$x - a ＜ 0$；大象体重$y ＞ a$，所以$y - a ＞ 0$。
去掉绝对值符号后得：
$a - x = y - a$
整理后得$x + y = 2a$，与已知条件一致，无法推出$x=y$。
原推导错误地直接将$\sqrt{(x-a)^2}$等同于$x-a$、$\sqrt{(y-a)^2}$等同于$y-a$，忽略了算术平方根的非负性要求，因此得到了错误的结论。
解析
【分析】
这是一道查找推导错误的数学辨析题，我们可以按顺序检查每一步变形是否符合数学规则：
1. 首先看从$x+y=2a$到推出$(x-a)^2=(y-a)^2$的过程：两边同乘$(x-y)$、平方差公式展开、移项、两边加$a^2$配方，这些步骤都符合等式性质和代数运算规则，没有错误。
2. 接下来的开平方步骤是关键易错点，我们需要回忆二次根式的核心性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，也就是$\sqrt{A^2}=|A|$，而非直接等于$A$，原推导这里直接去掉根号得到$x-a=y-a$，明显违背了该性质。
3. 最后结合实际体重关系判断$x-a$和$y-a$的正负，去绝对值后就能验证原推导的错误。
【解析】
该推导的错误出现在开平方的步骤：
根据二次根式的性质，$\sqrt{A^2}=|A|$，因此由$(x-a)^2=(y-a)^2$两边开平方，正确结果应为：
$|x - a| = |y - a|$
由题设$x+y=2a$，可得$a = \frac{x+y}{2}$，即a是蚂蚁和大象的平均体重。
因为蚂蚁体重远小于大象体重，所以$x ＜ a$，因此$x - a ＜ 0$；大象体重$y ＞ a$，因此$y - a ＞ 0$。
去掉绝对值符号后得：
$a - x = y - a$
整理后得$x + y = 2a$，与已知条件一致，无法推出$x=y$。
原推导错误地直接将$\sqrt{(x-a)^2}$等同于$x-a$、$\sqrt{(y-a)^2}$等同于$y-a$，忽略了算术平方根的非负性要求，因此得到了错误的结论。
【答案】
推导错误出在开平方步骤，忽略了$\sqrt{A^2}=|A|$的性质，正确开平方应得$|x-a|=|y-a|$，结合蚂蚁体重小于平均体重$a$、大象体重大于平均体重$a$，去绝对值后仅能得到原已知条件$x+y=2a$，无法推出$x=y$，原“大象和蚂蚁体重相同”的结论不成立。
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，等式变形
【点评】
本题通过一个看似荒谬的推导，考查对代数变形规则的掌握程度，提醒我们在进行开平方运算时，要牢记算术平方根的非负性，不能忽略绝对值符号的处理，避免因规则掌握不牢得到错误结论。
【难度系数】
0.6
这是一道查找推导错误的数学辨析题，我们可以按顺序检查每一步变形是否符合数学规则：
1. 首先看从$x+y=2a$到推出$(x-a)^2=(y-a)^2$的过程：两边同乘$(x-y)$、平方差公式展开、移项、两边加$a^2$配方，这些步骤都符合等式性质和代数运算规则，没有错误。
2. 接下来的开平方步骤是关键易错点，我们需要回忆二次根式的核心性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，也就是$\sqrt{A^2}=|A|$，而非直接等于$A$，原推导这里直接去掉根号得到$x-a=y-a$，明显违背了该性质。
3. 最后结合实际体重关系判断$x-a$和$y-a$的正负，去绝对值后就能验证原推导的错误。
【解析】
该推导的错误出现在开平方的步骤：
根据二次根式的性质，$\sqrt{A^2}=|A|$，因此由$(x-a)^2=(y-a)^2$两边开平方，正确结果应为：
$|x - a| = |y - a|$
由题设$x+y=2a$，可得$a = \frac{x+y}{2}$，即a是蚂蚁和大象的平均体重。
因为蚂蚁体重远小于大象体重，所以$x ＜ a$，因此$x - a ＜ 0$；大象体重$y ＞ a$，因此$y - a ＞ 0$。
去掉绝对值符号后得：
$a - x = y - a$
整理后得$x + y = 2a$，与已知条件一致，无法推出$x=y$。
原推导错误地直接将$\sqrt{(x-a)^2}$等同于$x-a$、$\sqrt{(y-a)^2}$等同于$y-a$，忽略了算术平方根的非负性要求，因此得到了错误的结论。
【答案】
推导错误出在开平方步骤，忽略了$\sqrt{A^2}=|A|$的性质，正确开平方应得$|x-a|=|y-a|$，结合蚂蚁体重小于平均体重$a$、大象体重大于平均体重$a$，去绝对值后仅能得到原已知条件$x+y=2a$，无法推出$x=y$，原“大象和蚂蚁体重相同”的结论不成立。
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，等式变形
【点评】
本题通过一个看似荒谬的推导，考查对代数变形规则的掌握程度，提醒我们在进行开平方运算时，要牢记算术平方根的非负性，不能忽略绝对值符号的处理，避免因规则掌握不牢得到错误结论。
【难度系数】
0.6
