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1 下列各式中,属于一元一次方程的是 (
A.$x - y = 6$
B.$\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{x - 2}{3}$
C.$3x - 4$
D.$\dfrac{1}{x} + x + 1 = 0$
B
)A.$x - y = 6$
B.$\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{x - 2}{3}$
C.$3x - 4$
D.$\dfrac{1}{x} + x + 1 = 0$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断式子是否为一元一次方程，首先要明确一元一次方程的核心判定条件：①是含有未知数的等式（首先得是方程）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为1；④是整式方程（分母不含未知数）。解题时用这些条件逐个排查选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
根据一元一次方程的判定条件逐一分析选项：
A. 式子中含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不属于一元一次方程；
B. 式子是等式，只含有x一个未知数，x的最高次数为1，分母2、3都是常数，属于整式方程，完全符合一元一次方程的定义；
C. 该式子不是等式，属于代数式，不是方程，自然不属于一元一次方程；
D. 式子分母中含有未知数x，属于分式方程，不符合“整式方程”的要求，不属于一元一次方程。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义、方程的概念、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记一元一次方程的判定标准，做题时注意区分整式方程和分式方程，不要把分母为常数的整式方程误判，也不要将非等式的代数式当成方程。
【难度系数】
0.8
要判断式子是否为一元一次方程，首先要明确一元一次方程的核心判定条件：①是含有未知数的等式（首先得是方程）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为1；④是整式方程（分母不含未知数）。解题时用这些条件逐个排查选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
根据一元一次方程的判定条件逐一分析选项：
A. 式子中含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不属于一元一次方程；
B. 式子是等式，只含有x一个未知数，x的最高次数为1，分母2、3都是常数，属于整式方程，完全符合一元一次方程的定义；
C. 该式子不是等式，属于代数式，不是方程，自然不属于一元一次方程；
D. 式子分母中含有未知数x，属于分式方程，不符合“整式方程”的要求，不属于一元一次方程。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义、方程的概念、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记一元一次方程的判定标准，做题时注意区分整式方程和分式方程，不要把分母为常数的整式方程误判，也不要将非等式的代数式当成方程。
【难度系数】
0.8
2 若关于$ x $的方程$ 2x - 4 = 3m $和$ x + 2 = m $有相同的解，则$ m $的值是 （
A.10
B.$-8$
C.$-10$
D.8
B
）A.10
B.$-8$
C.$-10$
D.8
答案
2. B
解析
【分析】
本题是同解方程问题，解题核心是抓住“两个方程解相同”的特点：我们可以先分别把两个方程中的未知数x用含参数m的代数式表示出来，再根据两个x相等列出关于m的一元一次方程，最后解这个方程就能得到m的值。
【解析】
先分别求解两个方程，用含m的式子表示x：
1. 解方程$2x - 4 = 3m$：
移项得$2x = 3m + 4$，
系数化为1得$x = \frac{3m + 4}{2}$。
2. 解方程$x + 2 = m$：
移项得$x = m - 2$。
因为两个方程有相同的解，所以两个式子表示的x相等，可列方程：
$\frac{3m + 4}{2} = m - 2$
两边同时乘2去分母得：$3m + 4 = 2(m - 2)$
去括号得：$3m + 4 = 2m - 4$
移项、合并同类项得：$m = -8$
【答案】
B
【知识点】
同解方程的含义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对同解方程概念的理解，解题的关键是利用“解相同”建立参数m的等量关系，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.7
本题是同解方程问题，解题核心是抓住“两个方程解相同”的特点：我们可以先分别把两个方程中的未知数x用含参数m的代数式表示出来，再根据两个x相等列出关于m的一元一次方程，最后解这个方程就能得到m的值。
【解析】
先分别求解两个方程，用含m的式子表示x：
1. 解方程$2x - 4 = 3m$：
移项得$2x = 3m + 4$，
系数化为1得$x = \frac{3m + 4}{2}$。
2. 解方程$x + 2 = m$：
移项得$x = m - 2$。
因为两个方程有相同的解，所以两个式子表示的x相等，可列方程：
$\frac{3m + 4}{2} = m - 2$
两边同时乘2去分母得：$3m + 4 = 2(m - 2)$
去括号得：$3m + 4 = 2m - 4$
移项、合并同类项得：$m = -8$
【答案】
B
【知识点】
同解方程的含义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对同解方程概念的理解，解题的关键是利用“解相同”建立参数m的等量关系，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.7
3 某同学在解关于$ x $的方程$ 3x - 1 = mx + 3 $时，把$ m $看错了，结果解得$ x = 4 $，则该同学把$ m $看成了（
A.$-2$
B.$2$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{7}{2}$
B
）A.$-2$
B.$2$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{7}{2}$
答案
3. B
解析
【分析】
解题的关键是理解方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。虽然该同学把m看错了，但他解得的x=4是他所看错的m对应的方程的解，因此可以直接将x=4代入原方程，此时方程中只有m一个未知数，解这个一元一次方程就能得到该同学看错的m的值。
【解析】
已知该同学看错m后解得方程的解为$x=4$，将$x=4$代入方程$3x - 1 = mx + 3$，可得：
$\begin{aligned}3×4 - 1 &= 4m + 3\\12 - 1 &= 4m + 3\\11 &= 4m + 3\\4m &= 11 - 3\\4m &= 8\\m &= 2\end{aligned}$
所以该同学把m看成了2。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题核心是利用方程的解的性质求解错看的参数，只需将已知的解代入方程转化为关于参数的一元一次方程求解即可，解题思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题的关键是理解方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。虽然该同学把m看错了，但他解得的x=4是他所看错的m对应的方程的解，因此可以直接将x=4代入原方程，此时方程中只有m一个未知数，解这个一元一次方程就能得到该同学看错的m的值。
【解析】
已知该同学看错m后解得方程的解为$x=4$，将$x=4$代入方程$3x - 1 = mx + 3$，可得：
$\begin{aligned}3×4 - 1 &= 4m + 3\\12 - 1 &= 4m + 3\\11 &= 4m + 3\\4m &= 11 - 3\\4m &= 8\\m &= 2\end{aligned}$
所以该同学把m看成了2。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题核心是利用方程的解的性质求解错看的参数，只需将已知的解代入方程转化为关于参数的一元一次方程求解即可，解题思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
4 新情境 生活实际 某服装的进货价为80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折销售后仍获利50%，则x的值为 （
A.5
B.6
C.7
D.8
B
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
4. B
解析
【分析】
这是一道销售类的一元一次方程应用题，解题核心是先明确销售问题中的等量关系：利润=售价-进价，利润=进价×利润率。首先先表示出打折后的实际售价：打x折就是按标价的十分之x出售，所以售价为200×(x/10)元；再根据“获利50%”可知利润为进价80元的50%，据此列出一元一次方程求解即可得到x的值。
【解析】
根据题意，打折后的售价为$200×\frac{x}{10}$元，销售后的利润为$80×50\%$元。
由“售价-进价=利润”可列方程：
$200×\frac{x}{10} - 80 = 80×50\%$
化简得：$20x - 80 = 40$
移项得：$20x = 120$
解得：$x = 6$
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用；销售利润计算；打折问题
【点评】
本题结合生活中服装打折销售的实际场景，考查利用一元一次方程解决实际问题的能力，解题的关键是找准售价、进价、利润之间的等量关系，正确列出方程求解，是销售类问题的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
这是一道销售类的一元一次方程应用题，解题核心是先明确销售问题中的等量关系：利润=售价-进价，利润=进价×利润率。首先先表示出打折后的实际售价：打x折就是按标价的十分之x出售，所以售价为200×(x/10)元；再根据“获利50%”可知利润为进价80元的50%，据此列出一元一次方程求解即可得到x的值。
【解析】
根据题意，打折后的售价为$200×\frac{x}{10}$元，销售后的利润为$80×50\%$元。
由“售价-进价=利润”可列方程：
$200×\frac{x}{10} - 80 = 80×50\%$
化简得：$20x - 80 = 40$
移项得：$20x = 120$
解得：$x = 6$
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用；销售利润计算；打折问题
【点评】
本题结合生活中服装打折销售的实际场景，考查利用一元一次方程解决实际问题的能力，解题的关键是找准售价、进价、利润之间的等量关系，正确列出方程求解，是销售类问题的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
5 观察下列按一定规律排列的n个数:2,4,6,8,10,12,….若最后三个数之和是3000,则n的值为
（
A.499
B.500
C.501
D.1 002
（
C
）A.499
B.500
C.501
D.1 002
答案
5. C 【解析】根据题意,得第 n 个数为 2n,所以 2n+2(n-1)+2(n-2)=3 000,解得 n=501.
解析
【分析】
首先观察给出的数列，发现所有数都是连续的正偶数，第1个数为2×1=2，第2个数为2×2=4，第3个数为2×3=6，以此类推可得出第k个数的表达式为2k。题目给出最后三个数的和为3000，最后三个数对应就是第(n-2)个、第(n-1)个、第n个数，先写出这三个数的表达式，再根据“三数之和为3000”的等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出n的值。
【解析】
观察数列规律可得，第n个数为2n，那么倒数三个数分别为：第(n-2)个数是2(n-2)，第(n-1)个数是2(n-1)，第n个数是2n。
根据最后三个数之和为3000，列方程：
$\begin{aligned}2(n-2)+2(n-1)+2n&=3000\\2n-4+2n-2+2n&=3000\\6n-6&=3000\\6n&=3006\\n&=501\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究；一元一次方程的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查对数字规律的归纳能力，以及利用一元一次方程解决问题的能力，解题的关键是准确写出第n个数的表达式，再结合等量关系列方程求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的数列，发现所有数都是连续的正偶数，第1个数为2×1=2，第2个数为2×2=4，第3个数为2×3=6，以此类推可得出第k个数的表达式为2k。题目给出最后三个数的和为3000，最后三个数对应就是第(n-2)个、第(n-1)个、第n个数，先写出这三个数的表达式，再根据“三数之和为3000”的等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出n的值。
【解析】
观察数列规律可得，第n个数为2n，那么倒数三个数分别为：第(n-2)个数是2(n-2)，第(n-1)个数是2(n-1)，第n个数是2n。
根据最后三个数之和为3000，列方程：
$\begin{aligned}2(n-2)+2(n-1)+2n&=3000\\2n-4+2n-2+2n&=3000\\6n-6&=3000\\6n&=3006\\n&=501\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究；一元一次方程的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查对数字规律的归纳能力，以及利用一元一次方程解决问题的能力，解题的关键是准确写出第n个数的表达式，再结合等量关系列方程求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
6 已知关于$ x $的方程$ 3a - x = \dfrac{x}{2} + 3 $的解为$ x = 2 $，则代数式$ a^2 - 2a + 1 $的值是
1
.答案
6. 1
解析
【分析】
首先明确一元一次方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=2是方程的解，所以第一步将x=2代入原方程，得到关于a的一元一次方程，解出a的值；第二步把求出的a代入代数式$a^2-2a+1$计算即可得到结果，也可以先将代数式因式分解为$(a-1)^2$再代入计算，运算更简便。
【解析】
第一步：将$x=2$代入方程$3a - x = \dfrac{x}{2} + 3$，得：
$3a - 2 = \dfrac{2}{2} + 3$
化简右侧得$3a - 2 = 4$
移项得$3a = 4 + 2$，即$3a=6$
系数化为1得$a=2$
第二步：计算代数式的值：
方法一：直接代入$a=2$，得$a^2 - 2a + 1=2^2 - 2×2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$
方法二：利用完全平方公式变形得$a^2 - 2a + 1=(a-1)^2$，代入$a=2$得$(2-1)^2=1^2=1$
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的解；代数式求值；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程的解的定义，先代入已知解求出未知参数a的取值，再代入代数式计算即可，计算时巧用完全平方公式可简化运算。
【难度系数】
0.9
首先明确一元一次方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=2是方程的解，所以第一步将x=2代入原方程，得到关于a的一元一次方程，解出a的值；第二步把求出的a代入代数式$a^2-2a+1$计算即可得到结果，也可以先将代数式因式分解为$(a-1)^2$再代入计算，运算更简便。
【解析】
第一步：将$x=2$代入方程$3a - x = \dfrac{x}{2} + 3$，得：
$3a - 2 = \dfrac{2}{2} + 3$
化简右侧得$3a - 2 = 4$
移项得$3a = 4 + 2$，即$3a=6$
系数化为1得$a=2$
第二步：计算代数式的值：
方法一：直接代入$a=2$，得$a^2 - 2a + 1=2^2 - 2×2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$
方法二：利用完全平方公式变形得$a^2 - 2a + 1=(a-1)^2$，代入$a=2$得$(2-1)^2=1^2=1$
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的解；代数式求值；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程的解的定义，先代入已知解求出未知参数a的取值，再代入代数式计算即可，计算时巧用完全平方公式可简化运算。
【难度系数】
0.9
7 若$(t+3)x^{|t+2|}-16=0$是关于$x$的一元一次方程，则$t$的值为________，方程的解为________。
答案
7. $-1$，$x=8$
解析
【分析】
要确定t的值，需先明确一元一次方程的判定条件：①只含有1个未知数，②未知数的最高次数为1，③未知数的系数不为0。本题已经满足只含未知数x，因此只需满足x的次数为1且x的系数不为0，即可列方程和不等式求出t的值；再将t代入原方程，解一元一次方程就能得到x的解。
【解析】
解：
∵$(t+3)x^{|t+2|}-16=0$是关于$x$的一元一次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数的次数为1：$\left|t+2\right|=1$
去绝对值得：$t+2=1$ 或 $t+2=-1$
解得：$t=-1$ 或 $t=-3$
2. 未知数的系数不为0：$t+3≠0$，即$t≠-3$
综上，舍去$t=-3$，得$t=-1$。
将$t=-1$代入原方程得：
$(-1+3)x -16=0$
化简得$2x=16$
解得$x=8$
【答案】
$-1$，$x=8$
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程概念的典型应用，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的隐含条件，导致多解错误，解题时需紧扣定义的所有要求逐一验证，避免出错。
【难度系数】
0.7
要确定t的值，需先明确一元一次方程的判定条件：①只含有1个未知数，②未知数的最高次数为1，③未知数的系数不为0。本题已经满足只含未知数x，因此只需满足x的次数为1且x的系数不为0，即可列方程和不等式求出t的值；再将t代入原方程，解一元一次方程就能得到x的解。
【解析】
解：
∵$(t+3)x^{|t+2|}-16=0$是关于$x$的一元一次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数的次数为1：$\left|t+2\right|=1$
去绝对值得：$t+2=1$ 或 $t+2=-1$
解得：$t=-1$ 或 $t=-3$
2. 未知数的系数不为0：$t+3≠0$，即$t≠-3$
综上，舍去$t=-3$，得$t=-1$。
将$t=-1$代入原方程得：
$(-1+3)x -16=0$
化简得$2x=16$
解得$x=8$
【答案】
$-1$，$x=8$
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程概念的典型应用，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的隐含条件，导致多解错误，解题时需紧扣定义的所有要求逐一验证，避免出错。
【难度系数】
0.7
8 小娟对关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x+3}{3} - \frac{mx - 1}{6} = \frac{5 - x}{2} $ 去分母时，错误地得到了方程 $ 2(x + 3) - mx - 1 = 3(5 - x) $，因而求得的解是 $ x = \frac{5}{2} $，则 $ m $ 的值为 ______，原方程的正确解为 ______。
答案
8. 1，$x=2$
解析
【分析】
解决本题分两步：第一步，虽然小娟去分母出错，但她求得的解$x=\frac{5}{2}$是她所得到的错误方程的解，因此可以把$x=\frac{5}{2}$代入错误方程，求出参数$m$的值；第二步，将求得的$m$代入原方程，按照解一元一次方程的正确步骤求解，即可得到原方程的正确解。
【解析】
1. 求$m$的值：
已知$x=\frac{5}{2}$是错误方程$2(x + 3) - mx - 1 = 3(5 - x)$的解，将$x=\frac{5}{2}$代入该方程：
$\begin{aligned}2×(\frac{5}{2}+3) - m×\frac{5}{2} -1&=3×(5-\frac{5}{2})\\2×\frac{11}{2} - \frac{5m}{2} -1&=3×\frac{5}{2}\\11 -1 - \frac{5m}{2}&=\frac{15}{2}\\10 - \frac{5m}{2}&=\frac{15}{2}\end{aligned}$
两边同时乘2消去分母：
$20 - 5m =15$
移项计算得：$5m=5$，即$m=1$。
2. 求原方程的正确解：
将$m=1$代入原方程$\frac{x+3}{3} - \frac{mx - 1}{6} = \frac{5 - x}{2}$，得：
$\frac{x+3}{3} - \frac{x - 1}{6} = \frac{5 - x}{2}$
两边同时乘6去分母：
$2(x+3) - (x - 1) = 3(5 - x)$
去括号：
$2x +6 -x +1 =15 -3x$
合并同类项：
$x +7 =15 -3x$
移项：
$x +3x =15 -7$
$4x =8$
系数化为1得：$x=2$。
【答案】
1，$x=2$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；去分母法则
【点评】
本题属于一元一次方程的错解类题型，解题关键是明确错解满足错误变形后的方程，先求出未知参数，再求解原方程，是一元一次方程章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解决本题分两步：第一步，虽然小娟去分母出错，但她求得的解$x=\frac{5}{2}$是她所得到的错误方程的解，因此可以把$x=\frac{5}{2}$代入错误方程，求出参数$m$的值；第二步，将求得的$m$代入原方程，按照解一元一次方程的正确步骤求解，即可得到原方程的正确解。
【解析】
1. 求$m$的值：
已知$x=\frac{5}{2}$是错误方程$2(x + 3) - mx - 1 = 3(5 - x)$的解，将$x=\frac{5}{2}$代入该方程：
$\begin{aligned}2×(\frac{5}{2}+3) - m×\frac{5}{2} -1&=3×(5-\frac{5}{2})\\2×\frac{11}{2} - \frac{5m}{2} -1&=3×\frac{5}{2}\\11 -1 - \frac{5m}{2}&=\frac{15}{2}\\10 - \frac{5m}{2}&=\frac{15}{2}\end{aligned}$
两边同时乘2消去分母：
$20 - 5m =15$
移项计算得：$5m=5$，即$m=1$。
2. 求原方程的正确解：
将$m=1$代入原方程$\frac{x+3}{3} - \frac{mx - 1}{6} = \frac{5 - x}{2}$，得：
$\frac{x+3}{3} - \frac{x - 1}{6} = \frac{5 - x}{2}$
两边同时乘6去分母：
$2(x+3) - (x - 1) = 3(5 - x)$
去括号：
$2x +6 -x +1 =15 -3x$
合并同类项：
$x +7 =15 -3x$
移项：
$x +3x =15 -7$
$4x =8$
系数化为1得：$x=2$。
【答案】
1，$x=2$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；去分母法则
【点评】
本题属于一元一次方程的错解类题型，解题关键是明确错解满足错误变形后的方程，先求出未知参数，再求解原方程，是一元一次方程章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
9 整体思想 若关于$ x $的方程$\frac{x}{225} + 5 = 225x + 2m$的解为$ x = 226 $，则关于$ x $的方程$\frac{x - 6}{225} - 5 = 225(x - 6) - 2m$的解为________.
答案
9. $x=-220$ 【解析】将方程$\frac{x-6}{225}-5=225(x-6)-2m$的两边乘$-1$,得$\frac{6-x}{225}+5=225(6-x)+2m$.根据题意,得$6-x=226$,解得$x=-220$.
解析
【分析】
观察两个方程的结构发现形式高度相似，无需先计算参数m的值，可利用整体思想求解。首先对第二个方程进行变形，使其和已知解的第一个方程结构完全一致，再将两个方程中结构相同的部分看作整体，利用第一个方程的解建立关于所求x的一元一次方程，最后解方程即可得到答案。
【解析】
将方程$\frac{x - 6}{225} - 5 = 225(x - 6) - 2m$两边同时乘$-1$，可得：
$\frac{6 - x}{225} + 5 = 225(6 - x) + 2m$
已知关于$x$的方程$\frac{x}{225} + 5 = 225x + 2m$的解为$x=226$，对比两个方程的结构，可得整体$6-x = 226$
解这个方程：
移项得 $-x = 226 - 6$
合并同类项得 $-x = 220$
系数化为1得 $x = -220$
【答案】
$x=-220$
【知识点】
一元一次方程的解、整体代入思想、等式的基本性质
【点评】
本题是典型的利用整体思想求解一元一次方程的题型，无需计算参数的具体值，通过变形方程匹配已知方程的结构，用整体代换即可快速求解，大幅简化计算过程，是求解同结构方程的常用技巧。
【难度系数】
0.6
观察两个方程的结构发现形式高度相似，无需先计算参数m的值，可利用整体思想求解。首先对第二个方程进行变形，使其和已知解的第一个方程结构完全一致，再将两个方程中结构相同的部分看作整体，利用第一个方程的解建立关于所求x的一元一次方程，最后解方程即可得到答案。
【解析】
将方程$\frac{x - 6}{225} - 5 = 225(x - 6) - 2m$两边同时乘$-1$，可得：
$\frac{6 - x}{225} + 5 = 225(6 - x) + 2m$
已知关于$x$的方程$\frac{x}{225} + 5 = 225x + 2m$的解为$x=226$，对比两个方程的结构，可得整体$6-x = 226$
解这个方程：
移项得 $-x = 226 - 6$
合并同类项得 $-x = 220$
系数化为1得 $x = -220$
【答案】
$x=-220$
【知识点】
一元一次方程的解、整体代入思想、等式的基本性质
【点评】
本题是典型的利用整体思想求解一元一次方程的题型，无需计算参数的具体值，通过变形方程匹配已知方程的结构，用整体代换即可快速求解，大幅简化计算过程，是求解同结构方程的常用技巧。
【难度系数】
0.6
10《张邱建算经》是我国北魏时期的数学名著，书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？”其大意为现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，则她一共织了________尺布。
答案
10. 90 【解析】设每天减少 $ x $ 尺布. 因为第一天织了五尺布,最后一天仅织了一尺布,30 天完工,所以 $ 5-29x=1 $,解得 $ x=\frac{4}{29} $.所以她一共织了 $ 5+5-x+5-2x+5-3x+\dots+5-29x=5×30-\frac{(1+29)×29}{2}x=150-\frac{30×29}{2}×\frac{4}{29}=90 $(尺)布.
解析
【分析】
本题是结合古代数学背景的实际应用题，解题思路如下：首先明确数量关系：该女子每天织布减少的量相同，第1天织5尺，第n天的织布量=第一天织布量-(n-1)×每天减少的量，结合第30天织1尺的条件，可设未知数列一元一次方程求出每天减少的织布量；其次计算30天总织布量时，将每天的织布量相加后整理，可转化为“30个5的和”减去“每天减少量乘1到29的和”，再用首尾相加的简便方法计算1到29的和，代入数值即可求出总织布量。
【解析】
解：设该女子每天织布减少$x$尺。
第30天织布时，相比第一天共减少了29次$x$，结合第30天织1尺的条件，可列方程：
$5-29x=1$
解得：$x=\frac{4}{29}$
30天总织布量为每天织布量之和：
$\begin{aligned}&5+(5-x)+(5-2x)+\dots+(5-29x)\\=&5×30-(1+2+3+\dots+29)x\end{aligned}$
其中$1+2+3+\dots+29=\frac{(1+29)×29}{2}$，代入计算：
$\begin{aligned}\mathrm{总织布量}&=150-\frac{30×29}{2}×\frac{4}{29}\\&=150-15×4\\&=150-60\\&=90\end{aligned}$
即一共织了90尺布。
【答案】
90
【知识点】
一元一次方程应用，有理数简便运算，数字规律探究
【点评】
本题依托古代数学典籍设置情境，既考查了用一元一次方程解决实际问题的能力，也考查了有理数加法的简便运算能力，解题时要注意第30天的织布量是减去29个每日减少量，避免出现多减1次的错误。
【难度系数】
0.7
本题是结合古代数学背景的实际应用题，解题思路如下：首先明确数量关系：该女子每天织布减少的量相同，第1天织5尺，第n天的织布量=第一天织布量-(n-1)×每天减少的量，结合第30天织1尺的条件，可设未知数列一元一次方程求出每天减少的织布量；其次计算30天总织布量时，将每天的织布量相加后整理，可转化为“30个5的和”减去“每天减少量乘1到29的和”，再用首尾相加的简便方法计算1到29的和，代入数值即可求出总织布量。
【解析】
解：设该女子每天织布减少$x$尺。
第30天织布时，相比第一天共减少了29次$x$，结合第30天织1尺的条件，可列方程：
$5-29x=1$
解得：$x=\frac{4}{29}$
30天总织布量为每天织布量之和：
$\begin{aligned}&5+(5-x)+(5-2x)+\dots+(5-29x)\\=&5×30-(1+2+3+\dots+29)x\end{aligned}$
其中$1+2+3+\dots+29=\frac{(1+29)×29}{2}$，代入计算：
$\begin{aligned}\mathrm{总织布量}&=150-\frac{30×29}{2}×\frac{4}{29}\\&=150-15×4\\&=150-60\\&=90\end{aligned}$
即一共织了90尺布。
【答案】
90
【知识点】
一元一次方程应用，有理数简便运算，数字规律探究
【点评】
本题依托古代数学典籍设置情境，既考查了用一元一次方程解决实际问题的能力，也考查了有理数加法的简便运算能力，解题时要注意第30天的织布量是减去29个每日减少量，避免出现多减1次的错误。
【难度系数】
0.7
11 解方程：
(1) $2(x + 8) = 1 - 3(x - 2)$；
(2) $\frac{1}{2}x - 2(\frac{5}{4}x + 1) = 8 + x$；
(3) $\frac{5y + 4}{3} + \frac{y - 1}{4} = 2 - \frac{5y - 5}{12}$；
(4) $\frac{x - 3}{0.5} - \frac{x + 4}{0.2} = 1.6$。
(1) $2(x + 8) = 1 - 3(x - 2)$；
(2) $\frac{1}{2}x - 2(\frac{5}{4}x + 1) = 8 + x$；
(3) $\frac{5y + 4}{3} + \frac{y - 1}{4} = 2 - \frac{5y - 5}{12}$；
(4) $\frac{x - 3}{0.5} - \frac{x + 4}{0.2} = 1.6$。
答案
11. (1) $x=-\frac{9}{5}$ (2) $x=-\frac{10}{3}$ (3) $y=\frac{4}{7}$ (4) $x=-9.2$
解析
【分析】
解一元一次方程的常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可根据方程的特点选择对应步骤求解。
（1）（2）为带括号的一元一次方程，先去括号（注意括号前是负号时括号内各项要变号），再移项合并同类项，最后系数化为1即可；
（3）为带分母的一元一次方程，先找各分母的最小公倍数去分母（注意常数项也要乘最小公倍数，避免漏乘），再按后续常规步骤计算；
（4）的分母为小数，先利用分数的基本性质，将分子分母同时扩大相同倍数把分母化为整数，再按常规步骤求解。
【解析】
(1) 解方程$2(x + 8) = 1 - 3(x - 2)$
去括号，得：$2x + 16 = 1 - 3x + 6$
移项，得：$2x + 3x = 1 + 6 - 16$
合并同类项，得：$5x = -9$
系数化为1，得：$x = -\frac{9}{5}$
(2) 解方程$\frac{1}{2}x - 2(\frac{5}{4}x + 1) = 8 + x$
去括号，得：$\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}x - 2 = 8 + x$
移项，得：$\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}x - x = 8 + 2$
合并同类项，得：$-3x = 10$
系数化为1，得：$x = -\frac{10}{3}$
(3) 解方程$\frac{5y + 4}{3} + \frac{y - 1}{4} = 2 - \frac{5y - 5}{12}$
去分母（两边同乘12），得：$4(5y + 4) + 3(y - 1) = 24 - (5y - 5)$
去括号，得：$20y + 16 + 3y - 3 = 24 - 5y + 5$
移项，得：$20y + 3y + 5y = 24 + 5 - 16 + 3$
合并同类项，得：$28y = 16$
系数化为1，得：$y = \frac{4}{7}$
(4) 解方程$\frac{x - 3}{0.5} - \frac{x + 4}{0.2} = 1.6$
利用分数基本性质化分母为整数，得：$2(x - 3) - 5(x + 4) = 1.6$
去括号，得：$2x - 6 - 5x - 20 = 1.6$
移项，得：$2x - 5x = 1.6 + 6 + 20$
合并同类项，得：$-3x = 27.6$
系数化为1，得：$x = -9.2$
【答案】
(1) $x=-\frac{9}{5}$；(2) $x=-\frac{10}{3}$；(3) $y=\frac{4}{7}$；(4) $x=-9.2$
【知识点】
一元一次方程的解法，等式的性质，去括号法则
【点评】
本题涵盖带括号、带分母、分母为小数等一元一次方程的常见考查类型，解题时需注意规避易错点：去括号时括号前为负号要变号，去分母时常数项不要漏乘，分母化整数时仅调整对应分数的分子分母即可，不要和去分母步骤混淆，熟练掌握解题步骤就能快速准确求解。
【难度系数】
0.7
解一元一次方程的常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可根据方程的特点选择对应步骤求解。
（1）（2）为带括号的一元一次方程，先去括号（注意括号前是负号时括号内各项要变号），再移项合并同类项，最后系数化为1即可；
（3）为带分母的一元一次方程，先找各分母的最小公倍数去分母（注意常数项也要乘最小公倍数，避免漏乘），再按后续常规步骤计算；
（4）的分母为小数，先利用分数的基本性质，将分子分母同时扩大相同倍数把分母化为整数，再按常规步骤求解。
【解析】
(1) 解方程$2(x + 8) = 1 - 3(x - 2)$
去括号，得：$2x + 16 = 1 - 3x + 6$
移项，得：$2x + 3x = 1 + 6 - 16$
合并同类项，得：$5x = -9$
系数化为1，得：$x = -\frac{9}{5}$
(2) 解方程$\frac{1}{2}x - 2(\frac{5}{4}x + 1) = 8 + x$
去括号，得：$\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}x - 2 = 8 + x$
移项，得：$\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}x - x = 8 + 2$
合并同类项，得：$-3x = 10$
系数化为1，得：$x = -\frac{10}{3}$
(3) 解方程$\frac{5y + 4}{3} + \frac{y - 1}{4} = 2 - \frac{5y - 5}{12}$
去分母（两边同乘12），得：$4(5y + 4) + 3(y - 1) = 24 - (5y - 5)$
去括号，得：$20y + 16 + 3y - 3 = 24 - 5y + 5$
移项，得：$20y + 3y + 5y = 24 + 5 - 16 + 3$
合并同类项，得：$28y = 16$
系数化为1，得：$y = \frac{4}{7}$
(4) 解方程$\frac{x - 3}{0.5} - \frac{x + 4}{0.2} = 1.6$
利用分数基本性质化分母为整数，得：$2(x - 3) - 5(x + 4) = 1.6$
去括号，得：$2x - 6 - 5x - 20 = 1.6$
移项，得：$2x - 5x = 1.6 + 6 + 20$
合并同类项，得：$-3x = 27.6$
系数化为1，得：$x = -9.2$
【答案】
(1) $x=-\frac{9}{5}$；(2) $x=-\frac{10}{3}$；(3) $y=\frac{4}{7}$；(4) $x=-9.2$
【知识点】
一元一次方程的解法，等式的性质，去括号法则
【点评】
本题涵盖带括号、带分母、分母为小数等一元一次方程的常见考查类型，解题时需注意规避易错点：去括号时括号前为负号要变号，去分母时常数项不要漏乘，分母化整数时仅调整对应分数的分子分母即可，不要和去分母步骤混淆，熟练掌握解题步骤就能快速准确求解。
【难度系数】
0.7
