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1. (2025·巴中中考) 如图,A,B,C 是$\odot O$上的点,BC 是圆的直径,在 BA 延长线上取一点 D,使$AD=AC$,连接 CD,则$∠ ACD$为 （
A.$70°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$
C
）A.$70°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$
答案
1. C 解析:
∵ BC 是圆的直径,$\therefore ∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ CAD=90°$.
$\because AD=AC$,$\therefore ∠ D=∠ ACD=\dfrac{180°-∠ CAD}{2}=45°$.故选 C.
∵ BC 是圆的直径,$\therefore ∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ CAD=90°$.
$\because AD=AC$,$\therefore ∠ D=∠ ACD=\dfrac{180°-∠ CAD}{2}=45°$.故选 C.
解析
【分析】首先，根据圆的直径所对的圆周角为直角这一性质，可得出∠BAC的度数，进而得到∠CAD的度数；再结合已知条件AD=AC，判断出△ACD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，即可计算出∠ACD的度数。
【解析】
∵ BC是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠BAC=90°，
∴ ∠CAD=180°-∠BAC=90°。又
∵ AD=AC，
∴ △ACD是等腰三角形，且顶角∠CAD=90°，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为180°，可得∠ACD=∠D=(180°-∠CAD)/2=(180°-90°)/2=45°。
【答案】C
【知识点】圆周角定理、等腰三角形性质
【点评】本题为中考基础几何题，主要考查圆周角定理和等腰三角形的性质，解题关键是利用直径构造直角，结合等腰三角形的角度关系求解，难度较低，属于易得分题型。
【难度系数】0.6
【解析】
∵ BC是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠BAC=90°，
∴ ∠CAD=180°-∠BAC=90°。又
∵ AD=AC，
∴ △ACD是等腰三角形，且顶角∠CAD=90°，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为180°，可得∠ACD=∠D=(180°-∠CAD)/2=(180°-90°)/2=45°。
【答案】C
【知识点】圆周角定理、等腰三角形性质
【点评】本题为中考基础几何题，主要考查圆周角定理和等腰三角形的性质，解题关键是利用直径构造直角，结合等腰三角形的角度关系求解，难度较低，属于易得分题型。
【难度系数】0.6
2. (2025·邢台期中)如图是用$\odot O$制作的表盘模型,其中点A,B分别与“2”“6”重合,要使$∠ ABC=90°$,则点C应位于（
A.“7”处
B.“8”处
C.“9”处
D.“10”处
B
）A.“7”处
B.“8”处
C.“9”处
D.“10”处
答案
2. B 解析:如图,连接AC,BC,$\because ∠ ABC=90°$,$\therefore AC$是$\odot O$的直径,即$∠ AOC=180°$.$\because$ 点A与“2”重合,$2+6=8$,$\therefore$ 点C应位于“8”处.故选 B.
解析
【分析】本题需利用圆周角定理的推论解题：90°的圆周角所对的弦是圆的直径。思路为：已知∠ABC=90°，可推出AC是⊙O的直径，即点A与点C在直径的两端；表盘为12等分的圆，直径对应的两个数字间隔为6，结合点A在“2”处，即可算出点C的位置。
【解析】连接AC、BC，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因为∠ABC=90°，所以AC是⊙O的直径，即点A和点C在直径的两端。由于表盘是12等分的圆，直径对应的两个数字相差6，已知点A与“2”重合，2+6=8，因此点C应位于“8”处，对应选项B。
【答案】B
【知识点】圆周角定理推论、圆的性质
【点评】本题是基础几何题，考查圆周角定理推论的应用，关键是掌握“90°的圆周角所对的弦是直径”这一结论，结合表盘数字的位置关系即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】连接AC、BC，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因为∠ABC=90°，所以AC是⊙O的直径，即点A和点C在直径的两端。由于表盘是12等分的圆，直径对应的两个数字相差6，已知点A与“2”重合，2+6=8，因此点C应位于“8”处，对应选项B。
【答案】B
【知识点】圆周角定理推论、圆的性质
【点评】本题是基础几何题，考查圆周角定理推论的应用，关键是掌握“90°的圆周角所对的弦是直径”这一结论，结合表盘数字的位置关系即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.6
3. (2026·苏州校级月考) 如图,$AB$是$\odot O$的直径, 弦 $CD$ 交 $AB$ 于点 $E$, 连接 $AC,AD$. 若$∠ BAC=29°$, 则 $∠ D=$
61
$°$.答案
3. 61 解析:如图,连接 BC.$\because AB$ 是直径,$\therefore ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ ABC=90°-∠ CAB=61°$,$\therefore ∠ D=∠ ABC=61°$.
解析
【分析】要计算∠D的度数，需利用圆的基本性质：AB是直径，连接BC后可得到直角三角形，算出∠ABC的度数，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠D与∠ABC相等，进而求解。
【解析】连接BC。
∵AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，
∴∠ACB=90°。
在Rt△ACB中，∠BAC=29°，
∴∠ABC=90°−∠BAC=90°−29°=61°。
又
∵∠D和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，
∴∠D=∠ABC=61°。
【答案】61
【知识点】圆周角定理
【点评】本题考查圆周角定理的应用，核心是利用直径构造直角，结合同弧圆周角相等的性质解题，属于基础题型，需熟练掌握圆的基本性质。
【难度系数】0.6
【解析】连接BC。
∵AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，
∴∠ACB=90°。
在Rt△ACB中，∠BAC=29°，
∴∠ABC=90°−∠BAC=90°−29°=61°。
又
∵∠D和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，
∴∠D=∠ABC=61°。
【答案】61
【知识点】圆周角定理
【点评】本题考查圆周角定理的应用，核心是利用直径构造直角，结合同弧圆周角相等的性质解题，属于基础题型，需熟练掌握圆的基本性质。
【难度系数】0.6
4. (重庆中考) 如图，$\odot O$ 是矩形 $ABCD$ 的外接圆，若 $AB=4,AD=3$，则图中阴影部分的面积为
$\frac{25}{4}π-12$
.(结果保留 $π$)答案
4. $\dfrac{25}{4}π-12$ 解析:如图,连接 BD,$\because$ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore BD$ 是$\odot O$ 的直径.$\because AB=4,AD=3$,$\therefore BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=5$,$\therefore \odot O$ 的半径为$\dfrac{5}{2}$,$\therefore \odot O$ 的面积为$\dfrac{25}{4}π$,矩形的面积为$3×4=12$,$\therefore$ 阴影部分的面积为$\dfrac{25}{4}π-12$.
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分面积等于圆的面积减去矩形ABCD的面积。由于矩形ABCD是⊙O的内接矩形，根据矩形外接圆的性质，矩形的对角线BD是⊙O的直径，因此先利用勾股定理求出对角线BD的长度，进而得到圆的半径，再分别计算圆的面积和矩形的面积，最后作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，矩形的外接圆直径等于矩形的对角线，即BD是⊙O的直径。
在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴⊙O的半径$r=\frac{BD}{2}=\frac{5}{2}$，
则⊙O的面积为$πr^2=π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}π$，
矩形ABCD的面积为$AB×AD=4×3=12$，
因此阴影部分的面积=⊙O的面积 - 矩形ABCD的面积=$\frac{25}{4}π -12$。
【答案】
$\dfrac{25}{4}π - 12$
【知识点】
圆的面积、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合矩形外接圆的性质，利用勾股定理求圆的直径，进而计算圆的面积，通过面积差求解阴影部分面积，是中考常见的几何面积计算题型，考查了学生对圆和矩形相关性质的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分面积等于圆的面积减去矩形ABCD的面积。由于矩形ABCD是⊙O的内接矩形，根据矩形外接圆的性质，矩形的对角线BD是⊙O的直径，因此先利用勾股定理求出对角线BD的长度，进而得到圆的半径，再分别计算圆的面积和矩形的面积，最后作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，矩形的外接圆直径等于矩形的对角线，即BD是⊙O的直径。
在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴⊙O的半径$r=\frac{BD}{2}=\frac{5}{2}$，
则⊙O的面积为$πr^2=π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}π$，
矩形ABCD的面积为$AB×AD=4×3=12$，
因此阴影部分的面积=⊙O的面积 - 矩形ABCD的面积=$\frac{25}{4}π -12$。
【答案】
$\dfrac{25}{4}π - 12$
【知识点】
圆的面积、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合矩形外接圆的性质，利用勾股定理求圆的直径，进而计算圆的面积，通过面积差求解阴影部分面积，是中考常见的几何面积计算题型，考查了学生对圆和矩形相关性质的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.5
5. 如图,$BD$是$\odot O$的直径,点$A,C$在$\odot O$上,$A$是$\overset{\frown}{BD}$的中点,$AC,BD$相交于点$E$,若$∠ COD=126°$,则$∠ AEB$的度数为
108°
.答案
5. $108°$ 解析:$\because BD$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BAD=90°$.$\because A$ 是$\overset{\frown}{BD}$的中点,$\therefore AB=AD$,$\therefore ∠ B=∠ D=45°$.$\because ∠ DAC=\dfrac{1}{2}∠ COD=\dfrac{1}{2}×126°=63°$,$\therefore ∠ AEB=∠ DAC+∠ D=63°+45°=108°$.
解析
【分析】
要计算∠AEB的度数，需结合圆的性质与三角形外角性质逐步推导：首先利用直径所对圆周角为直角得到∠BAD=90°；再由A是$\overset{\frown}{BD}$中点推出△ABD为等腰直角三角形，得到∠D=45°；接着根据圆周角定理求出∠DAC的度数；最后利用三角形外角性质，∠AEB等于∠DAC与∠D的和，即可得出结果。
【解析】
1. 因为BD是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，得∠BAD=90°。
2. 由于A是$\overset{\frown}{BD}$的中点，故$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，则AB=AD，△ABD为等腰直角三角形，因此∠D=∠ABD=45°。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠DAC是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，∠COD是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆心角，所以∠DAC=$\frac{1}{2}∠COD$。已知∠COD=126°，代入得∠DAC=$\frac{1}{2}×126°=63°$。
4. 根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠AEB是△ADE的外角，故∠AEB=∠DAC + ∠D=63°+45°=108°。
【答案】
108°
【知识点】
圆周角定理、直径的性质、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形外角性质，解题核心是熟练运用圆周角定理和直径的性质，逐步推导角度关系，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.6
要计算∠AEB的度数，需结合圆的性质与三角形外角性质逐步推导：首先利用直径所对圆周角为直角得到∠BAD=90°；再由A是$\overset{\frown}{BD}$中点推出△ABD为等腰直角三角形，得到∠D=45°；接着根据圆周角定理求出∠DAC的度数；最后利用三角形外角性质，∠AEB等于∠DAC与∠D的和，即可得出结果。
【解析】
1. 因为BD是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，得∠BAD=90°。
2. 由于A是$\overset{\frown}{BD}$的中点，故$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，则AB=AD，△ABD为等腰直角三角形，因此∠D=∠ABD=45°。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠DAC是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，∠COD是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆心角，所以∠DAC=$\frac{1}{2}∠COD$。已知∠COD=126°，代入得∠DAC=$\frac{1}{2}×126°=63°$。
4. 根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠AEB是△ADE的外角，故∠AEB=∠DAC + ∠D=63°+45°=108°。
【答案】
108°
【知识点】
圆周角定理、直径的性质、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形外角性质，解题核心是熟练运用圆周角定理和直径的性质，逐步推导角度关系，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.6
6. (2025·杭州期中) 如图,在$△ ABC$中,以$AB$为直径的$\odot O$交边$AC$,$BC$于点$D$,$E$,且$E$为$BC$边的中点.
(1)求证:$AC=AB$;
(2)若$AB=10$,$AD=6$,求$BE$.
(1)求证:$AC=AB$;
(2)若$AB=10$,$AD=6$,求$BE$.
答案
6. (1)如图,连接 AE,$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ AEB=90°$.$\because E$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore AE$ 垂直平分 $BC$,$\therefore AC=AB$.
(2)连接 BD,如图,$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ ADB=90°$,在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$\because AB=10,AD=6$,$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=8$.
$\because AC=AB=10$,$\therefore CD=AC-AD=10-6=4$,在$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$.$\because E$ 为 $BC$ 边的中点,$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
要解决这道题，分两小问逐步思考：(1) 证明AC=AB，需利用“直径所对圆周角为直角”的性质，连接AE得到直角，结合E是BC中点，推出AE垂直平分BC，进而得到AC=AB；(2) 求BE，先利用“直径所对圆周角为直角”，在Rt△ABD中用勾股定理计算BD，再结合(1)中AC=AB算出CD，在Rt△BCD中计算BC，最后由E是BC中点得出BE。
【解析】
(1) 连接AE，
∵AB为⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC。
又
∵E为BC的中点，
∴AE垂直平分BC，
根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴AC=AB。
(2) 连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，由勾股定理得：
BD=√(AB² - AD²)=√(10² - 6²)=√64=8。
由(1)知AC=AB=10，
∴CD=AC - AD=10 - 6=4。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BC=√(CD² + BD²)=√(4² + 8²)=√80=4√5。
∵E为BC边的中点，
∴BE=½BC=½×4√5=2√5。
【答案】
6. (1)如图,连接 AE,$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ AEB=90°$.$\because E$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore AE$ 垂直平分 $BC$,$\therefore AC=AB$.
(2)连接 BD,如图,$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ ADB=90°$,在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$\because AB=10,AD=6$,$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=8$.
$\because AC=AB=10$,$\therefore CD=AC-AD=10-6=4$,在$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$.$\because E$ 为 $BC$ 边的中点,$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$.
【知识点】
圆周角定理，垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，通过构造辅助线，结合圆周角定理、垂直平分线性质及勾股定理解决问题，考查学生的几何推理与计算能力，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，分两小问逐步思考：(1) 证明AC=AB，需利用“直径所对圆周角为直角”的性质，连接AE得到直角，结合E是BC中点，推出AE垂直平分BC，进而得到AC=AB；(2) 求BE，先利用“直径所对圆周角为直角”，在Rt△ABD中用勾股定理计算BD，再结合(1)中AC=AB算出CD，在Rt△BCD中计算BC，最后由E是BC中点得出BE。
【解析】
(1) 连接AE，
∵AB为⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC。
又
∵E为BC的中点，
∴AE垂直平分BC，
根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴AC=AB。
(2) 连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，由勾股定理得：
BD=√(AB² - AD²)=√(10² - 6²)=√64=8。
由(1)知AC=AB=10，
∴CD=AC - AD=10 - 6=4。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BC=√(CD² + BD²)=√(4² + 8²)=√80=4√5。
∵E为BC边的中点，
∴BE=½BC=½×4√5=2√5。
【答案】
6. (1)如图,连接 AE,$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ AEB=90°$.$\because E$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore AE$ 垂直平分 $BC$,$\therefore AC=AB$.
(2)连接 BD,如图,$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ ADB=90°$,在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$\because AB=10,AD=6$,$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=8$.
$\because AC=AB=10$,$\therefore CD=AC-AD=10-6=4$,在$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$.$\because E$ 为 $BC$ 边的中点,$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$.
【知识点】
圆周角定理，垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，通过构造辅助线，结合圆周角定理、垂直平分线性质及勾股定理解决问题，考查学生的几何推理与计算能力，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
7. (2025·徐州期中) 如图, AB 是 $\odot O$ 的弦, 点 P为优弧 A B 上的一点, $∠ APB$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $Q,AB=6,∠ APB=60°$, 则在点 P 运动的过程中,PQ 长的最大值为
（
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.6
D.$3+2\sqrt{3}$
（
B
）A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.6
D.$3+2\sqrt{3}$
答案
7. B 解析:根据题意,当 PQ 为$\odot O$ 的直径时,PQ 的长最大,如图,连接 AQ,$\because ∠ APB$ 的平分线交$\odot O$ 于点 $Q$,$∠ APB=60°$,$\therefore ∠ APQ=∠ BPQ=30°$,$\therefore \overset{\frown}{AQ}=\overset{\frown}{BQ}$.$\because PQ$ 为$\odot O$ 的直径,$\therefore \overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{BP}$,$∠ PAQ=90°$,$\therefore AP=PB$,$\therefore △ PAB$ 是等边三角形,$\therefore AP=AB=6$, 在$\mathrm{Rt}△ APQ$ 中,$PQ=2AQ$,$\therefore AP^2=PQ^2-AQ^2=\dfrac{3}{4}PQ^2$,$\therefore PQ^2=\dfrac{4}{3}×6^2=48$,则 $PQ=4\sqrt{3}$,即在点 P 运动的过程中,PQ 长的最大值为 $4\sqrt{3}$.故选 B.
解析
【分析】要解决PQ的最大值问题，首先回忆圆的核心性质：直径是圆中最长的弦，因此PQ的最大值应为⊙O的直径。接下来，利用角平分线的性质将∠APB分为两个30°的角，结合圆周角定理推导弧的关系；当PQ为直径时，直径所对的圆周角为直角，再结合已知∠APB=60°，可推出△PAB是等边三角形，最后通过勾股定理计算直径长度，即可得到PQ的最大值。
【解析】
1. 由PQ平分∠APB，且∠APB=60°，得$∠ APQ=∠ BPQ=30°$，根据圆周角定理：相等的圆周角所对的弧相等，故$\overset{\frown}{AQ}=\overset{\frown}{BQ}$。
2. 圆中最长的弦是直径，因此当PQ为⊙O的直径时，PQ取得最大值。此时PQ是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ PAQ=90°$。
3. 因为$∠ APQ=∠ BPQ$，所以$\overset{\frown}{AQ}=\overset{\frown}{BQ}$；又PQ为直径，故$\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{BP}$，因此AP=BP。结合∠APB=60°，可得△PAB是等边三角形，故AP=AB=6。
4. 在$\mathrm{Rt}△ APQ$中，∠APQ=30°，设AQ=x，则PQ=2x，由勾股定理得：
$AP^2 + AQ^2 = PQ^2$，代入AP=6得：
$6^2 + x^2 = (2x)^2$，化简得$36 + x^2 = 4x^2$，解得$x^2=12$，即$x=2\sqrt{3}$，因此$PQ=2x=4\sqrt{3}$。
【答案】B
【知识点】圆周角定理，等边三角形判定，勾股定理
【点评】本题综合考查圆的性质与三角形知识，核心是利用“直径是最长弦”确定PQ的最大值，结合角平分线和圆周角定理推导等边三角形，进而用勾股定理计算，需要学生熟练掌握圆的基本性质和三角形判定定理，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 由PQ平分∠APB，且∠APB=60°，得$∠ APQ=∠ BPQ=30°$，根据圆周角定理：相等的圆周角所对的弧相等，故$\overset{\frown}{AQ}=\overset{\frown}{BQ}$。
2. 圆中最长的弦是直径，因此当PQ为⊙O的直径时，PQ取得最大值。此时PQ是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ PAQ=90°$。
3. 因为$∠ APQ=∠ BPQ$，所以$\overset{\frown}{AQ}=\overset{\frown}{BQ}$；又PQ为直径，故$\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{BP}$，因此AP=BP。结合∠APB=60°，可得△PAB是等边三角形，故AP=AB=6。
4. 在$\mathrm{Rt}△ APQ$中，∠APQ=30°，设AQ=x，则PQ=2x，由勾股定理得：
$AP^2 + AQ^2 = PQ^2$，代入AP=6得：
$6^2 + x^2 = (2x)^2$，化简得$36 + x^2 = 4x^2$，解得$x^2=12$，即$x=2\sqrt{3}$，因此$PQ=2x=4\sqrt{3}$。
【答案】B
【知识点】圆周角定理，等边三角形判定，勾股定理
【点评】本题综合考查圆的性质与三角形知识，核心是利用“直径是最长弦”确定PQ的最大值，结合角平分线和圆周角定理推导等边三角形，进而用勾股定理计算，需要学生熟练掌握圆的基本性质和三角形判定定理，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
8. (眉山中考) 如图,在以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 中,点 $C$ 为圆上的一点, $\overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AC}$, 弦 $CD ⊥ AB$ 于点 $E$, 弦 $AF$ 交 $CE$ 于点 $H$, 交 $BC$ 于点 $G$. 若点 $H$ 是 $AG$ 的中点, 则 $∠ CBF$ 的度数为 （
A.$18°$
B.$21°$
C.$22.5°$
D.$30°$
C
）A.$18°$
B.$21°$
C.$22.5°$
D.$30°$
答案
8. C 解析:$\because AB$ 是直径,$\therefore ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ ABC+∠ CAB=90°$.$\because \overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AC}$,$\therefore ∠ CAB=3∠ ABC$,$\therefore ∠ ABC=22.5°$,$∠ CAB=67.5°$.$\because CD⊥ AB$,$\therefore ∠ ACE=22.5°$.$\because$ 点 $H$ 是 $AG$ 的中点,$∠ ACB=90°$,$\therefore AH=CH=HG$,$\therefore ∠ CAH=∠ ACE=22.5°$.$\because ∠ CAF=∠ CBF$,$\therefore ∠ CBF=22.5°$.故选 C.
解析
【分析】
要解决本题，需结合圆的性质与直角三角形的性质逐步推导：首先利用直径所对圆周角为直角，结合弧的比例关系求出∠CAB和∠ABC的度数；再由CD⊥AB，利用同角的余角相等得到∠ACE与∠ABC相等；接着根据直角三角形斜边中线的性质，由H是AG中点推出∠CAH=∠ACE；最后利用同弧所对的圆周角相等，得到∠CBF=∠CAH，从而求出结果。
【解析】
1. 因为AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，得∠ACB=90°，因此∠CAB + ∠ABC=90°。
2. 已知$\overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AC}$，根据“同圆中，弧的比等于其所对圆周角的比”，得∠CAB=3∠ABC。代入∠CAB + ∠ABC=90°，得3∠ABC + ∠ABC=90°，解得∠ABC=22.5°，∠CAB=67.5°。
3. 因为CD⊥AB，所以∠AEC=90°，在Rt△ACE中，∠ACE + ∠CAB=90°；结合Rt△ABC中∠ABC + ∠CAB=90°，根据“同角的余角相等”，得∠ACE=∠ABC=22.5°。
4. 因为H是AG中点，且∠ACB=90°，在Rt△ACG中，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，得CH=AH=HG，因此∠CAH=∠ACE=22.5°。
5. 因为∠CAF和∠CBF都是$\overset{\frown}{CF}$所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠CAF=∠CBF，故∠CBF=22.5°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，直角三角形性质，同弧圆周角相等
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的性质，解题关键是利用弧的比例关系确定角的等量关系，结合直角三角形斜边中线性质推导角度，最终通过同弧圆周角相等得到所求结果，需熟练掌握相关几何定理的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合圆的性质与直角三角形的性质逐步推导：首先利用直径所对圆周角为直角，结合弧的比例关系求出∠CAB和∠ABC的度数；再由CD⊥AB，利用同角的余角相等得到∠ACE与∠ABC相等；接着根据直角三角形斜边中线的性质，由H是AG中点推出∠CAH=∠ACE；最后利用同弧所对的圆周角相等，得到∠CBF=∠CAH，从而求出结果。
【解析】
1. 因为AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，得∠ACB=90°，因此∠CAB + ∠ABC=90°。
2. 已知$\overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AC}$，根据“同圆中，弧的比等于其所对圆周角的比”，得∠CAB=3∠ABC。代入∠CAB + ∠ABC=90°，得3∠ABC + ∠ABC=90°，解得∠ABC=22.5°，∠CAB=67.5°。
3. 因为CD⊥AB，所以∠AEC=90°，在Rt△ACE中，∠ACE + ∠CAB=90°；结合Rt△ABC中∠ABC + ∠CAB=90°，根据“同角的余角相等”，得∠ACE=∠ABC=22.5°。
4. 因为H是AG中点，且∠ACB=90°，在Rt△ACG中，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，得CH=AH=HG，因此∠CAH=∠ACE=22.5°。
5. 因为∠CAF和∠CBF都是$\overset{\frown}{CF}$所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠CAF=∠CBF，故∠CBF=22.5°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，直角三角形性质，同弧圆周角相等
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的性质，解题关键是利用弧的比例关系确定角的等量关系，结合直角三角形斜边中线性质推导角度，最终通过同弧圆周角相等得到所求结果，需熟练掌握相关几何定理的应用。
【难度系数】
0.5
