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1.(全国乙卷)设全集$U=\{0,1,2,4,6,8\}$,集合$M=\{0,4,6\},N=\{0,1,6\}$,则$M\cup (\complement_U N)=$（
A.$\{0,2,4,6,8\}$
B.$\{0,1,4,6,8\}$
C.$\{1,2,4,6,8\}$
D.$U$
A
）A.$\{0,2,4,6,8\}$
B.$\{0,1,4,6,8\}$
C.$\{1,2,4,6,8\}$
D.$U$
答案
1.A 由题意可得,∁_U N={2,4,8},则M∪(∁_U N)={0,2,4,6,8}.
2.(全国甲卷)设全集$U=\mathbb{Z}$,集合$M=\{x|x=3k+1,k\in\mathbb{Z}\},N=\{x|x=3k+2,k\in\mathbb{Z}\}$,则$\complement_U(M\cup N)=$（
A.$\{x|x=3k,k\in\mathbb{Z}\}$
B.$\{x|x=3k-1,k\in\mathbb{Z}\}$
C.$\{x|x=3k-2,k\in\mathbb{Z}\}$
D.$∅$
A
）A.$\{x|x=3k,k\in\mathbb{Z}\}$
B.$\{x|x=3k-1,k\in\mathbb{Z}\}$
C.$\{x|x=3k-2,k\in\mathbb{Z}\}$
D.$∅$
答案
2.A 因为整数集Z={x|x=3k,k∈Z}∪{x|x=3k+1,k∈Z}∪{x|x=3k+2,k∈Z},U=Z,所以∁_U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.
3.(一题多解)设集合$U=\mathbf{R},M=\{x|x＜1\},N=\{x|-1＜x＜2\}$,则$\{x|x＞-1\}=$（
A.$\complement_U(M\cup N)$
B.$N\cup(\complement_U M)$
C.$\complement_U(M∩ N)$
D.$M\cup(\complement_U N)$
B
）A.$\complement_U(M\cup N)$
B.$N\cup(\complement_U M)$
C.$\complement_U(M∩ N)$
D.$M\cup(\complement_U N)$
答案
3.B 方法1:在数轴上表示出集合M,N,如图所示.
由图可知,∁_U(M∪N)={x|x≥2},N∪(∁_U M)={x|x＞-1},∁_U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},M∪(∁_U N)={x|x＜1或x≥2}.方法2:因为M={x|x＜1},N={x|-1＜x＜2},所以M∪N={x|x＜2},M∩N={x|-1＜x＜1},所以∁_U(M∪N)={x|x≥2},∁_U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},∁_U M={x|x≥1},∁_U N={x|x≤-1或x≥2},所以N∪(∁_U M)={x|x＞-1},M∪(∁_U N)={x|x＜1或x≥2}.
4.(多选)已知集合$U$为全集，集合$M,N$是$U$的子集，且满足$(\complement_U M)∩ N=∅$，则 （
A.$M∩ N=N$
B.$M\cup N=N$
C.$M∩ (\complement_U N)=∅$
D.$M\cup (\complement_U N)=U$
AD
）A.$M∩ N=N$
B.$M\cup N=N$
C.$M∩ (\complement_U N)=∅$
D.$M\cup (\complement_U N)=U$
答案
4.AD 由题意,作出如图所示的Venn图.
由(∁_U M)∩N=∅,知∁_U M,N没有共同元素,所以N⊆M,所以M∩N=N,故A正确;易得M∪N=M,仅当M=N时,才有M∪N=N成立,故B错误;由图可知,仅当M=N时,才有M∩(∁_U N)=∅成立,故C错误;由图可知,M∪(∁_U N)=U,故D正确.5.已知全集$U=\mathbf{R}$，集合$A=\{x∣ -1≤ x≤ 4\}$，$B=\{x∣ x＜-2\mathrm{或}x＞5\}$。
(1)求$\complement_U B$，$\complement_U A$；
(2)求$(\complement_U A)∩(\complement_U B)$。
(1)求$\complement_U B$，$\complement_U A$；
(2)求$(\complement_U A)∩(\complement_U B)$。
答案
5.解:(1)因为U=R,B={x|x＜-2或x＞5},所以∁_U B={x|-2≤x≤5}.因为A={x|-1≤x≤4},所以∁_U A={x|x＜-1或x＞4}.
(2)由(1),知∁_U B={x|-2≤x≤5},∁_U A={x|x＜-1或x＞4},所以(∁_U A)∩(∁_U B)={x|-2≤x＜-1或4＜x≤5}.
(2)由(1),知∁_U B={x|-2≤x≤5},∁_U A={x|x＜-1或x＞4},所以(∁_U A)∩(∁_U B)={x|-2≤x＜-1或4＜x≤5}.
6.已知$A=\{x|x^2+px-6=0\}, B=\{x|x^2+qx+2=0\}$, 且$A∩ (\complement_{\mathbb{R}}B)=\{2\}$, 则$p+q$的值为（
A.4
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{14}{3}$
D.5
C
）A.4
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{14}{3}$
D.5
答案
6.C 因为A∩(∁_R B)={2},所以2∈A,所以4+2p-6=0,解得p=1.当p=1时,得x²+x-6=0,解得x=2或x=-3,所以-3∈B,所以9-3q+2=0,解得q=11/3,所以p+q=1+11/3=14/3.
7.(教材改编题)(一题多解)设全集$U=\{x\in \mathbf{N}∣ x＜10\}$，若$A∩ (\complement_U B)=\{1,4,5\}$，$B∩ (\complement_U A)=\{6,8\}$，$(\complement_U A)\cup (\complement_U B)=\{1,2,4,5,6,7,8\}$，则$A=$
{0,1,3,4,5,9}
。答案
7.{0,1,3,4,5,9} 方法1:依题意,得全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},作出Venn图,如图所示.
由Venn图,知集合A={0,1,3,4,5,9}.方法2:因为(∁_U A)∪(∁_U B)=∁_U(A∩B)={1,2,4,5,6,7,8},所以A∩B={0,3,9}.又因为A∩(∁_U B)={1,4,5},所以A={0,1,3,4,5,9}.
8.已知集合$A=\{x∣ -2＜x＜7\}, B=\{x∣ a≤ x≤ 3a-2\}.$
(1)若$A∩ B=\{x∣ 4≤ x＜7\}$,求$a$的值;
(2)若$A\cup (\complement_{\mathbb{R}}B)=\mathbb{R}$,求实数$a$的取值范围.
(提示:(1)根据$A∩ B$列出含$a$的关系式并求值.(2)由集合$B$中含参数,想到先考虑$B=∅$时是否符合题意,再表示出$\complement_{\mathbb{R}}B$,根据$A\cup (\complement_{\mathbb{R}}B)=\mathbb{R}$,画数轴列不等式组求解)
(1)若$A∩ B=\{x∣ 4≤ x＜7\}$,求$a$的值;
(2)若$A\cup (\complement_{\mathbb{R}}B)=\mathbb{R}$,求实数$a$的取值范围.
(提示:(1)根据$A∩ B$列出含$a$的关系式并求值.(2)由集合$B$中含参数,想到先考虑$B=∅$时是否符合题意,再表示出$\complement_{\mathbb{R}}B$,根据$A\cup (\complement_{\mathbb{R}}B)=\mathbb{R}$,画数轴列不等式组求解)
答案
8.解:(1)由交集的定义,知a=4且3a-2≥7,解得a=4,所以a的值为4.
(2)当a＞3a-2,即a＜1时,B=∅,∁_R B=R,(需要考虑B=∅,此时∁_R B=R)符合题意;
当a=3a-2,即a=1时,B={1},∁_R B={x|x≠1},符合题意;
当a＜3a-2,即a＞1时,∁_R B={x|x＜a或x＞3a-2}.若A∪(∁_R B)=R,利用数轴表示如图所示.
则$\begin{cases}a＞1,\\a＞-2,\\3a-2＜7,\end{cases}$
(方程②③不取等.若a=-2或3a-2=7,则∁_R B中不含-2或7,不满足A∪(∁_R B)=R)
解得1＜a＜3.
综上,实数a的取值范围是{a|a＜3}.
