12 已知数轴上A，B两点表示的数分别为－1，3，P为数轴上一动点，其表示的数为x.
（1）数轴上是否存在点P，使点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.
（2）现在点A，B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动.当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P表示的数.

12. (1) 存在 根据题意,得点 $ P $ 到点 $ A $ 的距离为 $ |-1-x| $,点 $ P $ 到点 $ B $ 的距离为 $ |x-3| $.假设存在点 $ P $ 到点 $ A $ 的距离等于点 $ P $ 到点 $ B $ 的距离的 2 倍,则 $ |-1-x|=2|x-3| $,即 $ -1-x=2(x-3) $ 或 $ -1-x=-2(x-3) $,解得 $ x=\frac{5}{3} $ 或 $ x=7 $,因此假设成立, $ x $ 的值为 $ \frac{5}{3} $ 或 7 (2) ① 当点 $ A $ 在点 $ B $ 的左边,两点相距3 个单位长度时,设此时运动的时间为 $ t $ 秒. 根据题意,得 $ (3+0.5t)-(-1+2t)=3 $. 解这个方程,得 $ t=\frac{2}{3} $,此时点 $ P $ 表示的数为 $ -6×\frac{2}{3}=-4 $. ② 当点 $ A $ 在点 $ B $ 的右边,两点相距 3 个单位长度时,设此时运动的时间为 $ m $ 秒. 根据题意,得 $ (-1+2m)-(3+0.5m)=3 $. 解这个方程,得 $ m=\frac{14}{3} $,此时点 $ P $ 表示的数为 $ -6×\frac{14}{3}=-28 $. 综上所述,当点 $ A $ 与点 $ B $ 之间的距离为 3个单位长度时,点 $ P $ 表示的数为 $ -4 $ 或 $ -28 $

【分析】
（1）要判断是否存在符合条件的点P，首先利用数轴上两点距离公式，即两点间距离等于两点所表示数的差的绝对值，分别表示出PA、PB的长度，再根据PA=2PB列绝对值方程，分两种情况去绝对值求解，若能求出合理的x则说明存在。
（2）第二问是动点问题，先设运动时间为t，分别写出t秒后A、B、P三点表示的数，AB距离为3需分两类讨论：一是A在B左侧未追上时，B的数减A的数等于3；二是A超过B后，A的数减B的数等于3，分别解出t后代入P的表达式即可得到结果。
【解析】
（1）存在。
数轴上点P到点A的距离为$|x-(-1)|=|x+1|$，点P到点B的距离为$|x-3|$，根据题意列方程：
$|x+1|=2|x-3|$
分两种情况去绝对值求解：
① 当$x+1=2(x-3)$时，
展开得$x+1=2x-6$，解得$x=7$；
② 当$x+1=-2(x-3)$时，
展开得$x+1=-2x+6$，移项合并得$3x=5$，解得$x=\frac{5}{3}$。
（2）设运动时间为$t$秒，$t$秒后点A表示的数为$-1+2t$，点B表示的数为$3+0.5t$，点P表示的数为$-6t$，分两种情况讨论：
① 当点A在点B左侧，两点距离为3时：
$(3+0.5t)-(-1+2t)=3$
化简得$4-1.5t=3$，解得$t=\frac{2}{3}$，此时点P表示的数为$-6×\frac{2}{3}=-4$；
② 当点A在点B右侧，两点距离为3时：
$(-1+2t)-(3+0.5t)=3$
化简得$1.5t-4=3$，解得$t=\frac{14}{3}$，此时点P表示的数为$-6×\frac{14}{3}=-28$。
【答案】
（1）存在，$x$的值为$\frac{5}{3}$或$7$；（2）点P表示的数为$-4$或$-28$
【知识点】
数轴两点距离，绝对值方程，一元一次方程应用
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解绝对值方程和处理动点问题时都要注意多解情况，避免漏算某一种位置对应的结果。
【难度系数】
0.6

13 [2024 苏州]某条城际铁路线共有 A,B,C 三个车站,每日上午均有两班次列车从 A 站驶往 C 站,其中 D1001 次列车从 A 站始发,经停 B 站后到达 C站,G1002 次列车从 A 站始发,直达 C站,两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究,收集到列车运行信息如下表:

请根据表格中的信息,解答问题:
(1) D1001 次列车从 A 站到 B 站行驶了分钟,从 B 站到 C 站行驶了分钟.
(2) 记 D1001 次列车的行驶速度为 $ v_1 $ 千米/分,离 A 站的路程为 $ d_1 $ 千米;G1002 次列车的行驶速度为 $ v_2 $ 千米/分,离 A 站的路程为 $ d_2 $ 千米.
① $\frac{v_1}{v_2} = $.
② 从上午 8:00 开始计时,时长记为 $ t $ 分钟(如上午 9:15,则 $ t=75 $).已知 $ v_1=4 $,在 G1002 次列车的行驶过程中($ 25 ≤ t ≤ 150 $),若 $ |d_1 - d_2| = 60 $,求 $ t $ 的值.

13. (1) 90 60
(2) ① $\frac{5}{6}$ 【解析】根据题意,得 D1001 次列车从 A 站到 C 站共需 $ 90+60=150 $(分钟),G1002 次列车从 A 站到 C 站共需 $ 35+60+30=125 $(分钟),所以 $ 150v_1=125v_2 $.所以 $ \frac{v_1}{v_2}=\frac{5}{6} $.
② 因为 $ v_1=4 $,$ \frac{v_1}{v_2}=\frac{5}{6} $,所以 $ v_2=4.8 $. 因为 $ 4×90=360 $(千米),所以 A 站与 B 站之间的路程为 360 千米. 因为 $ 360÷4.8=75 $(分钟),所以当 $ t=100 $ 时,G1002 次列车经过 B 站. 由题意可知,当 $ 90≤ t≤110 $ 时,D1001 次列车在 B 站停车,所以 G1002 次列车经过 B 站时,D1001 次列车正在 B 站停车. 情况 1:当 $ 25≤ t＜90 $ 时,$ d_1＞d_2 $,所以 $ |d_1-d_2|=d_1-d_2 $,由 $ 4t-4.8(t-25)=60 $,解得 $ t=75 $. 情况 2:当 $ 90≤ t≤100 $ 时,$ d_1≥ d_2 $,所以 $ |d_1-d_2|=d_1-d_2 $,由 $ 360-4.8(t-25)=60 $,解得 $ t=87.5 $,不合题意,舍去. 情况 3:当 $ 100＜t≤110 $ 时,$ d_1＜d_2 $,所以 $ |d_1-d_2|=d_2-d_1 $,由 $ 4.8(t-25)-360=60 $,解得 $ t=112.5 $,不合题意,舍去. 情况 4:当 $ 110＜t≤150 $ 时,$ d_1＜d_2 $,所以 $ |d_1-d_2|=d_2-d_1 $,由 $ 4.8(t-25)-[360+4(t-110)]=60 $,解得 $ t=125 $. 综上所述,若 $ |d_1-d_2|=60 $,$ t $ 的值为 75 或 125

【分析】
(1) 计算列车行驶时间直接用对应区间的到站时刻减去发车时刻即可。(2) ①A站到C站总路程固定，分别计算两车次从A到C的总行驶时间，根据路程=速度×时间，路程相等列等式即可求出速度比。②首先根据已知的$v_1$和速度比求出$v_2$，再梳理D1001在不同时间段的运行状态（行驶/停车），分情况写出$d_1$和$d_2$关于$t$的表达式，代入$|d_1-d_2|=60$列方程求解，最后检验解是否在对应时间段范围内，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) D1001次从A站8:00发车，9:30到达B站，行驶时间：$9时30分-8时=90分钟$；从B站9:50发车，10:50到达C站，行驶时间：$10时50分-9时50分=60分钟$。
(2) ① D1001从A到C总行驶时间为$90+60=150分钟$，G1002从A站8:25发车，10:30到达C站，总行驶时间为$10时30分-8时25分=125分钟$。由于A到C总路程相等，因此$150v_1=125v_2$，整理得$\frac{v_1}{v_2}=\frac{125}{150}=\frac{5}{6}$。
② 已知$v_1=4$，结合$\frac{v_1}{v_2}=\frac{5}{6}$，解得$v_2=4÷\frac{5}{6}=4.8$千米/分。
A、B两站路程为$4×90=360$千米，G1002行驶到B站的时间为$360÷4.8=75$分钟，G1002在$t=25$时发车，因此经过B站对应$t=25+75=100$分钟；D1001在9:30到9:50停在B站，对应$t=90$到$t=110$分钟，此段时间$d_1=360$千米不变。
分情况讨论：
情况1：当$25\le t＜90$时，$d_1=4t$，$d_2=4.8(t-25)$，此时$d_1＞d_2$，列方程：
$4t - 4.8(t-25)=60$，解得$t=75$，符合区间要求，有效。
情况2：当$90\le t\le100$时，$d_1=360$，$d_2=4.8(t-25)$，此时$d_1\ge d_2$，列方程：
$360 -4.8(t-25)=60$，解得$t=87.5$，不在对应区间内，舍去。
情况3：当$100＜ t\le110$时，$d_1=360$，$d_2=4.8(t-25)$，此时$d_2＞d_1$，列方程：
$4.8(t-25)-360=60$，解得$t=112.5$，不在对应区间内，舍去。
情况4：当$110＜ t\le150$时，$d_1=360+4(t-110)$，$d_2=4.8(t-25)$，此时$d_2＞d_1$，列方程：
$4.8(t-25)-[360+4(t-110)]=60$，解得$t=125$，符合区间要求，有效。
综上，$t$的值为75或125。
【答案】
(1) $\boxed{90}$；$\boxed{60}$
(2) ① $\boxed{\frac{5}{6}}$；② $\boxed{t=75}$或$\boxed{t=125}$
【知识点】
行程问题计算；一元一次方程的应用；分类讨论思想
【点评】
本题结合实际列车运行场景考查行程类问题，解题关键是理清不同时间段两列车的运行状态，正确列出对应时间段的路程表达式，求解后注意验证解是否符合对应的时间区间，能够有效考查学生的逻辑思维能力和实际问题转化能力。
【难度系数】
0.6