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14. (2025·安康期中)一场家庭教育沙龙,主办方邀请9位家长参加活动,在场地安排了9把椅子(每个方格代表一把椅子,横为排,竖为列)按图示方式摆放,其中圆点表示已经有家长入座的椅子.
(1)如图①,已经有两位家长入座,又有一位家长随机入座,则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为
(2)如图②,已经有四位家长入座四个位置,又有甲、乙两位家长随机入座,已知甲坐第1排,乙坐第2排,求甲、乙两人刚好坐在同一列上的概率;
(3)如图③,已经有四位家长入座四个位置,又有两名家长丙和丁随机入座,直接写出仅有三位家长坐在同一直线上的概率.
(1)如图①,已经有两位家长入座,又有一位家长随机入座,则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为
$\dfrac{1}{7}$
;(2)如图②,已经有四位家长入座四个位置,又有甲、乙两位家长随机入座,已知甲坐第1排,乙坐第2排,求甲、乙两人刚好坐在同一列上的概率;
(3)如图③,已经有四位家长入座四个位置,又有两名家长丙和丁随机入座,直接写出仅有三位家长坐在同一直线上的概率.
答案
(1)解析:如题图①,共有7个空位置,只有当坐在第2排第2列的那个位置时,才符合题意,则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为$\dfrac{1}{7}$.
(2)如图①,已经有四位家长入座四个位置,又有甲、乙两位家长随机入座,已知甲坐第1排,乙坐第2排,所有可能如下:$(A_1,B_2),(A_1,C_2),(B_1,B_2),(B_1,C_2),(C_1,B_2),(C_1,C_2)$,共有6种等可能的情况,其中有2种情况符合题意,则甲、乙两人刚好坐在同一列上的概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
(3)解析:如图②,已经有四位家长入座四个位置,又有两名家长丙和丁随机入座,列表如下:
| | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) | (A,E) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) | (B,E) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) | (C,E) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | | (D,E) |
| E | (E,A) | (E,B) | (E,C) | (E,D) | |
共有20种等可能结果,其中符合题意的有$(A,B)$,$(B,A)$,$(A,D)$,$(D,A)$,$(B,E)$,$(E,B)$,$(D,E)$,$(E,D)$,共8种结果,
∴ 仅有三位家长坐在同一直线上的概率为$\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$.
解析
【分析】
(1) 利用古典概型概率公式，先确定图①的总空位置数，再找出使新增家长入座后三个家长位置共线的空位置数，代入公式计算。
(2) 已知甲、乙的座位范围，列出所有等可能的座位组合，再从中筛选出两人同列的组合，计算概率。
(3) 先确定图③的总空位置数，计算两人随机入座的总等可能结果数，再找出满足“仅有三位家长同一直线”的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
(1) 解：图①共有9个位置，已有2位家长入座，空位置数为$9-2=7$个。原有2位家长的位置为第1排第3列、第3排第1列，二者连线为对角线，仅第2排第2列的空位置在该直线上，符合条件的情况数为1，故所求概率为$\dfrac{1}{7}$。
(2) 解：甲坐第1排，有3个可选位置；乙坐第2排，有2个可选位置，所有等可能的情况共6种：$(A_1,B_2),(A_1,C_2),(B_1,B_2),(B_1,C_2),(C_1,B_2),(C_1,C_2)$。其中甲、乙同列的情况有2种，故所求概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。
(3) 解：图③中空位置共5个，丙、丁随机入座，总等可能结果数为$5×4=20$种。满足“仅有三位家长同一直线”的结果有8种，故所求概率为$\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{7}$；(2) $\dfrac{1}{3}$；(3) $\dfrac{2}{5}$
【知识点】古典概型，概率计算，几何位置分析
【点评】本题结合方格图的几何位置考查古典概型的应用，解题关键是准确确定总情况数和符合条件的情况数，属于基础概率应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
(1) 利用古典概型概率公式，先确定图①的总空位置数，再找出使新增家长入座后三个家长位置共线的空位置数，代入公式计算。
(2) 已知甲、乙的座位范围，列出所有等可能的座位组合，再从中筛选出两人同列的组合，计算概率。
(3) 先确定图③的总空位置数，计算两人随机入座的总等可能结果数，再找出满足“仅有三位家长同一直线”的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
(1) 解：图①共有9个位置，已有2位家长入座，空位置数为$9-2=7$个。原有2位家长的位置为第1排第3列、第3排第1列，二者连线为对角线，仅第2排第2列的空位置在该直线上，符合条件的情况数为1，故所求概率为$\dfrac{1}{7}$。
(2) 解：甲坐第1排，有3个可选位置；乙坐第2排，有2个可选位置，所有等可能的情况共6种：$(A_1,B_2),(A_1,C_2),(B_1,B_2),(B_1,C_2),(C_1,B_2),(C_1,C_2)$。其中甲、乙同列的情况有2种，故所求概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。
(3) 解：图③中空位置共5个，丙、丁随机入座，总等可能结果数为$5×4=20$种。满足“仅有三位家长同一直线”的结果有8种，故所求概率为$\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{7}$；(2) $\dfrac{1}{3}$；(3) $\dfrac{2}{5}$
【知识点】古典概型，概率计算，几何位置分析
【点评】本题结合方格图的几何位置考查古典概型的应用，解题关键是准确确定总情况数和符合条件的情况数，属于基础概率应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
15. (镇江中考)一只不透明的袋子中装有1个黄球,现放入若干个红球,它们与黄球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出两个球,使得$P$(摸出一红一黄)$=P$(摸出两红),则放入的红球个数等于
3
.答案
解析:设放入$n$个红球,先用画树状图法列出所有等可能的情况:
由树状图可知,摸出一红一黄的有$n+n=2n$(种)结果,摸出两红的有$n(n-1)$种结果.$\because$ 等可能的结果总数不变,$P$(摸出一红一黄)$=P$(摸出两红),
∴ 摸出一红一黄的结果数=摸出两红的结果数,
∴ $2n=n(n-1)$,解得$n_1=0$(舍去),$n_2=3$,即放入的红球个数等于3.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确：当两个事件的概率相等时，若所有等可能的结果总数相同，则两个事件对应的结果数相等。我们需要先设放入的红球个数为$ n $，分别计算“摸出一红一黄”和“摸出两红”的结果数，再根据结果数相等列方程，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
设放入的红球个数为$ n $，则袋中共有$ n+1 $个球，其中红球$ n $个，黄球1个。
根据题意，画树状图，可知：
摸出一红一黄的结果数为$ 2n $种，摸出两红的结果数为$ n(n-1) $种。
因为$ P(\mathrm{摸出一红一黄}) = P(\mathrm{摸出两红}) $，且所有等可能结果总数相同，所以两个事件的结果数相等，即：
$ 2n = n(n-1) $
整理得：$ n^2 - 3n = 0 $，因式分解得$ n(n-3)=0 $，解得$ n_1=0 $，$ n_2=3 $。
由于$ n=0 $不符合“放入若干个红球”的实际要求，故舍去，因此放入的红球个数为3。
【答案】
3
【知识点】
概率计算，树状图法，一元二次方程应用
【点评】
本题是中考常见的概率与方程结合的应用题，核心是利用树状图分析事件的等可能结果，通过概率相等建立方程求解，需注意舍去不符合实际的解，难度适中，考查学生的逻辑分析与计算能力。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先明确：当两个事件的概率相等时，若所有等可能的结果总数相同，则两个事件对应的结果数相等。我们需要先设放入的红球个数为$ n $，分别计算“摸出一红一黄”和“摸出两红”的结果数，再根据结果数相等列方程，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
设放入的红球个数为$ n $，则袋中共有$ n+1 $个球，其中红球$ n $个，黄球1个。
根据题意，画树状图，可知：
摸出一红一黄的结果数为$ 2n $种，摸出两红的结果数为$ n(n-1) $种。
因为$ P(\mathrm{摸出一红一黄}) = P(\mathrm{摸出两红}) $，且所有等可能结果总数相同，所以两个事件的结果数相等，即：
$ 2n = n(n-1) $
整理得：$ n^2 - 3n = 0 $，因式分解得$ n(n-3)=0 $，解得$ n_1=0 $，$ n_2=3 $。
由于$ n=0 $不符合“放入若干个红球”的实际要求，故舍去，因此放入的红球个数为3。
【答案】
3
【知识点】
概率计算，树状图法，一元二次方程应用
【点评】
本题是中考常见的概率与方程结合的应用题，核心是利用树状图分析事件的等可能结果，通过概率相等建立方程求解，需注意舍去不符合实际的解，难度适中，考查学生的逻辑分析与计算能力。
【难度系数】
0.5
16. 改编题 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则如下：
1. 抽奖方案有以下两种：
方案A：从装有1个红球、2个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，若是白球，则没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；
方案B：从装有2个红球、1个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，若是白球，则没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中.
2. 抽奖条件：
顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次，每满150元，可根据方案B抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为270元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下两种，根据方案A抽奖两次或方案A、B各抽奖一次).
已知某顾客在该商场购买商品的金额为360元.
(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为30元的概率；
(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由.
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1. 抽奖方案有以下两种：
方案A：从装有1个红球、2个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，若是白球，则没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；
方案B：从装有2个红球、1个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，若是白球，则没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中.
2. 抽奖条件：
顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次，每满150元，可根据方案B抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为270元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下两种，根据方案A抽奖两次或方案A、B各抽奖一次).
已知某顾客在该商场购买商品的金额为360元.
(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为30元的概率；
(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由.
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答案
(1)只选择根据方案A进行抽奖,则可抽奖三次,画树状图如下:
共有27种等可能的情况,抽到2个红球(奖金为30元)有6种情况,
∴ 所获奖金为30元的概率为$\dfrac{6}{27}=\dfrac{2}{9}$.
(2)采用方案A抽奖两次,方案B抽奖一次的方式更合算.理由如下:方案A抽奖一次所获得的奖金的平均值为$15×\dfrac{1}{3}+0×\dfrac{2}{3}=5$(元),方案B抽奖一次所获得的奖金的平均值为$10×\dfrac{2}{3}+0×\dfrac{1}{3}=\dfrac{20}{3}$(元).
∵ 顾客在该商场购买商品的金额为360元,
∴ 充分利用的前提下可采取的方案有三种:
①方案A抽奖三次:获得奖金的平均值为$3×5=15$(元);
②方案A抽奖两次,方案B抽奖一次:获得奖金的平均值为$2×5+\dfrac{20}{3}=\dfrac{50}{3}$(元);
③方案B抽奖两次:获得奖金的平均值为$2×\dfrac{20}{3}=\dfrac{40}{3}$(元).
∵ $\dfrac{50}{3}＞15＞\dfrac{40}{3}$,
∴ 采用方案A抽奖两次,方案B抽奖一次的方式更合算.
解析
【分析】
首先明确顾客购买360元商品时，方案A每满100元可抽奖1次，共可抽3次；方案B每满150元可抽奖1次，360元可抽2次B或1次B（搭配A）。第(1)问需计算只抽方案A时，3次抽奖中恰好2次红球（对应奖金30元）的概率，利用古典概型求解；第(2)问需先算出单次方案A、B的奖金期望，再计算360元下不同抽奖组合的总期望，比较得出最合算的方式。
【解析】
(1) 顾客购买360元，只选方案A抽奖时，可抽奖3次。方案A中，甲袋有1个红球、2个白球，每次抽球有3种等可能结果，3次抽奖总共有$3×3×3=27$种等可能情况。奖金为30元需恰好2次抽中红球，每次抽中红球后，剩余1次抽白球（白球有2种情况），故符合条件的情况数为$\mathrm{C}_3^2×2=3×2=6$种。因此所求概率为$\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$。
(2) 先计算单次抽奖的奖金期望：
方案A单次期望：$15×\frac{1}{3}+0×\frac{2}{3}=5$元；
方案B单次期望：乙袋有2个红球、1个白球，抽中红球概率为$\frac{2}{3}$，故单次期望为$10×\frac{2}{3}+0×\frac{1}{3}=\frac{20}{3}$元。
再确定360元下可选择的抽奖组合及总期望：
① 方案A抽奖3次：总期望为$3×5=15$元；
② 方案A抽奖2次、方案B抽奖1次（$2×100+1×150=350≤360$，剩余金额不影响）：总期望为$2×5+\frac{20}{3}=\frac{50}{3}$元；
③ 方案B抽奖2次：总期望为$2×\frac{20}{3}=\frac{40}{3}$元。
比较得$\frac{50}{3}＞15＞\frac{40}{3}$，故采用方案A抽奖两次、方案B抽奖一次更合算。
【答案】
(1) $\frac{2}{9}$；
(2) 采用方案A抽奖两次，方案B抽奖一次的方式更合算。
【知识点】
古典概型、离散型随机变量的期望
【点评】
本题结合实际促销抽奖场景，考查古典概型概率计算与随机变量期望的应用，需先确定抽奖次数及组合，再通过计算概率和期望解决问题，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.5
首先明确顾客购买360元商品时，方案A每满100元可抽奖1次，共可抽3次；方案B每满150元可抽奖1次，360元可抽2次B或1次B（搭配A）。第(1)问需计算只抽方案A时，3次抽奖中恰好2次红球（对应奖金30元）的概率，利用古典概型求解；第(2)问需先算出单次方案A、B的奖金期望，再计算360元下不同抽奖组合的总期望，比较得出最合算的方式。
【解析】
(1) 顾客购买360元，只选方案A抽奖时，可抽奖3次。方案A中，甲袋有1个红球、2个白球，每次抽球有3种等可能结果，3次抽奖总共有$3×3×3=27$种等可能情况。奖金为30元需恰好2次抽中红球，每次抽中红球后，剩余1次抽白球（白球有2种情况），故符合条件的情况数为$\mathrm{C}_3^2×2=3×2=6$种。因此所求概率为$\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$。
(2) 先计算单次抽奖的奖金期望：
方案A单次期望：$15×\frac{1}{3}+0×\frac{2}{3}=5$元；
方案B单次期望：乙袋有2个红球、1个白球，抽中红球概率为$\frac{2}{3}$，故单次期望为$10×\frac{2}{3}+0×\frac{1}{3}=\frac{20}{3}$元。
再确定360元下可选择的抽奖组合及总期望：
① 方案A抽奖3次：总期望为$3×5=15$元；
② 方案A抽奖2次、方案B抽奖1次（$2×100+1×150=350≤360$，剩余金额不影响）：总期望为$2×5+\frac{20}{3}=\frac{50}{3}$元；
③ 方案B抽奖2次：总期望为$2×\frac{20}{3}=\frac{40}{3}$元。
比较得$\frac{50}{3}＞15＞\frac{40}{3}$，故采用方案A抽奖两次、方案B抽奖一次更合算。
【答案】
(1) $\frac{2}{9}$；
(2) 采用方案A抽奖两次，方案B抽奖一次的方式更合算。
【知识点】
古典概型、离散型随机变量的期望
【点评】
本题结合实际促销抽奖场景，考查古典概型概率计算与随机变量期望的应用，需先确定抽奖次数及组合，再通过计算概率和期望解决问题，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.5
