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1. 甲、乙、丙三人用牌面数字为“A,2,3”的三张扑克牌做游戏(牌的背面完全相同),将三张牌打乱顺序正面朝下放置,然后由甲、乙、丙三人依次从中抽出一张(不放回),且规定抽到“A”者获胜,下面对甲、乙、丙三人获胜概率的陈述正确的是（
A.甲先抽,甲获胜的概率最大
B.乙获胜的概率比甲大,比丙小
C.丙最后抽,丙获胜的概率最小
D.三人获胜的概率相同,与抽牌的顺序无关
D
）A.甲先抽,甲获胜的概率最大
B.乙获胜的概率比甲大,比丙小
C.丙最后抽,丙获胜的概率最小
D.三人获胜的概率相同,与抽牌的顺序无关
答案
1. D 解析:画树状图如下：
∵共有6种等可能的结果,甲、乙、丙获胜的情况都是2种,
∴P(甲胜)=P(乙胜)=P(丙胜)=$\frac{1}{3}$.故选D.
解析
【分析】要判断甲、乙、丙三人的获胜概率，需通过树状图列出所有等可能的抽牌结果，再分别统计三人抽到“A”（获胜）的结果数，计算各自的获胜概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的抽牌结果，其中甲获胜的结果有2种，乙获胜的结果有2种，丙获胜的结果有2种。
因此，甲获胜的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，乙获胜的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，丙获胜的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
即三人获胜的概率相同，与抽牌顺序无关。
【答案】D
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题考查用树状图法求等可能事件的概率，核心是准确列举所有等可能结果，统计符合条件的结果数，计算概率后比较。需注意：不放回抽取时，抽牌顺序不影响每个人获胜的概率，属于基础概率题，需熟练掌握树状图法的应用。
【难度系数】0.6
【解析】根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的抽牌结果，其中甲获胜的结果有2种，乙获胜的结果有2种，丙获胜的结果有2种。
因此，甲获胜的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，乙获胜的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，丙获胜的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
即三人获胜的概率相同，与抽牌顺序无关。
【答案】D
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题考查用树状图法求等可能事件的概率，核心是准确列举所有等可能结果，统计符合条件的结果数，计算概率后比较。需注意：不放回抽取时，抽牌顺序不影响每个人获胜的概率，属于基础概率题，需熟练掌握树状图法的应用。
【难度系数】0.6
2. (2025·吉林期末)某口袋中有10个球,其中白球$x$个,绿球$2x$个,其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球,若为绿球则甲获胜,甲摸出的球放回袋中,乙从袋中摸出一个球,若为黑球则乙获胜,要使游戏对甲、乙双方公平,则$x$应该是
2
.答案
2. 2 解析:由题意甲从袋中任意摸出一个球,若为绿球则获胜;甲摸出的球放回袋中,乙从袋中摸出一个球,若为黑球则获胜可知,黑球与绿球的个数应相等,也为$2x$个,列方程可得$x+2x+2x=10$,解得$x=2$.
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是明确游戏公平的条件：甲、乙双方获胜的概率相等。先根据总球数表示出黑球的数量，再分别推导甲、乙获胜的概率表达式，令两者相等建立方程，即可求解x的值。
【解析】
解：游戏对甲、乙双方公平，即甲获胜的概率等于乙获胜的概率。
已知总球数为10个，白球x个，绿球2x个，则黑球个数为：$10 - x - 2x = 10 - 3x$。
甲摸绿球获胜的概率：$P_{甲} = \frac{绿球个数}{总球数} = \frac{2x}{10}$；
乙摸黑球获胜的概率：$P_{乙} = \frac{黑球个数}{总球数} = \frac{10 - 3x}{10}$。
令$P_{甲} = P_{乙}$，则：
$\frac{2x}{10} = \frac{10 - 3x}{10}$
两边同乘10得：$2x = 10 - 3x$
移项合并同类项：$5x = 10$
解得：$x = 2$。
验证：当x=2时，绿球有4个，黑球有$10-2-4=4$个，双方获胜概率均为$\frac{4}{10}$，游戏公平，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
概率的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合游戏公平性考查概率的实际应用，关键是将公平条件转化为概率相等的关系，通过一元一次方程求解，属于基础题型，侧重对概率核心概念的理解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，核心是明确游戏公平的条件：甲、乙双方获胜的概率相等。先根据总球数表示出黑球的数量，再分别推导甲、乙获胜的概率表达式，令两者相等建立方程，即可求解x的值。
【解析】
解：游戏对甲、乙双方公平，即甲获胜的概率等于乙获胜的概率。
已知总球数为10个，白球x个，绿球2x个，则黑球个数为：$10 - x - 2x = 10 - 3x$。
甲摸绿球获胜的概率：$P_{甲} = \frac{绿球个数}{总球数} = \frac{2x}{10}$；
乙摸黑球获胜的概率：$P_{乙} = \frac{黑球个数}{总球数} = \frac{10 - 3x}{10}$。
令$P_{甲} = P_{乙}$，则：
$\frac{2x}{10} = \frac{10 - 3x}{10}$
两边同乘10得：$2x = 10 - 3x$
移项合并同类项：$5x = 10$
解得：$x = 2$。
验证：当x=2时，绿球有4个，黑球有$10-2-4=4$个，双方获胜概率均为$\frac{4}{10}$，游戏公平，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
概率的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合游戏公平性考查概率的实际应用，关键是将公平条件转化为概率相等的关系，通过一元一次方程求解，属于基础题型，侧重对概率核心概念的理解。
【难度系数】
0.7
3.(舟山中考)小明和小红玩抛硬币游戏,连续抛两次,小明说:"如果两次都是正面,那么你赢;如果两次是一正一反,那么我赢."小红赢的概率是
$\frac{1}{4}$
,据此判断该游戏不公平
.(填"公平"或"不公平")答案
3. $\frac{1}{4}$ 不公平 解析:抛两枚硬币可能会是正正,反反,正反、反反四种情况;小红赢的情况是正正,赢的概率是$\frac{1}{4}$.小明赢的情况是正反、反正,赢的概率是$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.$\because \frac{1}{2}＞\frac{1}{4}$,$\therefore$游戏对小红不公平.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确连续抛两次硬币的所有等可能结果，再找出小红赢的情况数，根据概率公式计算小红赢的概率；接着计算小明赢的概率，比较双方赢的概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
连续抛两次硬币，所有等可能的结果为：正正、正反、反正、反反，共4种。其中小红赢的情况是两次均为正面，即“正正”，共1种，根据概率公式$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$，可得小红赢的概率为$\frac{1}{4}$。小明赢的情况是一正一反，即“正反”“反正”，共2种，其赢的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。由于$\frac{1}{2}≠\frac{1}{4}$，双方赢的概率不相等，因此该游戏不公平。
【答案】
$\frac{1}{4}$；不公平
【知识点】
概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题是中考基础概率题型，通过列举所有等可能结果计算概率，进而判断游戏公平性，解题关键是准确列举所有不重不漏的结果，属于学生易掌握的常规题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需明确连续抛两次硬币的所有等可能结果，再找出小红赢的情况数，根据概率公式计算小红赢的概率；接着计算小明赢的概率，比较双方赢的概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
连续抛两次硬币，所有等可能的结果为：正正、正反、反正、反反，共4种。其中小红赢的情况是两次均为正面，即“正正”，共1种，根据概率公式$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$，可得小红赢的概率为$\frac{1}{4}$。小明赢的情况是一正一反，即“正反”“反正”，共2种，其赢的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。由于$\frac{1}{2}≠\frac{1}{4}$，双方赢的概率不相等，因此该游戏不公平。
【答案】
$\frac{1}{4}$；不公平
【知识点】
概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题是中考基础概率题型，通过列举所有等可能结果计算概率，进而判断游戏公平性，解题关键是准确列举所有不重不漏的结果，属于学生易掌握的常规题。
【难度系数】
0.8
4. 王红和刘芳两人在玩转盘游戏,如图,把转盘①②分别分成3等份,并在每一份内标上数字,游戏规则是:转动两个转盘,转盘停止后,指针所指的两个数字之和为7时,王红胜;两个数字之和为8时,刘芳胜.那么这二人中获胜可能性较大的是
王红
.答案
4. 王红 解析:如图,
共9种结果,和为7的结果有3种,王红获胜的概率为$\frac{3}{9}$;
和为8的结果有2种,刘芳获胜的概率为$\frac{2}{9}$.$\because \frac{3}{9}＞\frac{2}{9}$,
∴王红获胜的可能性较大.
解析
【分析】要判断谁获胜的可能性大，需先确定两个转盘转动后所有等可能的数字组合总数，再分别统计数字之和为7（王红胜）、数字之和为8（刘芳胜）的组合数量，计算各自的获胜概率，概率越大则获胜可能性越大。
【解析】转盘①的数字为1、2、3，转盘②的数字为4、5、6，转动两个转盘，所有等可能的结果共3×3=9种，具体和的情况如下：
1+4=5，1+5=6，1+6=7；
2+4=6，2+5=7，2+6=8；
3+4=7，3+5=8，3+6=9。
其中，和为7的结果有3种，王红获胜的概率为$\frac{3}{9}$；和为8的结果有2种，刘芳获胜的概率为$\frac{2}{9}$。因为$\frac{3}{9}＞\frac{2}{9}$，所以王红获胜的可能性较大。
【答案】王红
【知识点】概率计算、列举法求概率
【点评】本题利用列举法列出所有可能的结果，通过计算概率比较获胜可能性，属于概率应用的基础题型，考查学生对列举法求概率的掌握情况。
【难度系数】0.5
【解析】转盘①的数字为1、2、3，转盘②的数字为4、5、6，转动两个转盘，所有等可能的结果共3×3=9种，具体和的情况如下：
1+4=5，1+5=6，1+6=7；
2+4=6，2+5=7，2+6=8；
3+4=7，3+5=8，3+6=9。
其中，和为7的结果有3种，王红获胜的概率为$\frac{3}{9}$；和为8的结果有2种，刘芳获胜的概率为$\frac{2}{9}$。因为$\frac{3}{9}＞\frac{2}{9}$，所以王红获胜的可能性较大。
【答案】王红
【知识点】概率计算、列举法求概率
【点评】本题利用列举法列出所有可能的结果，通过计算概率比较获胜可能性，属于概率应用的基础题型，考查学生对列举法求概率的掌握情况。
【难度系数】0.5
5. 某校举办艺术节,其中 A 班和 B 班的节目总成绩并列第一,学校决定从 A,B 两班中选派一个班代表学校参加全省比赛,B 班班长想法是:用八张扑克牌,将数字为 1,2,3,5 的四张牌给 A 班班长,将数字为 4,6,7,8 的四张牌留给自己,并按如下游戏规则进行游戏:A 班班长和 B 班班长从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌上的数相加,如果和为偶数,则 A 班去;如果和为奇数,则 B 班去.
(1)请用画树状图或列表的方法求 A 班去参赛的概率.
(2)B 班班长设计的游戏规则公平吗? 若公平,请说明理由;若不公平,请你设计一种公平的游戏规则.
(1)请用画树状图或列表的方法求 A 班去参赛的概率.
(2)B 班班长设计的游戏规则公平吗? 若公平,请说明理由;若不公平,请你设计一种公平的游戏规则.
答案
5. (1)所有可能的结果如下表:
| A\B | 4 | 6 | 7 | 8 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 6 | 8 | 9 | 10 |
| 3 | 7 | 9 | 10 | 11 |
| 5 | 9 | 11 | 12 | 13 |
一共16种结果,每个结果出现的可能性相同,和为偶数的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$;
∴A班去参赛的概率为$\frac{3}{8}$.
(2)游戏不公平.由(1)中列表的结果可知:A班去的概率为$\frac{3}{8}$,B班去的概率为$\frac{5}{8}$,
∴游戏不公平,对B班有利.A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌上的数相加,则和可能为5,6,7,7,8,8,9,9,9,10,10,11,11,12,13,故游戏规则可改为:若和小于9则A班去参赛,若和大于9则B班去参赛,若和等于9,则重新抽取.(合理即可)
| A\B | 4 | 6 | 7 | 8 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 6 | 8 | 9 | 10 |
| 3 | 7 | 9 | 10 | 11 |
| 5 | 9 | 11 | 12 | 13 |
一共16种结果,每个结果出现的可能性相同,和为偶数的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$;
∴A班去参赛的概率为$\frac{3}{8}$.
(2)游戏不公平.由(1)中列表的结果可知:A班去的概率为$\frac{3}{8}$,B班去的概率为$\frac{5}{8}$,
∴游戏不公平,对B班有利.A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌上的数相加,则和可能为5,6,7,7,8,8,9,9,9,10,10,11,11,12,13,故游戏规则可改为:若和小于9则A班去参赛,若和大于9则B班去参赛,若和等于9,则重新抽取.(合理即可)
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确：(1)求A班去参赛的概率，即求两张牌数字和为偶数的概率，需用列表法列出所有等可能的结果，再统计和为偶数的结果数，根据概率公式计算；(2)判断游戏公平性，需比较A、B两班获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平，设计公平规则时需保证双方获胜概率相等。
【解析】
(1) 用列表法列出所有可能的结果：
| A\B | 4 | 6 | 7 | 8 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 1+4=5 | 1+6=7 | 1+7=8 | 1+8=9 |
| 2 | 2+4=6 | 2+6=8 | 2+7=9 | 2+8=10 |
| 3 | 3+4=7 | 3+6=9 | 3+7=10 | 3+8=11 |
| 5 | 5+4=9 | 5+6=11 | 5+7=12 | 5+8=13 |
由表可知，所有等可能的结果共16种，其中和为偶数的结果有6种。根据概率公式，A班去参赛的概率为：$P(A)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
(2) 游戏公平性判断：
由(1)可知，B班去参赛的概率为$P(B)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$。因为$\frac{3}{8}≠\frac{5}{8}$，双方获胜概率不相等，所以游戏不公平，对B班有利。
公平规则设计（合理即可）：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取。
【答案】
(1) A班去参赛的概率为$\frac{3}{8}$；
(2) 游戏不公平，理由是A班获胜概率为$\frac{3}{8}$，B班获胜概率为$\frac{5}{8}$，概率不相等；公平规则示例：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9则重新抽取（合理即可）。
【知识点】
概率的计算、游戏公平性判断
【点评】
本题结合实际场景考查概率的应用，核心是用列表法求等可能事件的概率，游戏公平性的本质是双方获胜概率相等，需熟练掌握概率公式的应用，属于概率基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确：(1)求A班去参赛的概率，即求两张牌数字和为偶数的概率，需用列表法列出所有等可能的结果，再统计和为偶数的结果数，根据概率公式计算；(2)判断游戏公平性，需比较A、B两班获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平，设计公平规则时需保证双方获胜概率相等。
【解析】
(1) 用列表法列出所有可能的结果：
| A\B | 4 | 6 | 7 | 8 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 1+4=5 | 1+6=7 | 1+7=8 | 1+8=9 |
| 2 | 2+4=6 | 2+6=8 | 2+7=9 | 2+8=10 |
| 3 | 3+4=7 | 3+6=9 | 3+7=10 | 3+8=11 |
| 5 | 5+4=9 | 5+6=11 | 5+7=12 | 5+8=13 |
由表可知，所有等可能的结果共16种，其中和为偶数的结果有6种。根据概率公式，A班去参赛的概率为：$P(A)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
(2) 游戏公平性判断：
由(1)可知，B班去参赛的概率为$P(B)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$。因为$\frac{3}{8}≠\frac{5}{8}$，双方获胜概率不相等，所以游戏不公平，对B班有利。
公平规则设计（合理即可）：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取。
【答案】
(1) A班去参赛的概率为$\frac{3}{8}$；
(2) 游戏不公平，理由是A班获胜概率为$\frac{3}{8}$，B班获胜概率为$\frac{5}{8}$，概率不相等；公平规则示例：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9则重新抽取（合理即可）。
【知识点】
概率的计算、游戏公平性判断
【点评】
本题结合实际场景考查概率的应用，核心是用列表法求等可能事件的概率，游戏公平性的本质是双方获胜概率相等，需熟练掌握概率公式的应用，属于概率基础题型。
【难度系数】
0.6
6. 在如图所示的圆形盘中,灰白两色的直角三角形都全等.甲、乙两人将它作为一个游戏盘,游戏规则如下:按一定距离向盘中投镖一次(若扎不中游戏盘,则重新投镖),扎在灰色区域为甲胜,扎在白色区域为乙胜,则这个游戏 （
A.对双方公平
B.对甲有利
C.对乙有利
D.无法确定公平性
A
）A.对双方公平
B.对甲有利
C.对乙有利
D.无法确定公平性
答案
6. A 解析:$\because S_{\mathrm{灰色区域}}=S_{\mathrm{白色区域}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{圆}}$,$\therefore P($甲胜$)=P($乙胜$)=\frac{1}{2}$,
∴这个游戏公平,故选A.
∴这个游戏公平,故选A.
解析
【分析】要判断游戏是否公平，需比较甲、乙获胜的概率，即灰色区域与白色区域的面积是否相等，若两者各占圆面积的一半，则概率相等，游戏公平。观察图形，灰白两色直角三角形全等，通过图形的对称性可发现，灰色区域总面积等于白色区域总面积，均为圆面积的$\frac{1}{2}$，因此两者获胜概率相同，游戏公平。
【解析】解：判断游戏公平的依据是甲、乙获胜的概率是否相等，即灰色区域面积与白色区域面积是否相等。由题意，灰白两色的直角三角形都全等，观察图形可知，灰色区域的总面积等于白色区域的总面积，两者之和为圆的面积，因此：
$S_{\mathrm{灰色区域}} = S_{\mathrm{白色区域}} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{圆}}$
根据几何概率公式，甲胜的概率为：$P(\mathrm{甲胜}) = \frac{S_{\mathrm{灰色区域}}}{S_{\mathrm{圆}}} = \frac{1}{2}$
乙胜的概率为：$P(\mathrm{乙胜}) = \frac{S_{\mathrm{白色区域}}}{S_{\mathrm{圆}}} = \frac{1}{2}$
两者概率相等，故游戏公平，答案选A。
【答案】A
【知识点】圆的面积、几何概率
【点评】本题结合几何图形考查几何概率的应用，核心是利用全等三角形的性质和图形的对称性得出灰色与白色区域面积相等，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】解：判断游戏公平的依据是甲、乙获胜的概率是否相等，即灰色区域面积与白色区域面积是否相等。由题意，灰白两色的直角三角形都全等，观察图形可知，灰色区域的总面积等于白色区域的总面积，两者之和为圆的面积，因此：
$S_{\mathrm{灰色区域}} = S_{\mathrm{白色区域}} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{圆}}$
根据几何概率公式，甲胜的概率为：$P(\mathrm{甲胜}) = \frac{S_{\mathrm{灰色区域}}}{S_{\mathrm{圆}}} = \frac{1}{2}$
乙胜的概率为：$P(\mathrm{乙胜}) = \frac{S_{\mathrm{白色区域}}}{S_{\mathrm{圆}}} = \frac{1}{2}$
两者概率相等，故游戏公平，答案选A。
【答案】A
【知识点】圆的面积、几何概率
【点评】本题结合几何图形考查几何概率的应用，核心是利用全等三角形的性质和图形的对称性得出灰色与白色区域面积相等，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.5
