1. 圆的内接四边形 $ABCD$ 的四个内角度数之比
$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D$ 可能等于 （）

A.$1:2:3:4$
B.$1:4:3:2$
C.$2:1:3:4$
D.$1:2:1:2$

1. C 解析:
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
∴圆内接四边形ABCD的四个内角度数之比可能是2:1:3:4. 故选C.

【分析】
要解决本题，需先明确圆内接四边形的核心性质：对角互补，即∠A与∠C的度数和为180°，∠B与∠D的度数和也为180°。因此，四个内角的度数比例中，∠A对应的份数加上∠C对应的份数，必须等于∠B对应的份数加上∠D对应的份数（因为它们的度数和相等，均为180°）。接下来只需逐一计算各选项中对角的份数和，即可找到符合条件的选项。
【解析】
根据圆内接四边形的性质，对角互补，即∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°，故四个角的比例中，∠A与∠C的份数和等于∠B与∠D的份数和。对各选项分析：
选项A：∠A+∠C的份数和为1+3=4，∠B+∠D的份数和为2+4=6，4≠6，不符合；
选项B：∠A+∠C的份数和为1+3=4，∠B+∠D的份数和为4+2=6，4≠6，不符合；
选项C：∠A+∠C的份数和为2+3=5，∠B+∠D的份数和为1+4=5，5=5，符合；
选项D：∠A+∠C的份数和为1+1=2，∠B+∠D的份数和为2+2=4，2≠4，不符合；
因此答案为C。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查圆内接四边形的基础性质，核心是利用“对角互补”的特点，通过计算对角份数和是否相等即可快速解题，属于几何基础题，难度不大。
【难度系数】
0.3

2. 教材变式（2025·东营中考）如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，若$∠ BOD=130°$，则$∠ ECD$的度数是（）

A.$50°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$70°$

2. C 解析:
∵∠BOD=130°,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD=65°.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BCD+∠BAD=180°且∠BCD+∠ECD=180°,
∴∠ECD=∠BAD=65°.故选C.

【分析】
要解决本题，需运用圆的相关性质：首先根据圆周角定理，由圆心角∠BOD求出圆周角∠BAD的度数；再利用圆内接四边形的对角互补，结合邻补角的性质，推导出∠ECD与∠BAD相等，进而得到答案。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知∠BOD=130°，则弧BD所对的圆周角∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×130° = 65°。
2. 因为四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的性质：对角互补，所以∠BCD + ∠BAD = 180°。
3. 又因为∠BCD与∠ECD是邻补角，所以∠BCD + ∠ECD = 180°。
4. 根据同角的补角相等，可得∠ECD = ∠BAD = 65°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质
【点评】
本题结合圆周角定理与圆内接四边形的性质进行角度计算，是中考常见的基础题型，关键在于利用补角关系实现角度的转化，难度适中。
【难度系数】
0.5

3. (2025·济宁期中) 如图，$\odot C$ 过原点，且与两坐标轴分别交于点 $A,B$，点 $A$ 的坐标为$(0,3)$，$M$ 是第三象限内$\overset{\frown}{OB}$上一点，$∠ BMO=$$120°$，则$\odot C$的半径为.

3. 3 解析:
∵点A的坐标为(0,3),
∴OA=3.
∵四边形ABMO是圆内接四边形,
∴∠BMO+∠BAO=180°,又∠BMO=120°,
∴∠BAO=60°,则∠ABO=30°,
∴AB=2OA=6,则⊙C的半径为3.

【分析】首先，根据圆内接四边形的对角互补性质，可由∠BMO的度数求出∠BAO的度数；再结合坐标系中x轴与y轴垂直，得出∠AOB为直角，进而确定AB是⊙C的直径；最后在Rt△AOB中，利用直角三角形的性质计算出直径AB，即可得到⊙C的半径。
【解析】
∵点A的坐标为(0,3)，
∴OA=3。
∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得∠BMO + ∠BAO = 180°，已知∠BMO=120°，
∴∠BAO=180° - 120°=60°。
又
∵x轴与y轴垂直，
∴∠AOB=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知AB是⊙C的直径。
在Rt△AOB中，∠BAO=60°，则∠ABO=30°，根据直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得AB=2OA=2×3=6，因此⊙C的半径为AB/2=3。
【答案】3
【知识点】圆内接四边形性质，直角三角形性质，圆周角定理
【点评】本题结合坐标系考查圆的基础性质，关键是利用圆内接四边形的对角互补求出角度，再结合直角三角形的边长关系计算半径，属于几何基础题，需掌握相关核心性质。
【难度系数】0.5

4. (2024·牡丹江中考改编)如图,四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,$AB$是$\odot O$的直径,若$∠ BEC=20^{ \circ }$,则$∠ ADC$的度数为$°$.

4. 110 解析:如图,连接AC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BEC=20°,
∴∠CAB=∠BEC=20°,
∴∠ABC=90°-∠BAC=70°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠ADC=180°-∠ABC=110°.

【分析】
要解决这个问题，需运用圆的核心性质：直径所对的圆周角为直角、同弧所对的圆周角相等、圆内接四边形的对角互补。首先连接辅助线AC，将问题转化为直角三角形和圆内接四边形的角度计算，逐步推导得出∠ADC的度数。
【解析】
连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵∠BEC和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠BEC=20°（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ACB中，∠ABC=90°-∠CAB=90°-20°=70°，
又
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠ADC=180°-70°=110°。
【答案】
110
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题结合圆的多个基础性质进行角度计算，关键在于通过辅助线AC搭建起已知角和未知角的联系，属于圆相关角度计算的典型题型，需熟练掌握圆的基本性质。
【难度系数】
0.6

5. (2026·扬州校级月考)如图,在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中,$∠ ADE$是四边形$ABCD$的一个外角,且$DA$平分$∠ BDE$.
(1)求证:$AB=AC$;
(2)若点$F$在$\overset{\frown}{BC}$上,且$∠ F=118°$,求$∠ ADE$的度数.

5. (1)
∵DA 平分∠BDE,
∴∠ADE = ∠ADB.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,
∴∠ADB=∠ACB,
∴∠ADE=∠ACB,在⊙O 的内接四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ADC+∠ADE=180°,
∴∠ABC=∠ADE,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
(2)
∵∠F = 118°,四边形 BFCD 为圆内接四边形,
∴∠BDC=180°-∠F=62°,
∴∠BDE=180°-∠BDC=118°.
∵DA 平分∠BDE,
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$∠BDE=59°.

【分析】
第(1)问要证明AB=AC，需转化为证明∠ABC=∠ACB。先利用角平分线得到∠ADE=∠ADB，再结合同弧所对圆周角相等，推出∠ADE=∠ACB；接着根据圆内接四边形的外角等于内对角，得到∠ADE=∠ABC，从而证得∠ABC=∠ACB，即可得出AB=AC。第(2)问利用圆内接四边形对角互补求出∠BDC，再结合平角定义得到∠BDE，最后根据角平分线的性质计算∠ADE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ DA平分∠BDE，
∴ ∠ADE = ∠ADB。
∵ 同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角相等，
∴ ∠ADB = ∠ACB，
∴ ∠ADE = ∠ACB。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°。
又
∵ ∠ADC + ∠ADE = 180°，
∴ ∠ABC = ∠ADE，
∴ ∠ABC = ∠ACB，
∴ AB = AC。
(2) 解：
∵ 四边形BFCD是⊙O的内接四边形，∠F = 118°，
∴ ∠BDC = 180° - ∠F = 180° - 118° = 62°，
∴ ∠BDE = 180° - ∠BDC = 180° - 62° = 118°。
∵ DA平分∠BDE，
∴ ∠ADE = $\frac{1}{2}$∠BDE = $\frac{1}{2}$×118° = 59°。
【答案】
(1) 证明成立，AB=AC；(2) ∠ADE的度数为59°。
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与等腰三角形的判定，解题核心是熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理，结合角平分线的性质进行角度推导，属于中等难度的几何题型，需要学生具备一定的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5

6. (2024·济宁中考)如图,分别延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边,延长线相交于点 E,F.若 $∠E=54^{\circ }41',∠F=43^{\circ }19'$,则$∠A$的度数为（）

A.$42^{\circ }$
B.$41^{\circ }20'$
C.$41^{\circ }$
D.$40^{\circ }20'$

6. C 解析:
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠ABC+∠ADC=180°,∠A+∠BCD=180°.
∵∠ABC=∠E+∠ECB,∠ADC=∠F+∠DCF,
∴∠E+∠ECB+∠F+∠DCF=180°.
∵∠ECB=∠DCF,∠E=54°41',∠F=43°19',
∴54°41'+43°19'+2∠ECB=180°,解得∠ECB=41°.
∵∠ECB+∠BCD=180°,
∴∠A=∠ECB=41°.故选C.

【分析】
要解决本题，需利用圆内接四边形的性质、三角形外角的性质以及对顶角的关系。首先，圆内接四边形的对角互补，即∠ABC与∠ADC互补；其次，三角形的外角等于不相邻两内角之和，可将∠ABC、∠ADC用∠E、∠F和∠ECB、∠DCF表示；另外∠ECB与∠DCF是对顶角，二者相等。通过这些关系逐步推导，即可求出∠A的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形对角互补）。
又
∵∠ABC是△EBC的外角，
∴∠ABC = ∠E + ∠ECB；
∠ADC是△FDC的外角，
∴∠ADC = ∠F + ∠DCF。
将上述两式代入∠ABC + ∠ADC = 180°，得：
∠E + ∠ECB + ∠F + ∠DCF = 180°。
∵∠ECB与∠DCF是对顶角，
∴∠ECB = ∠DCF，
已知∠E=54°41'，∠F=43°19'，代入得：
54°41' + 43°19' + 2∠ECB = 180°，
计算得54°41' + 43°19' = 98°，
则98° + 2∠ECB = 180°，
解得∠ECB = 41°。
又
∵∠ECB + ∠BCD = 180°（邻补角互补），
且∠A + ∠BCD = 180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠A = ∠ECB = 41°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质，三角形外角性质，对顶角相等
【点评】
本题考查圆内接四边形的性质，需结合三角形外角、对顶角的性质进行角度转换，解题关键是利用圆内接四边形对角互补的特点建立已知角与所求角的关系，是中考常见题型。
【难度系数】
0.5

7. (2026·宁波期中)如图,已知圆内接四边形
$ABCD,AB=AD,∠ BAD=60^{\circ },AC=2$,则四边形
$ABCD$的面积为（）

A.4
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

7. D 解析:如图,将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE,过点A作AF⊥CD于点F,
∴△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠CAB=∠EAD,∠ABC=∠ADE,$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ADC+∠ADE=∠ADC+∠ABC=180°,
∴C,D,E三点共线,
∴四边形ABCD的面积等于$S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=S_{△ ADE}+S_{△ ACD}=S_{△ ACE}$.
∵∠BAD=60°,
∴∠CAE=∠BAD=60°,
∴△ACE为等边三角形,
∴CE=AC,
∴CF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AC=1,$AF=\sqrt{AC^2-CF^2}=\sqrt{3}$,
∴$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}×CE×AF=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$,
∴四边形ABCD的面积为$\sqrt{3}$.故选D.

【分析】
要解决这个问题，核心是利用旋转转化图形，结合圆内接四边形的性质将不规则四边形面积转化为规则三角形面积。已知AB=AD且∠BAD=60°，可通过旋转△ABC构造全等三角形，再结合圆内接四边形对角互补的性质，证明三点共线，最终将四边形面积转化为等边三角形的面积来计算。
【解析】
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE，过点A作AF⊥CD于点F。
1. 由旋转性质得：△ABC≌△ADE，因此AC=AE，∠CAB=∠EAD，∠ABC=∠ADE，且$S_{△ABC}=S_{△ADE}$。
2. 因为四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得∠ABC + ∠ADC = 180°。结合旋转的∠ABC=∠ADE，推出∠ADC + ∠ADE = 180°，故C、D、E三点共线。
3. 由此可得：四边形ABCD的面积 = $S_{△ABC}+S_{△ACD}=S_{△ADE}+S_{△ACD}=S_{△ACE}$。
4. 已知∠BAD=60°，则∠CAE=∠CAD + ∠EAD=∠CAD + ∠CAB=∠BAD=60°，又AC=AE，所以△ACE是等边三角形，故CE=AC=2。
5. 在等边△ACE中，AF⊥CD，所以$CF=\frac{1}{2}CE=1$，由勾股定理得$AF=\sqrt{AC^2 - CF^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
6. 计算$S_{△ACE}=\frac{1}{2}×CE×AF=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，即四边形ABCD的面积为$\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题通过旋转构造全等与等边三角形，将不规则四边形面积转化为规则三角形面积，巧妙运用圆内接四边形的性质证明三点共线，体现了转化思想，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

8. (2026·苏州校级月考)

用破损量角器按如图方式测量$∠ ABC$的度数，让$∠ ABC$的顶点恰好在量角器圆弧上,两边分别经过圆弧上的 A,C两点.若点 A,C 对应的刻度分别为$55^{\circ },135^{\circ },$则$∠ ABC$的度数为.

8. 140° 解析:画出草图如图,设⊙O的直径为EF,由题意可知,∠AOE=55°,∠EOC=135°,
∴∠AOC=∠EOC-∠AOE=135°-55°=80°,
∴∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC=40°.
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=140°.

【分析】
要计算∠ABC的度数，需先利用量角器刻度求出弧AC对应的圆心角，再结合圆周角定理和圆内接四边形的性质逐步推导：首先，量角器的刻度对应圆心角的度数，可算出弧AC的圆心角；再根据同弧所对圆周角与圆心角的关系得到另一个圆周角；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠ABC。
【解析】
1. 求圆心角∠AOC：已知点A、C对应的刻度分别为55°、135°，因此圆心角∠AOC = 135° - 55° = 80°；
2. 求同弧AC所对的圆周角∠ADC：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故∠ADC = ½∠AOC = ½×80° = 40°；
3. 计算∠ABC：因为四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，∠ABC + ∠ADC = 180°，所以∠ABC = 180° - 40° = 140°。
【答案】
140°
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质
【点评】
本题结合破损量角器考查圆周角定理与圆内接四边形的性质，解题核心是利用量角器刻度确定圆心角，再通过相关定理推导目标角，属于基础应用题型，需掌握圆的相关角的性质。
【难度系数】
0.5