登录
8. (2025·泰州模拟)如图,三根同样的绳子$AA_{1},BB_{1},CC_{1}$穿过一块木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两侧,每次各自选取本侧的一根绳子,每根绳子被选中的机会相等.
(1)姐姐从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子$BB_{1}$的概率为
(2)在互相看不见的条件下,姐姐从左端$A$,$B$,$C$三个绳头中随机选两个打一个结,妹妹从右端$A_{1},B_{1},C_{1}$三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.
(1)姐姐从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子$BB_{1}$的概率为
$\dfrac{1}{3}$
;(2)在互相看不见的条件下,姐姐从左端$A$,$B$,$C$三个绳头中随机选两个打一个结,妹妹从右端$A_{1},B_{1},C_{1}$三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.
答案
(1)解析:共有三种情况,选中绳子$BB_1$的概率为$\dfrac{1}{3}$.
(2)姐姐从左端打结有$AB,AC,BC$三种情况,妹妹从右端打结有$A_1B_1,A_1C_1,B_1C_1$三种情况,画树状图如下:
∴ 共有9种等可能的结果,其中符合题意的有6种,
∴ 这三根绳子能连接成一根长绳的概率是$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
第(1)问：姐姐从三根绳子中随机选一根，总共有3种等可能的结果，选中$BB_1$是其中1种，直接用概率公式计算即可。第(2)问：先确定姐姐和妹妹各有3种打结情况，总共有$3×3=9$种等可能结果；要连成一根长绳，需满足打结组合能将三根绳子连为一体，通过树状图找出符合条件的结果数，再计算概率。
【解析】
(1) 姐姐从三根绳子中随机选一根，所有等可能的结果有3种，其中恰好选中绳子$BB_1$的结果有1种，因此概率为：$\dfrac{1}{3}$。
(2) 姐姐从左端$A$、$B$、$C$三个绳头中随机选两个打结，有$AB$、$AC$、$BC$共3种等可能的情况；妹妹从右端$A_1$、$B_1$、$C_1$三个绳头中随机选两个打结，有$A_1B_1$、$A_1C_1$、$B_1C_1$共3种等可能的情况。根据题意画树状图，可知所有等可能的结果共有$3×3=9$种，其中三根绳子能连接成一根长绳的结果有6种，因此概率为：$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $\dfrac{2}{3}$
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题考查概率的基本计算，利用树状图法列举所有等可能结果是解题关键，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
第(1)问：姐姐从三根绳子中随机选一根，总共有3种等可能的结果，选中$BB_1$是其中1种，直接用概率公式计算即可。第(2)问：先确定姐姐和妹妹各有3种打结情况，总共有$3×3=9$种等可能结果；要连成一根长绳，需满足打结组合能将三根绳子连为一体，通过树状图找出符合条件的结果数，再计算概率。
【解析】
(1) 姐姐从三根绳子中随机选一根，所有等可能的结果有3种，其中恰好选中绳子$BB_1$的结果有1种，因此概率为：$\dfrac{1}{3}$。
(2) 姐姐从左端$A$、$B$、$C$三个绳头中随机选两个打结，有$AB$、$AC$、$BC$共3种等可能的情况；妹妹从右端$A_1$、$B_1$、$C_1$三个绳头中随机选两个打结，有$A_1B_1$、$A_1C_1$、$B_1C_1$共3种等可能的情况。根据题意画树状图，可知所有等可能的结果共有$3×3=9$种，其中三根绳子能连接成一根长绳的结果有6种，因此概率为：$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $\dfrac{2}{3}$
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题考查概率的基本计算，利用树状图法列举所有等可能结果是解题关键，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
9. (武汉中考)班长邀请 A,B,C,D 四位同学参加圆桌会议.如图,班长坐在⑤号座位,四位同学随机坐在①②③④四个座位,则 A,B 两位同学座位相邻的概率是 （
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
C
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
解析:根据题意画树状图如下:
由树状图可知共有12种等可能的结果,满足题意的结果有6种,则A,B两位同学座位相邻的概率是$\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$,故选C.
解析
【分析】
要计算A、B两位同学座位相邻的概率，需先确定所有等可能的结果总数，再找出A、B相邻的结果数量，最后利用概率公式求解。四位同学随机坐在四个座位，总共有12种等可能情况；结合座位的相邻关系，统计出A、B相邻的情况数，即可计算概率。
【解析】
根据题意，四位同学A、B、C、D随机坐在①②③④四个座位，总共有 $4 × 3 = 12$ 种等可能的结果。
其中A、B两位同学座位相邻的情况有6种，根据概率公式：$P=\frac{满足条件的结果数}{总结果数}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
概率计算、排列组合
【点评】
本题是基础概率应用题，通过列举或排列的方法确定总情况与符合条件的情况，计算过程简单，需注意相邻座位的判断。
【难度系数】
0.5
要计算A、B两位同学座位相邻的概率，需先确定所有等可能的结果总数，再找出A、B相邻的结果数量，最后利用概率公式求解。四位同学随机坐在四个座位，总共有12种等可能情况；结合座位的相邻关系，统计出A、B相邻的情况数，即可计算概率。
【解析】
根据题意，四位同学A、B、C、D随机坐在①②③④四个座位，总共有 $4 × 3 = 12$ 种等可能的结果。
其中A、B两位同学座位相邻的情况有6种，根据概率公式：$P=\frac{满足条件的结果数}{总结果数}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
概率计算、排列组合
【点评】
本题是基础概率应用题，通过列举或排列的方法确定总情况与符合条件的情况，计算过程简单，需注意相邻座位的判断。
【难度系数】
0.5
10. 假定鸟卵孵化后,雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同,如果3枚鸟卵全部成功孵化,那么3只雏鸟中有不少于2只雄鸟的概率是 （
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{3}{8}$
D.$\dfrac{5}{8}$
B
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{3}{8}$
D.$\dfrac{5}{8}$
答案
解析:根据题意画图如下:
共8种等可能的结果,3只雏鸟中有不少于2只雄鸟的结果有4种,所以所求概率为$\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$.故选B.
解析
【分析】要解决这个问题，需先明确3枚鸟卵孵化的所有等可能结果，再统计“不少于2只雄鸟”的结果数量，最后利用概率公式计算。每枚鸟卵孵化结果为雌或雄的概率相同，3枚的所有结果可通过树状图列举，总共有$2^3=8$种等可能情况；“不少于2只雄鸟”即雄鸟数量为2或3，统计符合条件的结果数后，即可计算概率。
【解析】根据题意，每枚鸟卵孵化后为雌鸟或雄鸟的概率相同，3枚鸟卵全部孵化的所有等可能结果可通过树状图得到，共8种等可能的结果。其中“不少于2只雄鸟”（即2只雄鸟或3只雄鸟）的结果有4种，根据概率公式：概率=符合条件的结果数÷总结果数，可得所求概率为$\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】B
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题是古典概型的基础题目，通过树状图列举所有等可能结果，直观清晰，解题关键是准确统计总结果数和符合条件的结果数，属于学生需掌握的基础概率应用。
【难度系数】0.6
【解析】根据题意，每枚鸟卵孵化后为雌鸟或雄鸟的概率相同，3枚鸟卵全部孵化的所有等可能结果可通过树状图得到，共8种等可能的结果。其中“不少于2只雄鸟”（即2只雄鸟或3只雄鸟）的结果有4种，根据概率公式：概率=符合条件的结果数÷总结果数，可得所求概率为$\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】B
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题是古典概型的基础题目，通过树状图列举所有等可能结果，直观清晰，解题关键是准确统计总结果数和符合条件的结果数，属于学生需掌握的基础概率应用。
【难度系数】0.6
11. 新趋势 跨学科融合（2025·黑龙江中考）如图,随机闭合开关 $\mathrm{K}_{1},\mathrm{K}_{2},\mathrm{K}_{3}$ 中的两个,能让两盏灯泡 $\mathrm{L}_{1},\mathrm{L}_{2}$ 同时发光的概率为
$\dfrac{1}{3}$
.答案
解析:由题意,列表如下:
| | $K_1$ | $K_2$ | $K_3$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $K_1$ | | $(K_1,K_2)$ | $(K_1,K_3)$ |
| $K_2$ | $(K_2,K_1)$ | | $(K_2,K_3)$ |
| $K_3$ | $(K_3,K_1)$ | $(K_3,K_2)$ | |
共有6种等可能的结果,其中能让两盏灯泡$L_1,L_2$同时发光的结果有2种,
∴ 所求概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
| | $K_1$ | $K_2$ | $K_3$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $K_1$ | | $(K_1,K_2)$ | $(K_1,K_3)$ |
| $K_2$ | $(K_2,K_1)$ | | $(K_2,K_3)$ |
| $K_3$ | $(K_3,K_1)$ | $(K_3,K_2)$ | |
共有6种等可能的结果,其中能让两盏灯泡$L_1,L_2$同时发光的结果有2种,
∴ 所求概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
要计算随机闭合两个开关时两盏灯同时发光的概率，需先明确所有等可能的开关组合，再结合电路知识判断每种组合下两灯是否发光，最后用概率公式求解。首先，随机闭合两个开关，按有序方式列举所有组合，再分析电路：当闭合K₁和K₃时，电流路径经过L₁和L₂，两灯发光；其他组合中，闭合K₁和K₂会造成电源短路，闭合K₂和K₃只有L₂发光，因此需准确找出符合条件的组合，再计算概率。
【解析】
随机闭合开关K₁、K₂、K₃中的两个，所有等可能的结果共有6种，分别为：(K₁,K₂)、(K₁,K₃)、(K₂,K₁)、(K₂,K₃)、(K₃,K₁)、(K₃,K₂)。
对每种结果分析电路状态：
1. 闭合(K₁,K₂)：K₂直接连通，造成电源短路，两灯均不发光；
2. 闭合(K₁,K₃)：电流路径为电源→K₃→L₂→K₁→L₁→电源，L₁、L₂同时发光；
3. 闭合(K₂,K₁)：同(K₁,K₂)，电源短路，两灯不发光；
4. 闭合(K₂,K₃)：电流路径为电源→K₃→L₂→K₂→电源，仅L₂发光；
5. 闭合(K₃,K₁)：同(K₁,K₃)，L₁、L₂同时发光；
6. 闭合(K₃,K₂)：同(K₂,K₃)，仅L₂发光。
其中能让两盏灯泡同时发光的结果有2种，根据概率公式：$ P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、电路分析
【点评】
本题结合电路知识考查概率的应用，是跨学科融合的典型题目，需先分析电路工作状态，再准确列举所有等可能情况，避免错判，注重知识的综合运用。
【难度系数】
0.5
要计算随机闭合两个开关时两盏灯同时发光的概率，需先明确所有等可能的开关组合，再结合电路知识判断每种组合下两灯是否发光，最后用概率公式求解。首先，随机闭合两个开关，按有序方式列举所有组合，再分析电路：当闭合K₁和K₃时，电流路径经过L₁和L₂，两灯发光；其他组合中，闭合K₁和K₂会造成电源短路，闭合K₂和K₃只有L₂发光，因此需准确找出符合条件的组合，再计算概率。
【解析】
随机闭合开关K₁、K₂、K₃中的两个，所有等可能的结果共有6种，分别为：(K₁,K₂)、(K₁,K₃)、(K₂,K₁)、(K₂,K₃)、(K₃,K₁)、(K₃,K₂)。
对每种结果分析电路状态：
1. 闭合(K₁,K₂)：K₂直接连通，造成电源短路，两灯均不发光；
2. 闭合(K₁,K₃)：电流路径为电源→K₃→L₂→K₁→L₁→电源，L₁、L₂同时发光；
3. 闭合(K₂,K₁)：同(K₁,K₂)，电源短路，两灯不发光；
4. 闭合(K₂,K₃)：电流路径为电源→K₃→L₂→K₂→电源，仅L₂发光；
5. 闭合(K₃,K₁)：同(K₁,K₃)，L₁、L₂同时发光；
6. 闭合(K₃,K₂)：同(K₂,K₃)，仅L₂发光。
其中能让两盏灯泡同时发光的结果有2种，根据概率公式：$ P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、电路分析
【点评】
本题结合电路知识考查概率的应用，是跨学科融合的典型题目，需先分析电路工作状态，再准确列举所有等可能情况，避免错判，注重知识的综合运用。
【难度系数】
0.5
12. 五边形的顶点 A 有一个跳蚤机器人,它每跳1 步可以等概率地跳到相邻的顶点. 顶点 C有一个陷阱,机器人跳到 C 就会触发毁灭程序. 机器人跳 4 步仍未毁灭的概率为
50
%.答案
解析:假设C处没有毁灭程序,机器人跳4步的路线画树状图如下:
通过树状图可知:路线共有16种,在路线中没有路过C的有8种,
∴ 机器人跳4步仍未毁灭的概率为$8÷16×100\%=50\%$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确跳蚤的跳跃规则：五边形顶点A的跳蚤每步只能跳到相邻顶点，跳到顶点C即触发毁灭，因此我们需要计算跳蚤跳4步过程中从未到达C的路线数，再除以所有可能的路线数，得到未毁灭的概率。首先确定五边形各顶点的相邻关系，再通过树状图列举所有可能的路线，统计不经过C的路线数量，最后计算概率。
【解析】
1. 确定五边形顶点的相邻关系：A相邻B、E；B相邻A、C；C相邻B、D；D相邻C、E；E相邻D、A。
2. 计算总路线数：跳蚤每步有2种跳跃选择，跳4步的总路线数为 $2^4 = 16$ 种。
3. 统计未经过C的路线数：通过树状图分析，跳4步从未到达C的路线有8种。
4. 计算概率：未毁灭的概率为 $\frac{8}{16} × 100\% = 50\%$。
【答案】
50%
【知识点】
概率计算、树状图法求概率
【点评】
本题是基础概率应用题，通过树状图列举所有可能的跳跃路线，排除触发毁灭的路线后计算概率，思路清晰，适合学生掌握基础概率的求解方法。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需明确跳蚤的跳跃规则：五边形顶点A的跳蚤每步只能跳到相邻顶点，跳到顶点C即触发毁灭，因此我们需要计算跳蚤跳4步过程中从未到达C的路线数，再除以所有可能的路线数，得到未毁灭的概率。首先确定五边形各顶点的相邻关系，再通过树状图列举所有可能的路线，统计不经过C的路线数量，最后计算概率。
【解析】
1. 确定五边形顶点的相邻关系：A相邻B、E；B相邻A、C；C相邻B、D；D相邻C、E；E相邻D、A。
2. 计算总路线数：跳蚤每步有2种跳跃选择，跳4步的总路线数为 $2^4 = 16$ 种。
3. 统计未经过C的路线数：通过树状图分析，跳4步从未到达C的路线有8种。
4. 计算概率：未毁灭的概率为 $\frac{8}{16} × 100\% = 50\%$。
【答案】
50%
【知识点】
概率计算、树状图法求概率
【点评】
本题是基础概率应用题，通过树状图列举所有可能的跳跃路线，排除触发毁灭的路线后计算概率，思路清晰，适合学生掌握基础概率的求解方法。
【难度系数】
0.5
13. (徐州中考)如图是一个竖直放置的钉板,其中,黑色圆面表示钉板上的钉子,$A_1,B_1$,$B_2,···,D_3,D_4$分别表示相邻两颗钉子之间的空隙,这些空隙大小均相等,从入口$A_1$处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球,圆球下落过程中,总是碰到空隙正下方的钉子,且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等,直至圆球落入下面的某个槽内.用画树状图的方法,求圆球落入③号槽内的概率.
答案
用树状图列出所有可能的结果,如图:
由图可知,共有8种等可能的结果,其中“圆球落入③号槽内”的有3种,
∴ $P$(圆球落入③号槽内)$=\dfrac{3}{8}$.
解析
【分析】要计算圆球落入③号槽内的概率，需通过画树状图列举所有等可能的下落结果，再找出落入③号槽的结果数，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”求解。圆球从入口A₁下落时，每次遇到钉子都会有向左、向右两种等可能的下落方向，需逐步分析每一步的分支情况，最终统计所有结果和目标结果。
【解析】
1. 绘制树状图列举所有等可能结果：
从A₁出发，有2种等可能的下落方向：B₁、B₂；
从B₁出发，有2种等可能的下落方向：C₁、C₂；从B₂出发，有2种等可能的下落方向：C₂、C₃；
从C₁出发，有2种等可能的下落方向：D₁、D₂；从C₂出发，有2种等可能的下落方向：D₂、D₃；从C₃出发，有2种等可能的下落方向：D₃、D₄；
最终共有2×2×2=8种等可能的结果，对应落入槽的情况为：①、②、②、③、②、③、③、④。
2. 统计符合条件的结果：落入③号槽内的结果共有3种。
3. 计算概率：根据概率公式，P(圆球落入③号槽内)=符合条件的结果数/所有等可能结果数=3/8。
【答案】P(圆球落入③号槽内)=3/8
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题考查用树状图法求简单随机事件的概率，核心是准确绘制树状图，不重复、不遗漏地列举所有等可能结果，属于基础概率应用题，需掌握概率的基本计算逻辑。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 绘制树状图列举所有等可能结果：
从A₁出发，有2种等可能的下落方向：B₁、B₂；
从B₁出发，有2种等可能的下落方向：C₁、C₂；从B₂出发，有2种等可能的下落方向：C₂、C₃；
从C₁出发，有2种等可能的下落方向：D₁、D₂；从C₂出发，有2种等可能的下落方向：D₂、D₃；从C₃出发，有2种等可能的下落方向：D₃、D₄；
最终共有2×2×2=8种等可能的结果，对应落入槽的情况为：①、②、②、③、②、③、③、④。
2. 统计符合条件的结果：落入③号槽内的结果共有3种。
3. 计算概率：根据概率公式，P(圆球落入③号槽内)=符合条件的结果数/所有等可能结果数=3/8。
【答案】P(圆球落入③号槽内)=3/8
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题考查用树状图法求简单随机事件的概率，核心是准确绘制树状图，不重复、不遗漏地列举所有等可能结果，属于基础概率应用题，需掌握概率的基本计算逻辑。
【难度系数】0.6
