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8. (1)(巴中中考改编)如图①,$AB$是$\odot O$的弦,且$AB=6$,点$C$是劣弧$AB$的中点,点$D$是优弧$AB$上的一点,$∠ ADC=30°$,则圆心$O$到弦$AB$的距离等于
(2)(2026·南通校级月考)如图②,$AB,CD$是$\odot O$的两条弦,且$AB=CD$,$AB⊥ CD$于点$E$,连接$AD$.若$\odot O$的半径为$5$,则弦$AD$的长为
$\sqrt{3}$
.(2)(2026·南通校级月考)如图②,$AB,CD$是$\odot O$的两条弦,且$AB=CD$,$AB⊥ CD$于点$E$,连接$AD$.若$\odot O$的半径为$5$,则弦$AD$的长为
$5\sqrt{2}$
.答案
8.(1)$\sqrt{3}$ 解析:如图①,连接 OA,OC,OC 交 AB 于点 E.
∵ 点 C 是劣弧 AB 的中点,AB = 6,
∴ OC ⊥ AB,且 AE = BE = 3.
∵ ∠ADC=30°,
∴ ∠AOC=2∠ADC=60°,
∴ ∠OAE=30°.易得 OE=$\sqrt{3}$,故圆心 O 到弦 AB 的距离为$\sqrt{3}$.
(2)$5\sqrt{2}$ 解析:如图②所示,连接 OA,OD,BD,BC,
∵ AB=CD,AB ⊥ CD,
∴ ∠BED = 90°,∠DBC = ∠BDA.
∵ ∠ABC = ∠ADC,
∴ ∠ABD = ∠CDB=45°,
∴ ∠AOD = 2∠ABD = 90°,
∴ AD = $\sqrt{OA^2+OD^2}=5\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 需利用圆中弧中点的性质：劣弧中点与圆心的连线垂直平分弦，结合圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半），构造直角三角形求解圆心到弦的距离；
(2) 由弦相等得对应弧相等，结合垂直条件推出圆周角为45°，再利用圆周角定理得到圆心角，最后用勾股定理计算弦长AD。
【解析】
(1) 如图①，连接OA、OC，OC交AB于点E。
∵ 点C是劣弧AB的中点，根据圆的性质，OC垂直平分AB，
∴ $ AE = BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3 $，且OC⊥AB，即OE为圆心O到AB的距离。
∵ ∠ADC是圆周角，∠AOC是同弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理，$ ∠AOC = 2∠ADC = 2×30° = 60° $。
在Rt△OAE中，$ ∠OAE = 90° - ∠AOC = 30° $，设OE = x，则OA = 2x，由勾股定理：$ OA^2 = OE^2 + AE^2 $，即$ (2x)^2 = x^2 + 3^2 $，解得$ x = \sqrt{3} $，故圆心O到弦AB的距离为$ \sqrt{3} $。
(2) 如图②，连接OA、OD、BD、BC。
∵ AB = CD，
∴ 弧AB = 弧CD，故∠ADB = ∠CBD（等弧所对圆周角相等）。
又
∵ AB⊥CD于E，
∴ ∠BED = 90°，在△BED中，$ ∠ABD + ∠CDB = 90° $。
结合圆周角性质，$ ∠ABD = ∠CDB = 45° $，而∠ABD是弧AD所对的圆周角，对应的圆心角$ ∠AOD = 2∠ABD = 90° $。
∵ OA、OD是⊙O的半径，OA = OD = 5，在Rt△AOD中，由勾股定理：$ AD = \sqrt{OA^2 + OD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2} $。
【答案】
8.(1)$\sqrt{3}$ (2)$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用，第一问考查垂径定理与圆周角定理的结合，第二问利用弦与弧的关系推导圆心角，需熟练掌握圆的核心性质，属于中等难度的圆相关题型。
【难度系数】
0.5
(1) 需利用圆中弧中点的性质：劣弧中点与圆心的连线垂直平分弦，结合圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半），构造直角三角形求解圆心到弦的距离；
(2) 由弦相等得对应弧相等，结合垂直条件推出圆周角为45°，再利用圆周角定理得到圆心角，最后用勾股定理计算弦长AD。
【解析】
(1) 如图①，连接OA、OC，OC交AB于点E。
∵ 点C是劣弧AB的中点，根据圆的性质，OC垂直平分AB，
∴ $ AE = BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3 $，且OC⊥AB，即OE为圆心O到AB的距离。
∵ ∠ADC是圆周角，∠AOC是同弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理，$ ∠AOC = 2∠ADC = 2×30° = 60° $。
在Rt△OAE中，$ ∠OAE = 90° - ∠AOC = 30° $，设OE = x，则OA = 2x，由勾股定理：$ OA^2 = OE^2 + AE^2 $，即$ (2x)^2 = x^2 + 3^2 $，解得$ x = \sqrt{3} $，故圆心O到弦AB的距离为$ \sqrt{3} $。
(2) 如图②，连接OA、OD、BD、BC。
∵ AB = CD，
∴ 弧AB = 弧CD，故∠ADB = ∠CBD（等弧所对圆周角相等）。
又
∵ AB⊥CD于E，
∴ ∠BED = 90°，在△BED中，$ ∠ABD + ∠CDB = 90° $。
结合圆周角性质，$ ∠ABD = ∠CDB = 45° $，而∠ABD是弧AD所对的圆周角，对应的圆心角$ ∠AOD = 2∠ABD = 90° $。
∵ OA、OD是⊙O的半径，OA = OD = 5，在Rt△AOD中，由勾股定理：$ AD = \sqrt{OA^2 + OD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2} $。
【答案】
8.(1)$\sqrt{3}$ (2)$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用，第一问考查垂径定理与圆周角定理的结合，第二问利用弦与弧的关系推导圆心角，需熟练掌握圆的核心性质，属于中等难度的圆相关题型。
【难度系数】
0.5
9. (2025·南京中考) 如图,扇形 $OAB$ 的圆心角为 $260°$,若点 $P$ 在该扇形内,则 $∠ APB$ 的度数的范围是
$50°＜∠APB＜140°$
.答案
$50°＜∠APB＜140°$ 解析:当点 P 靠近扇形中弧的边缘时,延长 AO 交圆 O 于点 C,连接 BC,BP,如图①所示,
∵ 扇形 OAB 的圆心角为 260°,
∴ ∠1 = 360°−260°=100°,根据圆周角定理得∠C = $\frac{1}{2}$∠1 = 50°,当点 P 在扇形内部时,则∠APB＞∠C=50°;当点 P 靠近点 A 时,设点 P 在线段 AO 上,连接 AB,BP,如图②,
∵ OA=OB,
∴ ∠OAB=∠OBA=(180°−100°)÷2=40°,
∴ ∠OBP＜∠OBA=40°.
∵ ∠APB=∠AOB+∠OBP=100°+∠OBP,
∴ ∠APB＜140°.当点 P 在扇形内部且靠近点 A 时,同样有∠APB＜140°.故答案为$50°＜∠APB＜140°$.
解析
【分析】要确定扇形内点P对应的∠APB的范围，需分别找到∠APB的最小值和最大值。最小值可通过构造圆周角，利用圆周角定理求解；最大值可通过构造等腰三角形，结合三角形外角性质分析，关键是找到点P在扇形内的临界位置，进而推导角的范围。
【解析】已知扇形OAB的圆心角为260°，则∠AOB = 360° - 260° = 100°。
1. 求∠APB的最小值：延长AO交圆O于点C，连接BC，如图①。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AB对应的圆心角为∠AOB=100°，故∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 50°。因为点P在扇形内部，所以∠APB＞∠ACB=50°。
2. 求∠APB的最大值：当点P靠近线段OA时，设P在线段AO上，连接AB，如图②。因为OA=OB，△OAB为等腰三角形，所以∠OAB=∠OBA = $\frac{180° - ∠AOB}{2}$ = $\frac{180° - 100°}{2}$ = 40°。此时∠APB是△OBP的外角，根据三角形外角性质，∠APB = ∠AOB + ∠OBP。由于∠OBP＜∠OBA=40°，因此∠APB＜100° + 40°=140°。
综上，∠APB的度数范围是50°＜∠APB＜140°。
【答案】$50°＜∠APB＜140°$
【知识点】圆周角定理、三角形外角性质、等腰三角形性质
【点评】本题结合扇形与三角形的性质，通过构造辅助线找到临界位置，利用圆周角定理和三角形内外角关系推导角的范围，考查学生的几何构造与逻辑推理能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】0.4
【解析】已知扇形OAB的圆心角为260°，则∠AOB = 360° - 260° = 100°。
1. 求∠APB的最小值：延长AO交圆O于点C，连接BC，如图①。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AB对应的圆心角为∠AOB=100°，故∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 50°。因为点P在扇形内部，所以∠APB＞∠ACB=50°。
2. 求∠APB的最大值：当点P靠近线段OA时，设P在线段AO上，连接AB，如图②。因为OA=OB，△OAB为等腰三角形，所以∠OAB=∠OBA = $\frac{180° - ∠AOB}{2}$ = $\frac{180° - 100°}{2}$ = 40°。此时∠APB是△OBP的外角，根据三角形外角性质，∠APB = ∠AOB + ∠OBP。由于∠OBP＜∠OBA=40°，因此∠APB＜100° + 40°=140°。
综上，∠APB的度数范围是50°＜∠APB＜140°。
【答案】$50°＜∠APB＜140°$
【知识点】圆周角定理、三角形外角性质、等腰三角形性质
【点评】本题结合扇形与三角形的性质，通过构造辅助线找到临界位置，利用圆周角定理和三角形内外角关系推导角的范围，考查学生的几何构造与逻辑推理能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】0.4
10. 如图,点 A,B,C,D 在 $\odot O$ 上,$AB=BC=DA$,
$AD,BC$ 的延长线交于点 P,且 $∠ P=40°$,则
$\overset{\frown}{CD}$的度数为
$AD,BC$ 的延长线交于点 P,且 $∠ P=40°$,则
$\overset{\frown}{CD}$的度数为
$30°$
.答案
30° 解析:连接 BD,AC.
∵ AB=BC=AD,
∴ $\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{AD}$,
∴ ∠ADB=∠BAC=∠ABD=∠ACB.
∵ ∠ADB=∠DBP+∠P=∠DBP+40°,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴ ∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°=180°,解得∠DBP=15°,
∴ $\widehat{CD}$的度数为30°.
∵ AB=BC=AD,
∴ $\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{AD}$,
∴ ∠ADB=∠BAC=∠ABD=∠ACB.
∵ ∠ADB=∠DBP+∠P=∠DBP+40°,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴ ∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°=180°,解得∠DBP=15°,
∴ $\widehat{CD}$的度数为30°.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用同圆中相等的弦对应相等的弧，由AB=BC=DA得出弧AB=弧BC=弧AD，进而得到对应的圆周角相等；再结合三角形外角性质和内角和定理，建立角的等量关系求出相关角的度数；最后根据圆周角与弧的度数关系，计算出弧CD的度数。
【解析】
连接BD、AC。
∵ 在⊙O中，AB=BC=DA，
∴ 弧AB=弧BC=弧AD，
∴ 对应的圆周角相等，即∠ADB=∠BAC=∠ABD=∠ACB。
∵ ∠ADB是△PBD的外角，
∴ ∠ADB=∠DBP + ∠P，
已知∠P=40°，故∠ADB=∠DBP + 40°，即∠ABD=∠DBP + 40°。
在△ABC中，∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°，
而∠ABC=∠ABD + ∠DBP，∠BAC=∠ACB=∠ABD，
代入得：(∠ABD + ∠DBP) + ∠ABD + ∠ABD = 180°，
整理得：3∠ABD + ∠DBP = 180°。
将∠ABD=∠DBP + 40°代入上式：
3(∠DBP + 40°) + ∠DBP = 180°，
计算得：4∠DBP + 120° = 180°，
解得∠DBP=15°。
根据圆周角定理，圆周角的度数等于所对弧度数的一半，∠DBP所对的弧是CD，
故弧CD的度数=2×∠DBP=2×15°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
圆周角定理；弧与弦的关系；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形相关定理，需要熟练运用弧、弦、圆周角的对应关系，结合三角形外角和内角和建立等量关系求解，对逻辑推理能力有一定要求，属于中等难度的圆相关题目。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用同圆中相等的弦对应相等的弧，由AB=BC=DA得出弧AB=弧BC=弧AD，进而得到对应的圆周角相等；再结合三角形外角性质和内角和定理，建立角的等量关系求出相关角的度数；最后根据圆周角与弧的度数关系，计算出弧CD的度数。
【解析】
连接BD、AC。
∵ 在⊙O中，AB=BC=DA，
∴ 弧AB=弧BC=弧AD，
∴ 对应的圆周角相等，即∠ADB=∠BAC=∠ABD=∠ACB。
∵ ∠ADB是△PBD的外角，
∴ ∠ADB=∠DBP + ∠P，
已知∠P=40°，故∠ADB=∠DBP + 40°，即∠ABD=∠DBP + 40°。
在△ABC中，∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°，
而∠ABC=∠ABD + ∠DBP，∠BAC=∠ACB=∠ABD，
代入得：(∠ABD + ∠DBP) + ∠ABD + ∠ABD = 180°，
整理得：3∠ABD + ∠DBP = 180°。
将∠ABD=∠DBP + 40°代入上式：
3(∠DBP + 40°) + ∠DBP = 180°，
计算得：4∠DBP + 120° = 180°，
解得∠DBP=15°。
根据圆周角定理，圆周角的度数等于所对弧度数的一半，∠DBP所对的弧是CD，
故弧CD的度数=2×∠DBP=2×15°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
圆周角定理；弧与弦的关系；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形相关定理，需要熟练运用弧、弦、圆周角的对应关系，结合三角形外角和内角和建立等量关系求解，对逻辑推理能力有一定要求，属于中等难度的圆相关题目。
【难度系数】
0.5
11. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,点$E$在对角线$AC$上,$EC=BC=DC.$
(1)若$∠ CBD=39^{\circ }$,求$∠ BAD$的度数;
(2)求证:$∠ 1=∠ 2.$
(1)若$∠ CBD=39^{\circ }$,求$∠ BAD$的度数;
(2)求证:$∠ 1=∠ 2.$
答案
(1)
∵ BC = DC,
∴ ∠CBD = ∠CDB = 39°.
∵ ∠BAC = ∠CDB = 39°,∠CAD = ∠CBD = 39°,
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 39°+39°=78°.
(2)
∵ EC = BC,
∴ ∠CEB = ∠CBE. 又
∵ ∠CEB = ∠2 + ∠BAE,∠CBE = ∠1 + ∠CBD,
∴ ∠2 + ∠BAE = ∠1 + ∠CBD.
∵ ∠BAE = ∠BDC = ∠CBD,
∴ ∠1 = ∠2.
∵ BC = DC,
∴ ∠CBD = ∠CDB = 39°.
∵ ∠BAC = ∠CDB = 39°,∠CAD = ∠CBD = 39°,
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 39°+39°=78°.
(2)
∵ EC = BC,
∴ ∠CEB = ∠CBE. 又
∵ ∠CEB = ∠2 + ∠BAE,∠CBE = ∠1 + ∠CBD,
∴ ∠2 + ∠BAE = ∠1 + ∠CBD.
∵ ∠BAE = ∠BDC = ∠CBD,
∴ ∠1 = ∠2.
解析
【分析】
(1) 求∠BAD时，先由BC=DC得等腰三角形，利用等腰三角形性质得到∠CBD=∠CDB，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，找到∠BAC、∠CAD与∠CDB、∠CBD的等量关系，相加即可得∠BAD；
(2) 证明∠1=∠2时，先由EC=BC得等腰三角形，得到∠CEB=∠CBE，再用三角形外角性质将这两个角拆分为含∠1、∠2的式子，最后结合圆周角定理得到∠BAE=∠CBD，通过等量代换完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵ BC = DC，
∴ ∠CBD = ∠CDB = 39°，
∵ 同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠BAC = ∠CDB = 39°，∠CAD = ∠CBD = 39°，
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 39° + 39° = 78°；
(2) 证明：
∵ EC = BC，
∴ ∠CEB = ∠CBE，
根据三角形外角性质，∠CEB = ∠2 + ∠BAE，∠CBE = ∠1 + ∠CBD，
∴ ∠2 + ∠BAE = ∠1 + ∠CBD，
又
∵ 同弧所对的圆周角相等，∠BAE = ∠BDC，且∠BDC = ∠CBD（由BC=DC得），
∴ ∠BAE = ∠CBD，
代入上式得：∠1 = ∠2。
【答案】
(1) 78°；(2) 证明成立。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题结合圆的性质与三角形相关性质进行角度推导，需熟练掌握圆周角定理、等腰三角形性质及外角性质，属于中等难度的几何证明与计算题型。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠BAD时，先由BC=DC得等腰三角形，利用等腰三角形性质得到∠CBD=∠CDB，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，找到∠BAC、∠CAD与∠CDB、∠CBD的等量关系，相加即可得∠BAD；
(2) 证明∠1=∠2时，先由EC=BC得等腰三角形，得到∠CEB=∠CBE，再用三角形外角性质将这两个角拆分为含∠1、∠2的式子，最后结合圆周角定理得到∠BAE=∠CBD，通过等量代换完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵ BC = DC，
∴ ∠CBD = ∠CDB = 39°，
∵ 同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠BAC = ∠CDB = 39°，∠CAD = ∠CBD = 39°，
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 39° + 39° = 78°；
(2) 证明：
∵ EC = BC，
∴ ∠CEB = ∠CBE，
根据三角形外角性质，∠CEB = ∠2 + ∠BAE，∠CBE = ∠1 + ∠CBD，
∴ ∠2 + ∠BAE = ∠1 + ∠CBD，
又
∵ 同弧所对的圆周角相等，∠BAE = ∠BDC，且∠BDC = ∠CBD（由BC=DC得），
∴ ∠BAE = ∠CBD，
代入上式得：∠1 = ∠2。
【答案】
(1) 78°；(2) 证明成立。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题结合圆的性质与三角形相关性质进行角度推导，需熟练掌握圆周角定理、等腰三角形性质及外角性质，属于中等难度的几何证明与计算题型。
【难度系数】
0.6
12. (2025·绍兴月考) 如图,已知 AB 是$\odot O$的直径,点 C 为圆上一点.将$\overset{\frown}{BC}$沿弦 BC 翻折,交 AB 于点 D,把$\overset{\frown}{BD}$沿直径 AB 翻折,交 BC 于点 E,作$DF ⊥ BC$于点 F,若点 E 恰好是翻折后的$\overset{\frown}{BD}$的中点,则$\dfrac{CF}{BF}$的值为
$\sqrt{2}-1$
.答案
$\sqrt{2}-1$ 解析:
∵ $\widehat{AC}$,$\widehat{CD}$,$\widehat{DE}$所在的圆是等圆,$\widehat{AC}$,$\widehat{CD}$,$\widehat{DE}$所对的圆周角都是∠ABC,
∴ $\widehat{AC}=\widehat{CD}=\widehat{DE}$.
∵ 点 E 恰好是翻折后的$\widehat{BD}$的中点,
∴ $\widehat{DE}=\widehat{BE}$,
∴ $\widehat{AC}=\widehat{CD}=\widehat{DE}=\widehat{BE}$.又
∵ $\widehat{AC}+\widehat{CD}+\widehat{DE}+\widehat{BE}=\widehat{AB}$,
∴ $\widehat{AC}=\frac{1}{4}\widehat{AB}$,
∴ ∠ABC=90°×$\frac{1}{4}$=22.5°.如图所示,连接 CD,DE,
∵ $\widehat{DE}=\widehat{BE}$,
∴ ∠EDB=∠EBD=22.5°.
∵ $\widehat{BD}$分为$\widehat{DE}$,$\widehat{BE}$两部分,
∴ ∠BCD=2×22.5°=45°,
∴ ∠FED=∠EDB+∠EBD=45°.
∵ DF ⊥ BC,
∴ △DCF,△DEF 都是等腰直角三角形,
∴ CF=DF=EF,设 CF=DF=EF=x,则 BE=DE=$\sqrt{DF^2+EF^2}=\sqrt{2}x$,
∴ BF=BE+FE=($\sqrt{2}+1$)x,
∴ $\frac{CF}{BF}=\frac{x}{(\sqrt{2}+1)x}=\sqrt{2}-1$.
解析
【分析】
要解决本题，需利用翻折的性质和圆的圆周角定理推导弧与角的关系：首先，翻折后弧对应的圆周角相等，结合等圆中相等圆周角对应弧相等，可推出各弧的数量关系，进而得到∠ABC的度数；再通过等腰直角三角形的边长特性，设未知数表示CF和BF的长度，最终计算比值。
【解析】
1. 由翻折的性质可知，$\overset{\frown}{BC}$翻折后，$\overset{\frown}{CD}$与$\overset{\frown}{AC}$所在的圆为等圆，$\overset{\frown}{BD}$翻折后，$\overset{\frown}{DE}$与$\overset{\frown}{BE}$所在的圆也为等圆，且$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$、$\overset{\frown}{BE}$所对的圆周角均为$∠ ABC$，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$。
2. 因为点E是翻折后$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$，故$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$。又$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AB}$（AB为直径，对应半圆），所以每个弧为$\frac{1}{4}\overset{\frown}{AB}$，对应的圆周角$∠ ABC=\frac{1}{4}×90°=22.5°$。
3. 连接CD、DE，由$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$得$∠ EDB=∠ EBD=22.5°$，$\overset{\frown}{BD}$对应圆周角$∠ BCD=2×22.5°=45°$。
4. 因为$DF⊥ BC$，所以$△ DCF$和$△ DEF$均为等腰直角三角形，故$CF=DF=EF$。设$CF=DF=EF=x$，则$DE=\sqrt{DF^2+EF^2}=\sqrt{2}x$，又$BE=DE=\sqrt{2}x$，因此$BF=BE+EF=\sqrt{2}x +x =x(\sqrt{2}+1)$。
5. 所以$\frac{CF}{BF}=\frac{x}{x(\sqrt{2}+1)}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
圆周角定理，翻折变换，等腰直角三角形
【点评】
本题结合翻折性质与圆的核心定理，需通过弧的等量关系推导角度，再利用等腰直角三角形的边长特性计算比值，对学生的几何逻辑推理能力要求较高，是圆与翻折结合的典型题型。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需利用翻折的性质和圆的圆周角定理推导弧与角的关系：首先，翻折后弧对应的圆周角相等，结合等圆中相等圆周角对应弧相等，可推出各弧的数量关系，进而得到∠ABC的度数；再通过等腰直角三角形的边长特性，设未知数表示CF和BF的长度，最终计算比值。
【解析】
1. 由翻折的性质可知，$\overset{\frown}{BC}$翻折后，$\overset{\frown}{CD}$与$\overset{\frown}{AC}$所在的圆为等圆，$\overset{\frown}{BD}$翻折后，$\overset{\frown}{DE}$与$\overset{\frown}{BE}$所在的圆也为等圆，且$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$、$\overset{\frown}{BE}$所对的圆周角均为$∠ ABC$，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$。
2. 因为点E是翻折后$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$，故$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$。又$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AB}$（AB为直径，对应半圆），所以每个弧为$\frac{1}{4}\overset{\frown}{AB}$，对应的圆周角$∠ ABC=\frac{1}{4}×90°=22.5°$。
3. 连接CD、DE，由$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$得$∠ EDB=∠ EBD=22.5°$，$\overset{\frown}{BD}$对应圆周角$∠ BCD=2×22.5°=45°$。
4. 因为$DF⊥ BC$，所以$△ DCF$和$△ DEF$均为等腰直角三角形，故$CF=DF=EF$。设$CF=DF=EF=x$，则$DE=\sqrt{DF^2+EF^2}=\sqrt{2}x$，又$BE=DE=\sqrt{2}x$，因此$BF=BE+EF=\sqrt{2}x +x =x(\sqrt{2}+1)$。
5. 所以$\frac{CF}{BF}=\frac{x}{x(\sqrt{2}+1)}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
圆周角定理，翻折变换，等腰直角三角形
【点评】
本题结合翻折性质与圆的核心定理，需通过弧的等量关系推导角度，再利用等腰直角三角形的边长特性计算比值，对学生的几何逻辑推理能力要求较高，是圆与翻折结合的典型题型。
【难度系数】
0.4
13. 已知$△ ABC$内接于$\odot O$.
(1) 如图①,过点$B$作$BD ⊥ AC$于点$N$,交$\odot O$于点$D$,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,交$BD$于点$M$,试探究$AM$与$AD$的数量关系,并说明理由.
(2) 如图②,在(1)的条件下,过点$O$作$OH ⊥$$BC$于点$H$,试证明:$AM = 2OH$.
(3) 如图③,作$∠ BAC$的平分线$AD$交$\odot O$于点$D$,若点$P$为劣弧$BC$上一动点,连接$PB$,$PC$,过点$D$作$DH ⊥ PC$于点$H$,试猜想$\dfrac{PB + PC}{CH}$的值是否是定值,如果是,请求出定值;如果不是,请说明理由.
(1) 如图①,过点$B$作$BD ⊥ AC$于点$N$,交$\odot O$于点$D$,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,交$BD$于点$M$,试探究$AM$与$AD$的数量关系,并说明理由.
(2) 如图②,在(1)的条件下,过点$O$作$OH ⊥$$BC$于点$H$,试证明:$AM = 2OH$.
(3) 如图③,作$∠ BAC$的平分线$AD$交$\odot O$于点$D$,若点$P$为劣弧$BC$上一动点,连接$PB$,$PC$,过点$D$作$DH ⊥ PC$于点$H$,试猜想$\dfrac{PB + PC}{CH}$的值是否是定值,如果是,请求出定值;如果不是,请说明理由.
答案
(1) AM = AD. 理由:
∵ BD ⊥ AC,AE ⊥ BC,
∴ ∠AND = ∠BEM=90°.
∵ $\widehat{CD}=\widehat{CD}$,
∴ ∠CAD = ∠CBD,
∴ ∠D = 90°−∠CAD = 90°−∠CBD = ∠BME. 又
∵ ∠AMD = ∠BME,
∴ ∠AMD=∠D,
∴ AM=AD.
(2) 如图①,过点 O 作 OP ⊥ AD 于点 P,连接 OD,OC,易得∠BAC = ∠HOC,∠ABD = ∠POD.
∵ BD ⊥ AC,
∴ ∠BAC + ∠ABD = ∠HOC + ∠POD = 90°.
∵ ∠HOC + ∠HCO = 90°,
∴ ∠POD = ∠HCO.
∵ ∠OPD = ∠CHO = 90°,OD = CO,
∴ △ODP≌△COH (AAS),
∴ OH = PD.
∵ PD = $\frac{1}{2}$AD,AD=AM,
∴ AM=2OH.
(3) $\frac{PB+PC}{CH}$的值是定值,定值为 2.在 CH 上截取 CN=PB,连接 DB,DC,DP,DN,如图②,
∵ $\widehat{PD}=\widehat{PD}$,
∴ ∠PBD = ∠NCD.
∵ AD 是∠BAC 的平分线,
∴ $\widehat{BD}=\widehat{CD}$,
∴ BD=CD,
∴ △PBD ≌ △NCD (SAS),
∴ DP = DN.
∵ DH ⊥ PC,
∴ PH=NH,
∴ PB+PC = PN+CN+NC = 2HN+2CN = 2CH,
∴ $\frac{PB+PC}{CH}=2$.
解析
【分析】
本题分三个小问逐步推导：
(1) 要探究AM与AD的数量关系，需通过角的等量代换证明等角对等边：利用垂直得到直角，结合同弧所对圆周角相等，推出∠AMD=∠D，进而得AM=AD；
(2) 要证AM=2OH，结合(1)的结论AM=AD，转化为证AD=2OH：作辅助线OP⊥AD，由垂径定理得PD=1/2AD，再通过证明△ODP≌△COH，得到OH=PD，从而完成证明；
(3) 猜想比值为定值，采用截长补短法：在CH上截取CN=PB，证明△PBD≌△NCD，结合DH⊥PC得PH=NH，进而推导出PB+PC=2CH，得出比值为2。
【解析】
(1) AM=AD，理由如下：
∵ BD⊥AC，AE⊥BC，
∴ ∠AND=∠BEM=90°，
∵ 同弧CD所对圆周角相等，
∴ ∠CAD=∠CBD，
∴ ∠D=90°−∠CAD，∠BME=90°−∠CBD，
∴ ∠D=∠BME，
又
∵ ∠AMD=∠BME，
∴ ∠AMD=∠D，
∴ AM=AD。
(2) 证明：如图①，过点O作OP⊥AD于点P，连接OD，OC，
由垂径定理得PD=1/2AD，
∵ OH⊥BC，
∴ ∠OHC=90°，
∵ 同弧BC所对圆心角与圆周角关系，∠HOC=1/2∠BOC，∠BAC=1/2∠BOC，故∠BAC=∠HOC；
同理∠ABD=∠POD，
∵ BD⊥AC，
∴ ∠BAC + ∠ABD=90°，
又∠HOC + ∠HCO=90°，且∠BAC + ∠ABD=∠HOC + ∠POD=90°，
∴ ∠POD=∠HCO，
在△ODP和△COH中：
∠OPD=∠CHO=90°，∠POD=∠HCO，OD=CO，
∴ △ODP≌△COH（AAS），
∴ OH=PD，
∵ PD=1/2AD，且AD=AM，
∴ OH=1/2AM，即AM=2OH。
(3) 解：$\dfrac{PB+PC}{CH}$的值是定值，定值为2，理由如下：
在CH上截取CN=PB，连接DB，DC，DP，DN，
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ 弧BD=弧CD，故BD=CD，
∵ 同弧PD所对圆周角相等，
∴ ∠PBD=∠NCD，
在△PBD和△NCD中：
PB=CN，∠PBD=∠NCD，BD=CD，
∴ △PBD≌△NCD（SAS），
∴ DP=DN，
∵ DH⊥PC，
∴ PH=NH，
∴ PB+PC=CN + PH + HN=CN + 2HN，
又
∵ CH=CN + HN，而PB=CN，PN=2HN，
∴ PB+PC=CN + (CN + 2HN)=2(CN + HN)=2CH，
∴ $\dfrac{PB+PC}{CH}=2$。
【答案】
(1) AM=AD；
(2) 证明成立；
(3) 定值为2；
【知识点】
圆周角定理、全等三角形判定与性质、垂径定理
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，结合全等三角形、垂径定理等知识，通过角的等量代换、辅助线构造（作垂线、截长补短）完成推理，对几何逻辑思维能力要求较高，是一道综合性较强的几何证明题。
【难度系数】
0.5
本题分三个小问逐步推导：
(1) 要探究AM与AD的数量关系，需通过角的等量代换证明等角对等边：利用垂直得到直角，结合同弧所对圆周角相等，推出∠AMD=∠D，进而得AM=AD；
(2) 要证AM=2OH，结合(1)的结论AM=AD，转化为证AD=2OH：作辅助线OP⊥AD，由垂径定理得PD=1/2AD，再通过证明△ODP≌△COH，得到OH=PD，从而完成证明；
(3) 猜想比值为定值，采用截长补短法：在CH上截取CN=PB，证明△PBD≌△NCD，结合DH⊥PC得PH=NH，进而推导出PB+PC=2CH，得出比值为2。
【解析】
(1) AM=AD，理由如下：
∵ BD⊥AC，AE⊥BC，
∴ ∠AND=∠BEM=90°，
∵ 同弧CD所对圆周角相等，
∴ ∠CAD=∠CBD，
∴ ∠D=90°−∠CAD，∠BME=90°−∠CBD，
∴ ∠D=∠BME，
又
∵ ∠AMD=∠BME，
∴ ∠AMD=∠D，
∴ AM=AD。
(2) 证明：如图①，过点O作OP⊥AD于点P，连接OD，OC，
由垂径定理得PD=1/2AD，
∵ OH⊥BC，
∴ ∠OHC=90°，
∵ 同弧BC所对圆心角与圆周角关系，∠HOC=1/2∠BOC，∠BAC=1/2∠BOC，故∠BAC=∠HOC；
同理∠ABD=∠POD，
∵ BD⊥AC，
∴ ∠BAC + ∠ABD=90°，
又∠HOC + ∠HCO=90°，且∠BAC + ∠ABD=∠HOC + ∠POD=90°，
∴ ∠POD=∠HCO，
在△ODP和△COH中：
∠OPD=∠CHO=90°，∠POD=∠HCO，OD=CO，
∴ △ODP≌△COH（AAS），
∴ OH=PD，
∵ PD=1/2AD，且AD=AM，
∴ OH=1/2AM，即AM=2OH。
(3) 解：$\dfrac{PB+PC}{CH}$的值是定值，定值为2，理由如下：
在CH上截取CN=PB，连接DB，DC，DP，DN，
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ 弧BD=弧CD，故BD=CD，
∵ 同弧PD所对圆周角相等，
∴ ∠PBD=∠NCD，
在△PBD和△NCD中：
PB=CN，∠PBD=∠NCD，BD=CD，
∴ △PBD≌△NCD（SAS），
∴ DP=DN，
∵ DH⊥PC，
∴ PH=NH，
∴ PB+PC=CN + PH + HN=CN + 2HN，
又
∵ CH=CN + HN，而PB=CN，PN=2HN，
∴ PB+PC=CN + (CN + 2HN)=2(CN + HN)=2CH，
∴ $\dfrac{PB+PC}{CH}=2$。
【答案】
(1) AM=AD；
(2) 证明成立；
(3) 定值为2；
【知识点】
圆周角定理、全等三角形判定与性质、垂径定理
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，结合全等三角形、垂径定理等知识，通过角的等量代换、辅助线构造（作垂线、截长补短）完成推理，对几何逻辑思维能力要求较高，是一道综合性较强的几何证明题。
【难度系数】
0.5
