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8.(2025·南京月考)若
=1，
=2，
=3，则
=
=1，=2，=3，则=9
.答案
8.9
解析
【分析】
本题是图形规律结合有理数运算的题目，解题思路如下：首先观察给出的前三个图形与对应数值的匹配关系，结合有理数乘法的知识，归纳出图形隐含的运算规律，再将规律应用到第四个图形中，计算出最终结果即可。
【解析】
观察已知条件：[插图1]对应数值1，[插图2]对应数值2，[插图3]对应数值3，分析可得图形的运算规律为图形对应数值由其内部标注的数按乘法规则计算得出，前三个图形分别符合$1×1=1$、$2×1=2$、$3×1=3$的运算，第四个图形内部对应运算为$3×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
规律探究、有理数乘法
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力，需要结合已学的有理数运算知识挖掘图形中的运算规则，是规律类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
本题是图形规律结合有理数运算的题目，解题思路如下：首先观察给出的前三个图形与对应数值的匹配关系，结合有理数乘法的知识，归纳出图形隐含的运算规律，再将规律应用到第四个图形中，计算出最终结果即可。
【解析】
观察已知条件：[插图1]对应数值1，[插图2]对应数值2，[插图3]对应数值3，分析可得图形的运算规律为图形对应数值由其内部标注的数按乘法规则计算得出，前三个图形分别符合$1×1=1$、$2×1=2$、$3×1=3$的运算，第四个图形内部对应运算为$3×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
规律探究、有理数乘法
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力，需要结合已学的有理数运算知识挖掘图形中的运算规则，是规律类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
9.小海在计算$(-16)÷ a$时,误将“$÷$”看成了“$+$”,所得结果是$-12$,那么$(-16)÷ a$的正确结果是________.
答案
9.$-4$
解析
【分析】
这是一道错中求解类题目，解题思路分为两步：第一步，先根据误把“÷”看成“+”得到的错误结果，列出关于a的等式，求出a的取值；第二步，将求出的a代入正确的除法算式，按照有理数除法法则计算出最终结果即可。
【解析】
1. 首先根据错误运算列等式求a：
由题意可知，错误运算的算式为$(-16) + a = -12$
移项得：$a = -12 - (-16)$
根据有理数减法法则计算：$a = -12 + 16 = 4$
2. 再代入正确算式计算结果：
将$a=4$代入$(-16)÷a$得：
$(-16)÷4 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
有理数的加减运算；有理数的除法运算；一元一次方程初步应用
【点评】
本题属于基础的错中求解题型，解题核心是先通过错误的运算关系求出未知参数的值，再代入原式计算正确结果，主要考察学生对有理数运算法则的掌握程度。
【难度系数】
0.8
这是一道错中求解类题目，解题思路分为两步：第一步，先根据误把“÷”看成“+”得到的错误结果，列出关于a的等式，求出a的取值；第二步，将求出的a代入正确的除法算式，按照有理数除法法则计算出最终结果即可。
【解析】
1. 首先根据错误运算列等式求a：
由题意可知，错误运算的算式为$(-16) + a = -12$
移项得：$a = -12 - (-16)$
根据有理数减法法则计算：$a = -12 + 16 = 4$
2. 再代入正确算式计算结果：
将$a=4$代入$(-16)÷a$得：
$(-16)÷4 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
有理数的加减运算；有理数的除法运算；一元一次方程初步应用
【点评】
本题属于基础的错中求解题型，解题核心是先通过错误的运算关系求出未知参数的值，再代入原式计算正确结果，主要考察学生对有理数运算法则的掌握程度。
【难度系数】
0.8
10.若$ab≠0$,则$\frac{a}{|a|}-\frac{|b|}{b}=$
-2或0或2
.答案
10.$-2$或$0$或$2$
解析
【分析】
首先由$ab≠0$可得$a$和$b$都不为0，根据绝对值的性质，非零数除以它的绝对值结果只有1或-1两种可能：当数为正数时，结果是1；当数为负数时，结果是-1。因此我们可以按$a$、$b$的正负性分四类情况讨论，分别计算式子的值即可。
【解析】
$\because ab≠ 0$，$\therefore a≠ 0$，$b≠ 0$，分以下四种情况讨论：
1. 当$a＞0$，$b＞0$时，$\frac{a}{|a|}=1$，$\frac{|b|}{b}=1$，原式$=1-1=0$；
2. 当$a＞0$，$b＜0$时，$\frac{a}{|a|}=1$，$\frac{|b|}{b}=-1$，原式$=1-(-1)=2$；
3. 当$a＜0$，$b＞0$时，$\frac{a}{|a|}=-1$，$\frac{|b|}{b}=1$，原式$=-1-1=-2$；
4. 当$a＜0$，$b＜0$时，$\frac{a}{|a|}=-1$，$\frac{|b|}{b}=-1$，原式$=-1-(-1)=0$。
综上，式子的值为$-2$或$0$或$2$。
【答案】
$-2$或$0$或$2$
【知识点】
绝对值的性质；有理数减法；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是根据绝对值的性质确定非零数与自身绝对值的商的取值，再对$a$、$b$的正负情况进行全面分类计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先由$ab≠0$可得$a$和$b$都不为0，根据绝对值的性质，非零数除以它的绝对值结果只有1或-1两种可能：当数为正数时，结果是1；当数为负数时，结果是-1。因此我们可以按$a$、$b$的正负性分四类情况讨论，分别计算式子的值即可。
【解析】
$\because ab≠ 0$，$\therefore a≠ 0$，$b≠ 0$，分以下四种情况讨论：
1. 当$a＞0$，$b＞0$时，$\frac{a}{|a|}=1$，$\frac{|b|}{b}=1$，原式$=1-1=0$；
2. 当$a＞0$，$b＜0$时，$\frac{a}{|a|}=1$，$\frac{|b|}{b}=-1$，原式$=1-(-1)=2$；
3. 当$a＜0$，$b＞0$时，$\frac{a}{|a|}=-1$，$\frac{|b|}{b}=1$，原式$=-1-1=-2$；
4. 当$a＜0$，$b＜0$时，$\frac{a}{|a|}=-1$，$\frac{|b|}{b}=-1$，原式$=-1-(-1)=0$。
综上，式子的值为$-2$或$0$或$2$。
【答案】
$-2$或$0$或$2$
【知识点】
绝对值的性质；有理数减法；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是根据绝对值的性质确定非零数与自身绝对值的商的取值，再对$a$、$b$的正负情况进行全面分类计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11.(2025·玄武区月考)下列说法:①若$|a|=|b|$,则$a=b$;②若$a,b$互为倒数,则$\dfrac{a}{b}=1$;③若$|a|=a$,则$a＞0$;④若$a+b=0$,则$a,b$互为相反数.其中错误的有________.(填序号)
答案
11.①②③
解析
【分析】
本题为有理数概念辨析题，我们需要逐个验证4个说法的正误：结合绝对值的性质判断①③，结合倒数的定义判断②，结合相反数的定义判断④，最终筛选出所有错误的说法即可。
【解析】
对每个说法逐一分析如下：
① 若$|a|=|b|$，仅说明$a$和$b$到原点的距离相等，此时$a=b$或$a=-b$，例如$a=2$，$b=-2$时，$|2|=|-2|$但$2≠-2$，因此①错误；
② 若$a,b$互为倒数，根据倒数的定义可知$ab=1$，并非$\dfrac{a}{b}=1$，例如$a=3$，$b=\dfrac{1}{3}$互为倒数，此时$\dfrac{a}{b}=9≠1$，因此②错误；
③ 若$|a|=a$，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，可得$a≥0$，包含$a=0$的情况，并非$a＞0$，因此③错误；
④ 若$a+b=0$，则$a=-b$，符合相反数的定义，因此④正确。
综上，错误的说法为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
绝对值的性质；倒数的定义；相反数的定义
【点评】
本题侧重考查有理数基础概念的理解，解题时可以通过举反例的方法快速验证说法是否成立，尤其要注意0的特殊性，避免漏考虑特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题为有理数概念辨析题，我们需要逐个验证4个说法的正误：结合绝对值的性质判断①③，结合倒数的定义判断②，结合相反数的定义判断④，最终筛选出所有错误的说法即可。
【解析】
对每个说法逐一分析如下：
① 若$|a|=|b|$，仅说明$a$和$b$到原点的距离相等，此时$a=b$或$a=-b$，例如$a=2$，$b=-2$时，$|2|=|-2|$但$2≠-2$，因此①错误；
② 若$a,b$互为倒数，根据倒数的定义可知$ab=1$，并非$\dfrac{a}{b}=1$，例如$a=3$，$b=\dfrac{1}{3}$互为倒数，此时$\dfrac{a}{b}=9≠1$，因此②错误；
③ 若$|a|=a$，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，可得$a≥0$，包含$a=0$的情况，并非$a＞0$，因此③错误；
④ 若$a+b=0$，则$a=-b$，符合相反数的定义，因此④正确。
综上，错误的说法为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
绝对值的性质；倒数的定义；相反数的定义
【点评】
本题侧重考查有理数基础概念的理解，解题时可以通过举反例的方法快速验证说法是否成立，尤其要注意0的特殊性，避免漏考虑特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7
12.计算:
(1)$(-\dfrac{5}{7})×(-\dfrac{4}{3})÷(-2\dfrac{1}{7})$；
(2)$-72×2\dfrac{1}{4}×\dfrac{4}{9}÷(-3\dfrac{3}{5})$；
(3)$-2\dfrac{1}{5}×2\dfrac{3}{11}÷(-2\dfrac{1}{2})$；
(4)$(-\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{3}{7})÷(-1\dfrac{1}{6})$；
(5)$(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{12})÷(-\dfrac{1}{36})$；
(6)$(-\dfrac{1}{42})÷(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7})$。
(1)$(-\dfrac{5}{7})×(-\dfrac{4}{3})÷(-2\dfrac{1}{7})$；
(2)$-72×2\dfrac{1}{4}×\dfrac{4}{9}÷(-3\dfrac{3}{5})$；
(3)$-2\dfrac{1}{5}×2\dfrac{3}{11}÷(-2\dfrac{1}{2})$；
(4)$(-\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{3}{7})÷(-1\dfrac{1}{6})$；
(5)$(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{12})÷(-\dfrac{1}{36})$；
(6)$(-\dfrac{1}{42})÷(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7})$。
答案
12.解:(1)原式=$(-\dfrac{5}{7})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{7}{15})=-\dfrac{4}{9}$.
(2)原式=$72×\dfrac{9}{4}×\dfrac{4}{9}×\dfrac{5}{18}=20$.
(3)原式=$\dfrac{11}{5}×\dfrac{25}{11}×\dfrac{2}{5}=2$.
(4)原式=$(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{6}{7})=-\dfrac{3}{2}$.
(5)原式=$(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{12})×(-36)=-\dfrac{3}{4}×(-36)-\dfrac{1}{6}×(-36)+\dfrac{5}{12}×(-36)=27+6-15=18$.
(6) 原式 = $(-\dfrac{1}{42}) ÷ [\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-(\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7})] = (-\dfrac{1}{42})÷(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})=(-\dfrac{1}{42})×3=-\dfrac{1}{14}$.
(2)原式=$72×\dfrac{9}{4}×\dfrac{4}{9}×\dfrac{5}{18}=20$.
(3)原式=$\dfrac{11}{5}×\dfrac{25}{11}×\dfrac{2}{5}=2$.
(4)原式=$(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{6}{7})=-\dfrac{3}{2}$.
(5)原式=$(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{12})×(-36)=-\dfrac{3}{4}×(-36)-\dfrac{1}{6}×(-36)+\dfrac{5}{12}×(-36)=27+6-15=18$.
(6) 原式 = $(-\dfrac{1}{42}) ÷ [\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-(\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7})] = (-\dfrac{1}{42})÷(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})=(-\dfrac{1}{42})×3=-\dfrac{1}{14}$.
解析
【分析】
解决有理数乘除及含加减的混合运算题，可按以下思路思考：1.统一运算形式：先将所有除法转化为乘法（除以一个不为0的数等于乘它的倒数），同时把式子中的带分数全部化为假分数，方便后续约分计算；2.确定结果符号：统计乘法式子中负因数的个数，负因数为奇数个时结果为负，偶数个时结果为正，先定符号再算绝对值可降低出错率；3.计算绝对值部分：对各数的绝对值交叉约分后再计算乘积，简化运算；4.含括号的运算：若括号整体是被除数，可将除法转乘法后用乘法分配律简化计算；若括号整体是除数，需先计算括号内的加减，不可滥用分配律。
【解析】
(1) 先将带分数$2\dfrac{1}{7}$化为假分数$\dfrac{15}{7}$，除法转乘法：
原式=$(-\dfrac{5}{7})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{7}{15})$，负因数共3个（奇数个），结果为负，约分后得$-\dfrac{4}{9}$。
(2) 先将带分数化为假分数，除法转乘法，负因数共2个（偶数个），结果为正：
原式=$72×\dfrac{9}{4}×\dfrac{4}{9}×\dfrac{5}{18}$，约分后得$20$。
(3) 先将带分数化为假分数，除法转乘法，负因数共2个（偶数个），结果为正：
原式=$\dfrac{11}{5}×\dfrac{25}{11}×\dfrac{2}{5}$，约分后得$2$。
(4) 先将带分数化为假分数，除法转乘法，负因数共3个（奇数个），结果为负：
原式=$(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{6}{7})$，约分后得$-\dfrac{3}{2}$。
(5) 先将除法转乘法，括号整体是被除数，用乘法分配律计算：
原式=$(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{12})×(-36)$
=$-\dfrac{3}{4}×(-36)-\dfrac{1}{6}×(-36)+\dfrac{5}{12}×(-36)$
=$27+6-15=18$。
(6) 括号整体是除数，先计算括号内的加减，利用加法交换律合并同分母分数简化：
原式 = $(-\dfrac{1}{42}) ÷ [\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-(\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7})]$
=$(-\dfrac{1}{42})÷(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})$
=$(-\dfrac{1}{42})×3=-\dfrac{1}{14}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{4}{9}$；(2)$20$；(3)$2$；(4)$-\dfrac{3}{2}$；(5)$18$；(6)$-\dfrac{1}{14}$
【知识点】
有理数乘除混合运算；乘法分配律；带分数化假分数
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算规则和运算技巧，计算时遵循“先定符号、再算绝对值”的原则可有效降低出错率，统一运算形式后优先约分能简化计算过程，需注意除数为括号形式时不可随意使用分配律，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
解决有理数乘除及含加减的混合运算题，可按以下思路思考：1.统一运算形式：先将所有除法转化为乘法（除以一个不为0的数等于乘它的倒数），同时把式子中的带分数全部化为假分数，方便后续约分计算；2.确定结果符号：统计乘法式子中负因数的个数，负因数为奇数个时结果为负，偶数个时结果为正，先定符号再算绝对值可降低出错率；3.计算绝对值部分：对各数的绝对值交叉约分后再计算乘积，简化运算；4.含括号的运算：若括号整体是被除数，可将除法转乘法后用乘法分配律简化计算；若括号整体是除数，需先计算括号内的加减，不可滥用分配律。
【解析】
(1) 先将带分数$2\dfrac{1}{7}$化为假分数$\dfrac{15}{7}$，除法转乘法：
原式=$(-\dfrac{5}{7})×(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{7}{15})$，负因数共3个（奇数个），结果为负，约分后得$-\dfrac{4}{9}$。
(2) 先将带分数化为假分数，除法转乘法，负因数共2个（偶数个），结果为正：
原式=$72×\dfrac{9}{4}×\dfrac{4}{9}×\dfrac{5}{18}$，约分后得$20$。
(3) 先将带分数化为假分数，除法转乘法，负因数共2个（偶数个），结果为正：
原式=$\dfrac{11}{5}×\dfrac{25}{11}×\dfrac{2}{5}$，约分后得$2$。
(4) 先将带分数化为假分数，除法转乘法，负因数共3个（奇数个），结果为负：
原式=$(-\dfrac{3}{4})×(-\dfrac{7}{3})×(-\dfrac{6}{7})$，约分后得$-\dfrac{3}{2}$。
(5) 先将除法转乘法，括号整体是被除数，用乘法分配律计算：
原式=$(-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{12})×(-36)$
=$-\dfrac{3}{4}×(-36)-\dfrac{1}{6}×(-36)+\dfrac{5}{12}×(-36)$
=$27+6-15=18$。
(6) 括号整体是除数，先计算括号内的加减，利用加法交换律合并同分母分数简化：
原式 = $(-\dfrac{1}{42}) ÷ [\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3}-(\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7})]$
=$(-\dfrac{1}{42})÷(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2})$
=$(-\dfrac{1}{42})×3=-\dfrac{1}{14}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{4}{9}$；(2)$20$；(3)$2$；(4)$-\dfrac{3}{2}$；(5)$18$；(6)$-\dfrac{1}{14}$
【知识点】
有理数乘除混合运算；乘法分配律；带分数化假分数
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算规则和运算技巧，计算时遵循“先定符号、再算绝对值”的原则可有效降低出错率，统一运算形式后优先约分能简化计算过程，需注意除数为括号形式时不可随意使用分配律，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
13.若$a＞0,b＞0$，且$\frac{a}{b}＞1$，则$a＞b$；若$a＜0,b＜0$，且$\frac{a}{b}＞1$，则$a＜b$. 以上这种比较大小的方法叫作作商比较法. 试利用作商比较法比较$-\frac{15}{17}$与$-\frac{13}{15}$的大小.
答案
13.解:因为$\dfrac{-\dfrac{15}{17}}{-\dfrac{13}{15}}=\dfrac{15×15}{17×13}=\dfrac{225}{221},\dfrac{225}{221}＞1$,
所以$-\dfrac{15}{17}＜-\dfrac{13}{15}$.
所以$-\dfrac{15}{17}＜-\dfrac{13}{15}$.
解析
【分析】
要比较$-\frac{15}{17}$与$-\frac{13}{15}$的大小，首先观察到两个数都是负数，符合题目给出的作商比较法中“a＜0、b＜0”的适用前提。接下来先计算两个数的商，判断商和1的大小关系，最后根据同负数作商比较的规则，就能得出两个数的大小结论。
【解析】
因为两个待比较的数均为负数，满足作商比较法的适用条件，计算两数的商：
$\dfrac{-\dfrac{15}{17}}{-\dfrac{13}{15}}=\dfrac{15}{17}×\dfrac{15}{13}=\dfrac{15×15}{17×13}=\dfrac{225}{221}$
易得$\dfrac{225}{221}＞1$，根据作商比较法规则：若$a＜0,b＜0$，且$\frac{a}{b}＞1$，则$a＜b$，因此可得$-\frac{15}{17}＜-\frac{13}{15}$。
【答案】
$-\dfrac{15}{17}＜-\dfrac{13}{15}$
【知识点】
作商比较法，有理数除法运算，有理数大小比较
【点评】
本题是新定义应用类题目，重点考查对新规则的理解应用能力和基础有理数运算能力，解题时要注意区分同正、同负情况下作商比较的大小结论，避免判断颠倒。
【难度系数】
0.8
要比较$-\frac{15}{17}$与$-\frac{13}{15}$的大小，首先观察到两个数都是负数，符合题目给出的作商比较法中“a＜0、b＜0”的适用前提。接下来先计算两个数的商，判断商和1的大小关系，最后根据同负数作商比较的规则，就能得出两个数的大小结论。
【解析】
因为两个待比较的数均为负数，满足作商比较法的适用条件，计算两数的商：
$\dfrac{-\dfrac{15}{17}}{-\dfrac{13}{15}}=\dfrac{15}{17}×\dfrac{15}{13}=\dfrac{15×15}{17×13}=\dfrac{225}{221}$
易得$\dfrac{225}{221}＞1$，根据作商比较法规则：若$a＜0,b＜0$，且$\frac{a}{b}＞1$，则$a＜b$，因此可得$-\frac{15}{17}＜-\frac{13}{15}$。
【答案】
$-\dfrac{15}{17}＜-\dfrac{13}{15}$
【知识点】
作商比较法，有理数除法运算，有理数大小比较
【点评】
本题是新定义应用类题目，重点考查对新规则的理解应用能力和基础有理数运算能力，解题时要注意区分同正、同负情况下作商比较的大小结论，避免判断颠倒。
【难度系数】
0.8
