7.(德州中考改编)甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张分别标有数字$\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2},1$的卡片，乙中有三张分别标有数字1,2,3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则:从甲中任取一张卡片，将其数字记为$a$，从乙中任取一张卡片，将其数字记为$b$.若$a,b$能使关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+1=0$有两个不相等的实数根，则小华获胜，否则小丽获胜.这二人中获胜可能性较大的是，此人获胜的概率是.

7. 小华 $\frac{5}{9}$ 解析:画树状图如下,由图可知,共有9种等可能的结果,其中能使小华获胜的有5种结果,能使小丽获胜的有4种结果,
∴这二人中获胜可能性较大的是小华,小华获胜的概率为$\frac{5}{9}$.

【分析】
要解决这个问题，首先需明确从甲、乙两纸箱各取一张卡片的所有等可能结果，共3×3=9种。接着根据一元二次方程根的判别式，确定方程有两个不相等实数根的条件：判别式Δ=b²-4ac＞0，本题中方程为ax²+bx+1=0，即需满足b²＞4a。随后逐一分析每种(a,b)组合是否满足该条件，统计满足条件的数量，再计算概率，比较两人获胜的可能性大小。
【解析】
1. 列出所有(a,b)组合并计算判别式Δ：
a=1/4，b=1：Δ=1² - 4×(1/4)×1=0，不满足；
a=1/4，b=2：Δ=2² - 4×(1/4)×1=3＞0，满足；
a=1/4，b=3：Δ=3² - 4×(1/4)×1=8＞0，满足；
a=1/2，b=1：Δ=1² - 4×(1/2)×1=-1＜0，不满足；
a=1/2，b=2：Δ=2² - 4×(1/2)×1=2＞0，满足；
a=1/2，b=3：Δ=3² - 4×(1/2)×1=7＞0，满足；
a=1，b=1：Δ=1² - 4×1×1=-3＜0，不满足；
a=1，b=2：Δ=2² - 4×1×1=0，不满足；
a=1，b=3：Δ=3² - 4×1×1=5＞0，满足；
2. 统计得满足小华获胜（Δ＞0）的结果共5种，总共有9种等可能结果，因此小华获胜的概率为5/9，小丽获胜的概率为4/9，故小华获胜可能性更大。
【答案】
小华 $\frac{5}{9}$ 解析:画树状图如下,由图可知,共有9种等可能的结果,其中能使小华获胜的有5种结果,能使小丽获胜的有4种结果,
∴这二人中获胜可能性较大的是小华,小华获胜的概率为$\frac{5}{9}$.

【知识点】
一元二次方程根的判别式；概率计算
【点评】
本题结合一元二次方程根的判别式与概率知识，需先根据判别式确定符合条件的情况，再用概率公式计算，是中考常见的基础综合题，注重知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6

8.(通辽中考)如图,有四张反面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上.
(1)从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是.
(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形,则小亮获胜,否则小明获胜.这个游戏公平吗?请用列表法(或画树状图法)说明理由.(纸牌用A,B,C,D表示)若不公平,请你帮忙修改一下游戏规则,使游戏公平.

8. (1)$\frac{3}{4}$ 解析:共有四张纸牌,牌面图形是中心对称图形的情况有3种,所以从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是$\frac{3}{4}$.
(2)游戏不公平,理由如下:
列表得
| 小明\小亮 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
共有12种结果,每种结果出现的可能性相同,摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种,即(A,C),(C,A),
∴$P($摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形$)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}≠\frac{1}{2}$,
∴游戏不公平.
修改规则:若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形(或若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形),则小明获胜,否则小亮获胜.(合理即可)

【分析】
首先明确中心对称图形和轴对称图形的定义：平面内，绕某点旋转180°后与自身重合的图形是中心对称图形；沿一条直线折叠后直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形。先判断四张纸牌对应图形的对称性，再根据概率公式计算第一问；第二问通过列表法列出所有摸牌的等可能结果，找出符合条件的结果计算概率，比较概率是否相等判断游戏公平性，最后修改规则使双方获胜概率相等。
【解析】
(1) 判断四张纸牌对应图形的对称性：
圆（A）：既是轴对称图形，又是中心对称图形；
正五边形（B）：是轴对称图形，不是中心对称图形；
矩形（C）：既是轴对称图形，又是中心对称图形；
平行四边形（D）：是中心对称图形，不是轴对称图形。
其中中心对称图形有A、C、D，共3种，总共有4张纸牌，因此随机摸出一张是中心对称图形的概率为 $\frac{3}{4}$。
(2) 判断游戏是否公平：
采用列表法列出所有不放回摸牌的等可能结果：
| 小明\小亮 | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
共有12种等可能结果，其中两张牌面图形既是轴对称又是中心对称的结果有2种，即(A,C)、(C,A)，因此小亮获胜的概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，小明获胜的概率为 $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，两者不相等，故游戏不公平。
修改规则：若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜（合理即可）。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$；(2) 游戏不公平，修改规则示例：若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜。
【知识点】
概率计算，中心对称图形，轴对称图形
【点评】
本题结合图形对称性考查概率计算，需先准确判断图形对称性，再通过列表法列举等可能结果计算概率，判断游戏公平性，是概率与几何结合的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

9. 杨老师珍藏了一份“08 奥运”纪念品,决定奖给班上同学,他设计了一个“转盘”游戏:如图①,把转盘划分成 4 个相同的小扇形,并分别标上数字 1,2,3,4;先后两次转动转盘,待转盘停止后,得到指针指向的数字分别为$a$和$b$,若点$(a,b)$落在以点$O$为圆心,半径为$2\sqrt{2}$的圆内,则获得纪念品.
(1) 请你用画树状图或列表的方法分析,玩一次游戏能获得纪念品的概率.
(2) 琪琪和筒筒两人都想获得这份纪念品,为了增加获奖机会,闹着要杨老师修改游戏规则:如图 ②,将$\odot O$的半径变为$\sqrt{13}$,如果点$(a,b)$落在$\odot O$内,那么琪琪获得纪念品,如果落在$\odot O$外,那么筒筒获得纪念品.你认为新的游戏规则公平吗? 如果公平,请说明理由;如果不公平,请说明$\odot O$的半径在什么范围内对两人才是公平的.

9. (1)画树状图如下：

由树状图可知一共有16种等可能的结果,玩一次游戏能获得纪念品的结果有$(1,1),(1,2),(2,1)$,共3种结果(满足$a^2+b^2＜(2\sqrt{2})^2=8$,即点$(a,b)$到圆心的距离要小于$2\sqrt{2}$),
∴玩一次游戏能获得纪念品的概率为$\frac{3}{16}$.
(2)由(1)可知,当$\odot O$的半径变为$\sqrt{13}$时,点$(a,b)$落在圆内的结果有$(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)$,共6种,落在圆外的结果有$(1,4),(4,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3),(4,4)$,共8种,
∴$P($落在圆内$)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}＜P($落在圆外$)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$,
∴当$\odot O$的半径变为$\sqrt{13}$时,这个游戏不公平.
由题意可知,当$\sqrt{13}＜r＜\sqrt{17}$时,落在圆内的结果有8种,落在圆外的结果也有8种,即此时$P($落在圆内$)=P($落在圆外$)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$,故当$\sqrt{13}＜r＜\sqrt{17}$时,这个游戏才公平.

【分析】
首先，先后两次转动转盘，数字$a$和$b$各有4种可能，总共有$4×4=16$种等可能结果。第(1)问需根据点与圆的位置关系，筛选出满足“点$(a,b)$在半径为$2\sqrt{2}$的圆内”的点，通过列举符合条件的点，计算其数量与总结果数的比值得到概率；第(2)问先计算半径为$\sqrt{13}$时，点落在圆内和圆外的数量，比较两者概率判断游戏是否公平，再找到使圆内、圆外结果数相等的半径范围，保证游戏公平。
【解析】
(1) 画树状图分析所有等可能结果：
由树状图可知，共有16种等可能的结果。
点$(a,b)$落在以$O$为圆心、半径为$2\sqrt{2}$的圆内，需满足$a^2+b^2 ＜ (2\sqrt{2})^2=8$，符合条件的点为$(1,1)$、$(1,2)$、$(2,1)$，共3种。
因此，玩一次游戏能获得纪念品的概率为：$\frac{3}{16}$。
(2) 当$\odot O$的半径变为$\sqrt{13}$时，需满足$a^2+b^2 ＜ 13$的点落在圆内，$a^2+b^2 ＞13$的点落在圆外：
落在圆内的点有$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$、$(2,1)$、$(2,2)$、$(3,1)$，共6种，故$P(\mathrm{落在圆内})=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$；
落在圆外的点有$(1,4)$、$(4,1)$、$(2,4)$、$(4,2)$、$(3,4)$、$(4,3)$、$(3,3)$、$(4,4)$，共8种，故$P(\mathrm{落在圆外})=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{3}{8}≠\frac{1}{2}$，所以新游戏规则不公平。
要使游戏公平，需$P(\mathrm{落在圆内})=P(\mathrm{落在圆外})=\frac{1}{2}$，即圆内和圆外的结果数均为8种。此时，$a^2+b^2 ＜ r^2$的结果有8种，$a^2+b^2 ＞ r^2$的结果也有8种，对应的$a^2+b^2$临界值为13和17，因此半径$r$需满足$\sqrt{13} ＜ r ＜ \sqrt{17}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{16}$；(2) 不公平，当$\sqrt{13} ＜ r ＜ \sqrt{17}$时游戏公平。
【知识点】
概率计算，点与圆的位置关系，游戏公平性
【点评】
本题结合概率与点与圆的位置关系，考查列举法求概率及游戏公平性的判断，需准确列举所有等可能结果，再根据条件筛选，是中等难度的概率应用题。
【难度系数】
0.5