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9. (1) (2024·连云港中考) 如图①, AB 是圆的直径, $∠ 1, ∠ 2, ∠ 3, ∠ 4$ 的顶点均在 AB 上方的圆弧上, $∠ 1, ∠ 4$ 的一边分别经过点 A, B,则 $∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=$
(2) (2026·南京月考) 如图②, 已知点 A, B,C, D, E 均在 $\odot O$ 上, 且 AC 为直径, 则 $∠ A+$$∠ B+∠ C=$
90
$°$.(2) (2026·南京月考) 如图②, 已知点 A, B,C, D, E 均在 $\odot O$ 上, 且 AC 为直径, 则 $∠ A+$$∠ B+∠ C=$
90
$°$.答案
9. (1) 90 解析:$\because AB$ 是圆的直径,$\therefore AB$ 所对的弧是半圆,所对圆心角的度数为 $180°$.$\because ∠ 1,∠ 2,∠ 3,∠ 4$ 所对的弧的和为半圆,$\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=\dfrac{1}{2}×180°=90°$.
(2) 90 解析:如图,连接 AB,BC,$\because AC$ 为直径,$\therefore ∠ ABC=90°$.$\because ∠ CBD=∠ CAD$,$∠ ABE=∠ ACE$,$\therefore ∠ CAD+∠ EBD+∠ ACE=∠ CBD+∠ EBD+∠ ABE=∠ ABC=90°$.
解析
【分析】
第(1)问：AB是圆的直径，对应半圆的圆心角为180°，∠1、∠2、∠3、∠4均为圆周角，根据圆周角定理，圆周角等于所对弧的圆心角的一半，这四个角所对弧的和为半圆，据此可计算它们的和。
第(2)问：AC是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得∠ABC=90°；再利用同弧所对圆周角相等，将∠A、∠B、∠C转化到∠ABC中，即可求出它们的和。
【解析】
(1) 因为AB是圆的直径，所以AB所对的弧为半圆，对应的圆心角为180°。
又因为∠1、∠2、∠3、∠4都是圆周角，且它们所对的弧的和等于半圆，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，因此∠1+∠2+∠3+∠4 = $\frac{1}{2}×180°=90°$。
(2) 连接AB、BC，因为AC是圆的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，所以∠ABC=90°。
根据“同弧所对的圆周角相等”，可得∠CBD=∠CAD，∠ABE=∠ACE，因此∠CAD + ∠EBD + ∠ACE = ∠CBD + ∠EBD + ∠ABE = ∠ABC=90°，即∠A+∠B+∠C=90°。
【答案】
9. (1) 90；(2) 90
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，同弧圆周角相等
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题，利用直径的特殊性质和同弧圆周角相等的性质，将所求角转化为直角，直接考察对圆周角定理的理解，难度较低。
【难度系数】
0.6
第(1)问：AB是圆的直径，对应半圆的圆心角为180°，∠1、∠2、∠3、∠4均为圆周角，根据圆周角定理，圆周角等于所对弧的圆心角的一半，这四个角所对弧的和为半圆，据此可计算它们的和。
第(2)问：AC是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得∠ABC=90°；再利用同弧所对圆周角相等，将∠A、∠B、∠C转化到∠ABC中，即可求出它们的和。
【解析】
(1) 因为AB是圆的直径，所以AB所对的弧为半圆，对应的圆心角为180°。
又因为∠1、∠2、∠3、∠4都是圆周角，且它们所对的弧的和等于半圆，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，因此∠1+∠2+∠3+∠4 = $\frac{1}{2}×180°=90°$。
(2) 连接AB、BC，因为AC是圆的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，所以∠ABC=90°。
根据“同弧所对的圆周角相等”，可得∠CBD=∠CAD，∠ABE=∠ACE，因此∠CAD + ∠EBD + ∠ACE = ∠CBD + ∠EBD + ∠ABE = ∠ABC=90°，即∠A+∠B+∠C=90°。
【答案】
9. (1) 90；(2) 90
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，同弧圆周角相等
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题，利用直径的特殊性质和同弧圆周角相等的性质，将所求角转化为直角，直接考察对圆周角定理的理解，难度较低。
【难度系数】
0.6
10. 新趋势 尺规作图 如图，AB 是半圆的直径，图①中，点 C 在半圆外；图②中，点 C 在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1) 在图①中，画出 $△ ABC$ 的三条高的交点；
(2) 在图②中，画出 $△ ABC$ 中 AB 边上的高.
(1) 在图①中，画出 $△ ABC$ 的三条高的交点；
(2) 在图②中，画出 $△ ABC$ 中 AB 边上的高.
答案
10. (1)如图①,点 P 即为所求.
(2)如图②,CP 即为所求.
解析
【分析】
本题需利用AB为半圆直径的性质（圆周角定理），结合三角形高的定义完成作图。(1) 找△ABC三条高的交点（垂心）：直径所对圆周角为直角，因此AC、BC与半圆的交点分别和对顶点的连线就是三角形的两条高，两条高的交点即为垂心；(2) 画AB边上的高：延长AC、BC交半圆于另两点，利用直径的直角性质构造两条高，其连线与AB垂直，即为AB边上的高。
【解析】
(1) 如图①，根据圆周角定理，AB是半圆直径，故AC与半圆交于点D，连接BD，则BD⊥AC（BD为AC边上的高）；BC与半圆交于点E，连接AE，则AE⊥BC（AE为BC边上的高）；BD与AE的交点P就是△ABC三条高的交点，即所求点。
(2) 如图②，延长AC交半圆于点D，延长BC交半圆于点E，连接AD、BE，AD与BE交于点F，连接CF并延长交AB于点P，则CP即为AB边上的高。
【答案】
(1) 图①中的点P；(2) 图②中的线段CP。
【知识点】
圆周角定理，三角形的高，尺规作图
【点评】
本题结合半圆的几何性质与三角形的高，考查尺规作图的应用，核心是利用“直径所对圆周角为直角”的性质构造三角形的高，属于基础几何作图题，需掌握相关几何定理与作图方法。
【难度系数】
0.5
本题需利用AB为半圆直径的性质（圆周角定理），结合三角形高的定义完成作图。(1) 找△ABC三条高的交点（垂心）：直径所对圆周角为直角，因此AC、BC与半圆的交点分别和对顶点的连线就是三角形的两条高，两条高的交点即为垂心；(2) 画AB边上的高：延长AC、BC交半圆于另两点，利用直径的直角性质构造两条高，其连线与AB垂直，即为AB边上的高。
【解析】
(1) 如图①，根据圆周角定理，AB是半圆直径，故AC与半圆交于点D，连接BD，则BD⊥AC（BD为AC边上的高）；BC与半圆交于点E，连接AE，则AE⊥BC（AE为BC边上的高）；BD与AE的交点P就是△ABC三条高的交点，即所求点。
(2) 如图②，延长AC交半圆于点D，延长BC交半圆于点E，连接AD、BE，AD与BE交于点F，连接CF并延长交AB于点P，则CP即为AB边上的高。
【答案】
(1) 图①中的点P；(2) 图②中的线段CP。
【知识点】
圆周角定理，三角形的高，尺规作图
【点评】
本题结合半圆的几何性质与三角形的高，考查尺规作图的应用，核心是利用“直径所对圆周角为直角”的性质构造三角形的高，属于基础几何作图题，需掌握相关几何定理与作图方法。
【难度系数】
0.5
11. (2024·安徽中考) 如图,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,$D$是直径$AB$上一点,$∠ ACD$的平分线交$AB$于点$E$,交$\odot O$于另一点$F$,$FA=FE$.
(1)求证:$CD ⊥ AB$;
(2)设$FM ⊥ AB$,垂足为$M$,若$OM=OE=1$,则$AC$的长为
(1)求证:$CD ⊥ AB$;
(2)设$FM ⊥ AB$,垂足为$M$,若$OM=OE=1$,则$AC$的长为
$4\sqrt{2}$
.答案
11. (1)$\because FA=FE$,$\therefore ∠ FAE=∠ AEF$.又$∠ FAE$ 与 $∠ BCE$ 都是 $\overset{\frown}{BF}$ 所对的圆周角,$\therefore ∠ FAE=∠ BCE$.$\because ∠ AEF=∠ CEB$,$\therefore ∠ CEB=∠ BCE$.$\because CE$ 平分 $∠ ACD$,$\therefore ∠ ACE=∠ DCE$.
$\because AB$ 是直径,$\therefore ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ CEB+∠ DCE=∠ BCE+∠ ACE=∠ ACB=90°$,故 $∠ CDE=90°$,即 $CD⊥ AB$.
(2)$4\sqrt{2}$ 解析:由(1)知,$∠ CEB=∠ BCE$,$\therefore BE=BC$.又$FA=FE$,$FM⊥ AB$,$\therefore MA=ME=MO+OE=2$,$AE=4$,$\therefore$ 圆的半径 $OA=OB=AE-OE=3$,$\therefore BE=BC=OB-OE=2$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB=2OA=6$,$BC=2$,$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$,即 $AC$ 的长为 $4\sqrt{2}$.
$\because AB$ 是直径,$\therefore ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ CEB+∠ DCE=∠ BCE+∠ ACE=∠ ACB=90°$,故 $∠ CDE=90°$,即 $CD⊥ AB$.
(2)$4\sqrt{2}$ 解析:由(1)知,$∠ CEB=∠ BCE$,$\therefore BE=BC$.又$FA=FE$,$FM⊥ AB$,$\therefore MA=ME=MO+OE=2$,$AE=4$,$\therefore$ 圆的半径 $OA=OB=AE-OE=3$,$\therefore BE=BC=OB-OE=2$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB=2OA=6$,$BC=2$,$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$,即 $AC$ 的长为 $4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
第(1)问要证明$CD⊥AB$，需推导$∠ CDE=90°$：先由$FA=FE$得等腰$△ FAE$的底角相等，结合同弧所对圆周角相等得到角的等量关系，再利用对顶角、角平分线性质，结合直径所对圆周角为直角，最终推出$∠ CDE=90°$；第(2)问求$AC$长，利用等腰三角形三线合一得$M$是$AE$中点，结合已知线段长度算出圆的半径，再通过等角对等边得到$BC$的长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算$AC$。
【解析】
(1) 证明：
$\because FA=FE$，$\therefore ∠ FAE=∠ AEF$（等腰三角形两底角相等）。
$\because ∠ FAE$与$∠ BCE$都是$\overset{\frown}{BF}$所对的圆周角，$\therefore ∠ FAE=∠ BCE$（同弧所对圆周角相等）。
又$\because ∠ AEF=∠ CEB$（对顶角相等），$\therefore ∠ CEB=∠ BCE$。
$\because CE$平分$∠ ACD$，$\therefore ∠ ACE=∠ DCE$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），即$∠ BCE+∠ ACE=90°$。
$\therefore ∠ CEB+∠ DCE=∠ BCE+∠ ACE=90°$，$\therefore ∠ CDE=180°-(∠ CEB+∠ DCE)=90°$，故$CD⊥AB$。
(2) 解：
$\because FA=FE$，$FM⊥AB$，$\therefore M$为$AE$的中点（等腰三角形三线合一），即$MA=ME$。
已知$OM=OE=1$，$\therefore ME=MO+OE=2$，$\therefore AE=2ME=4$。
$\therefore$圆的半径$OA=AE-OE=4-1=3$，故$AB=2OA=6$，$OB=OA=3$。
由(1)知$∠ CEB=∠ BCE$，$\therefore BE=BC$（等角对等边）。
又$BE=OB-OE=3-1=2$，$\therefore BC=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，综合考查圆的性质、等腰三角形性质及直角三角形的勾股定理，解题需灵活进行角的等量代换，逻辑推理要求较高，是中考常见的几何中档综合题。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明$CD⊥AB$，需推导$∠ CDE=90°$：先由$FA=FE$得等腰$△ FAE$的底角相等，结合同弧所对圆周角相等得到角的等量关系，再利用对顶角、角平分线性质，结合直径所对圆周角为直角，最终推出$∠ CDE=90°$；第(2)问求$AC$长，利用等腰三角形三线合一得$M$是$AE$中点，结合已知线段长度算出圆的半径，再通过等角对等边得到$BC$的长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算$AC$。
【解析】
(1) 证明：
$\because FA=FE$，$\therefore ∠ FAE=∠ AEF$（等腰三角形两底角相等）。
$\because ∠ FAE$与$∠ BCE$都是$\overset{\frown}{BF}$所对的圆周角，$\therefore ∠ FAE=∠ BCE$（同弧所对圆周角相等）。
又$\because ∠ AEF=∠ CEB$（对顶角相等），$\therefore ∠ CEB=∠ BCE$。
$\because CE$平分$∠ ACD$，$\therefore ∠ ACE=∠ DCE$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），即$∠ BCE+∠ ACE=90°$。
$\therefore ∠ CEB+∠ DCE=∠ BCE+∠ ACE=90°$，$\therefore ∠ CDE=180°-(∠ CEB+∠ DCE)=90°$，故$CD⊥AB$。
(2) 解：
$\because FA=FE$，$FM⊥AB$，$\therefore M$为$AE$的中点（等腰三角形三线合一），即$MA=ME$。
已知$OM=OE=1$，$\therefore ME=MO+OE=2$，$\therefore AE=2ME=4$。
$\therefore$圆的半径$OA=AE-OE=4-1=3$，故$AB=2OA=6$，$OB=OA=3$。
由(1)知$∠ CEB=∠ BCE$，$\therefore BE=BC$（等角对等边）。
又$BE=OB-OE=3-1=2$，$\therefore BC=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，综合考查圆的性质、等腰三角形性质及直角三角形的勾股定理，解题需灵活进行角的等量代换，逻辑推理要求较高，是中考常见的几何中档综合题。
【难度系数】
0.5
12. (2025·张掖月考)【问题提出】
(1) 如图①，$P$是半径为5的$\odot O$上一点，直线$m$是$\odot O$外一条直线，$PQ ⊥ m$于点$Q$，圆心$O$到直线$m$的距离为7，则线段$PQ$的最大值为
【问题探究】
(2) 如图②，点$P$是正方形$ABCD$内一点，连接$BP$，$CP$，则$∠ BPC=90°$。若$AB=4$，求$AP$的最小值；
【问题解决】
(3) 如图③，有一块形状为$△ ABC$的湿地，其中$∠ BAC=90°$，$AB=6\ \mathrm{km}$，$AC=3\ \mathrm{km}$。点$D$是$AC$上的一个动点，以$AD$为直径在$△ ABC$内作半圆$O$，现要将半圆$O$建为观测区，连接$BD$，$BD$与半圆$O$交于点$E$，连接$CE$，沿$CE$修一条步道，为了节约成本，要使得$CE$的长度最短，试求$CE$的最小值。
(1) 如图①，$P$是半径为5的$\odot O$上一点，直线$m$是$\odot O$外一条直线，$PQ ⊥ m$于点$Q$，圆心$O$到直线$m$的距离为7，则线段$PQ$的最大值为
12
；【问题探究】
(2) 如图②，点$P$是正方形$ABCD$内一点，连接$BP$，$CP$，则$∠ BPC=90°$。若$AB=4$，求$AP$的最小值；
【问题解决】
(3) 如图③，有一块形状为$△ ABC$的湿地，其中$∠ BAC=90°$，$AB=6\ \mathrm{km}$，$AC=3\ \mathrm{km}$。点$D$是$AC$上的一个动点，以$AD$为直径在$△ ABC$内作半圆$O$，现要将半圆$O$建为观测区，连接$BD$，$BD$与半圆$O$交于点$E$，连接$CE$，沿$CE$修一条步道，为了节约成本，要使得$CE$的长度最短，试求$CE$的最小值。
答案
12. (1)12 解析:PQ 的最大值为 7+5=12.
(2) 根据题意得 $BC=4$ 是定值,$∠ BPC=90°$,$\therefore$ 点 $P$ 的轨迹是以 $BC$ 为直径的 $\odot O$ 在正方形 $ABCD$ 内的部分,如图 ①,连接 $AO$,交 $\odot O$ 于点 $P'$,此时的 $AP'$ 即为 $AP$ 的最小值.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AB=BC=4$,$∠ ABC=90°$.
$\because BO=OP'=\dfrac{1}{2}BC=2$,$\therefore AO=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,$\therefore AP'=AO-OP'=2\sqrt{5}-2$,$\therefore AP$ 的最小值为 $2\sqrt{5}-2$.
(3) 如图②,连接 $AE$,根据题意得 $∠ AED=90°$,以 $AB$ 为直径作圆 $Q$,$∠ BEA=90°$,$\therefore$ 点 $E$ 在以 $AB$ 为直径的圆 $Q$ 上,连接 $QE$,当 $Q,E,C$ 三点共线时,$CE$ 取得最小值.
$\because ∠ BAC=90°$,$AB=6\ \mathrm{km}$,$AC=3\ \mathrm{km}$,$\therefore AQ=QE=\dfrac{1}{2}AB=3\ \mathrm{km}$,$CQ=\sqrt{AQ^2+AC^2}=3\sqrt{2}\ \mathrm{km}$,$\therefore CE=CQ-QE=(3\sqrt{2}-3)\mathrm{km}$,$\therefore CE$ 的最小值为 $(3\sqrt{2}-3)\mathrm{km}$.
解析
【分析】
本题为几何最值问题，核心思路是利用圆周角定理确定动点轨迹，再结合“定点到圆的最短距离=定点到圆心的距离-半径”求解：
(1) 圆上一点到直线的最大距离=圆心到直线的距离+圆半径，据此计算PQ最大值；
(2) 由∠BPC=90°，根据圆周角定理，点P的轨迹是以BC为直径的圆，AP最小值为A到该圆的最短距离；
(3) 由AD为半圆直径得∠AEB=90°，故E在以AB为直径的圆上，CE最小值为C到该圆的最短距离。
【解析】
(1) 已知⊙O半径为5，圆心O到直线m的距离为7，圆上点P到直线m的距离PQ最大值为圆心到直线的距离加半径，即7+5=12；
(2) 因为∠BPC=90°，根据圆周角定理，点P的轨迹是以BC为直径的圆（正方形内部分）。正方形ABCD中AB=BC=4，BC中点为O，则BO=OP'=2，AO=√(AB²+BO²)=√(4²+2²)=2√5，故AP最小值=AO-OP'=2√5-2；
(3) 因为AD是半圆O直径，所以∠AED=90°，即∠AEB=90°，故E在以AB为直径的圆Q上。AB=6，得AQ=QE=3；在Rt△AQC中，AC=3，CQ=√(AQ²+AC²)=3√2，故CE最小值=CQ-QE=3√2-3（km）。
【答案】
(1)12；(2)2√5 -2；(3)(3√2 -3)km
【知识点】
圆的最值、圆周角定理、正方形性质
【点评】
本题是轨迹法求几何最值的典型题，通过圆周角定理确定动点轨迹，转化为点到圆的最短距离计算，考查学生对圆相关性质的应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题为几何最值问题，核心思路是利用圆周角定理确定动点轨迹，再结合“定点到圆的最短距离=定点到圆心的距离-半径”求解：
(1) 圆上一点到直线的最大距离=圆心到直线的距离+圆半径，据此计算PQ最大值；
(2) 由∠BPC=90°，根据圆周角定理，点P的轨迹是以BC为直径的圆，AP最小值为A到该圆的最短距离；
(3) 由AD为半圆直径得∠AEB=90°，故E在以AB为直径的圆上，CE最小值为C到该圆的最短距离。
【解析】
(1) 已知⊙O半径为5，圆心O到直线m的距离为7，圆上点P到直线m的距离PQ最大值为圆心到直线的距离加半径，即7+5=12；
(2) 因为∠BPC=90°，根据圆周角定理，点P的轨迹是以BC为直径的圆（正方形内部分）。正方形ABCD中AB=BC=4，BC中点为O，则BO=OP'=2，AO=√(AB²+BO²)=√(4²+2²)=2√5，故AP最小值=AO-OP'=2√5-2；
(3) 因为AD是半圆O直径，所以∠AED=90°，即∠AEB=90°，故E在以AB为直径的圆Q上。AB=6，得AQ=QE=3；在Rt△AQC中，AC=3，CQ=√(AQ²+AC²)=3√2，故CE最小值=CQ-QE=3√2-3（km）。
【答案】
(1)12；(2)2√5 -2；(3)(3√2 -3)km
【知识点】
圆的最值、圆周角定理、正方形性质
【点评】
本题是轨迹法求几何最值的典型题，通过圆周角定理确定动点轨迹，转化为点到圆的最短距离计算，考查学生对圆相关性质的应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
