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9. 已知某铁路桥长 1500 米.现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒,整列火车完全在桥上的时间是 60 秒.则这列火车长为
300
米.答案
9.300
解析
【分析】解决这道题首先要明确火车两种行驶状态对应的实际路程：①火车从开始上桥到完全过桥，行驶总路程等于桥长加火车自身长度，用时90秒；②整列火车完全在桥上时，行驶路程等于桥长减火车自身长度，用时60秒。由于火车行驶速度恒定，两个过程的速度相等，我们可以设火车长度为x米，分别用路程除以时间表示两个过程的速度，列等式求解即可。
【解析】设这列火车的长度为x米。
根据速度=路程÷时间，且火车速度保持不变，可列方程：
$\frac{1500+x}{90}=\frac{1500-x}{60}$
两边同时乘以180消去分母，得：
$2(1500+x)=3(1500-x)$
展开括号：
$3000+2x=4500-3x$
移项合并同类项：
$5x=1500$
解得：
$x=300$
经检验，x=300符合题意。
【答案】300
【知识点】1. 一元一次方程的应用 2. 火车过桥行程问题 3. 路程速度时间关系
【点评】本题是行程类应用题的典型题型，解题核心是准确判断火车不同行驶状态下的实际行驶路程，抓住“速度不变”这一隐含等量关系建立方程，计算难度不高，重点考查对实际场景的分析能力。
【难度系数】0.7
【解析】设这列火车的长度为x米。
根据速度=路程÷时间，且火车速度保持不变，可列方程：
$\frac{1500+x}{90}=\frac{1500-x}{60}$
两边同时乘以180消去分母，得：
$2(1500+x)=3(1500-x)$
展开括号：
$3000+2x=4500-3x$
移项合并同类项：
$5x=1500$
解得：
$x=300$
经检验，x=300符合题意。
【答案】300
【知识点】1. 一元一次方程的应用 2. 火车过桥行程问题 3. 路程速度时间关系
【点评】本题是行程类应用题的典型题型，解题核心是准确判断火车不同行驶状态下的实际行驶路程，抓住“速度不变”这一隐含等量关系建立方程，计算难度不高，重点考查对实际场景的分析能力。
【难度系数】0.7
10.一架战斗机的储油量最多够它在空中飞行 4.6 h，飞机出航时顺风飞行，在静风中的速度是575 km/h，风速是 25 km/h，这架飞机最多飞出$ \underline{\qquad} km $就应返航。
答案
10.1320
解析
【分析】
本题属于顺风逆风类的行程问题，解题核心是找到等量关系：顺风飞行时间+逆风飞行时间=总最大飞行时间，且往返飞行路程相等。首先可先算出顺风、逆风的实际飞行速度，再设最远飞出的路程为未知数，根据“时间=路程÷速度”分别表示往返的时间，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
首先计算飞行速度：
顺风飞行速度 = 静风速度 + 风速 = $575 + 25 = 600$（km/h）
逆风飞行速度 = 静风速度 - 风速 = $575 - 25 = 550$（km/h）
设这架飞机最多飞出$x$ km就应返航，根据总飞行时间不超过4.6h可列方程：
$\frac{x}{600} + \frac{x}{550} = 4.6$
给方程两边同时乘6600（600和550的最小公倍数）消去分母：
$11x + 12x = 4.6 × 6600$
合并同类项得：
$23x = 30360$
解得：
$x = 1320$
【答案】
1320
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，顺风逆风速度计算
【点评】
本题是行程类方程应用的典型基础题，解题的关键是准确梳理往返路程、速度、时间的关系，抓住总时间固定的等量关系列方程，计算时注意通分和四则运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
本题属于顺风逆风类的行程问题，解题核心是找到等量关系：顺风飞行时间+逆风飞行时间=总最大飞行时间，且往返飞行路程相等。首先可先算出顺风、逆风的实际飞行速度，再设最远飞出的路程为未知数，根据“时间=路程÷速度”分别表示往返的时间，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
首先计算飞行速度：
顺风飞行速度 = 静风速度 + 风速 = $575 + 25 = 600$（km/h）
逆风飞行速度 = 静风速度 - 风速 = $575 - 25 = 550$（km/h）
设这架飞机最多飞出$x$ km就应返航，根据总飞行时间不超过4.6h可列方程：
$\frac{x}{600} + \frac{x}{550} = 4.6$
给方程两边同时乘6600（600和550的最小公倍数）消去分母：
$11x + 12x = 4.6 × 6600$
合并同类项得：
$23x = 30360$
解得：
$x = 1320$
【答案】
1320
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，顺风逆风速度计算
【点评】
本题是行程类方程应用的典型基础题，解题的关键是准确梳理往返路程、速度、时间的关系，抓住总时间固定的等量关系列方程，计算时注意通分和四则运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
11.从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路.如果骑自行车保持平路每小时行15 km，上坡路每小时行10 km，下坡路每小时行18 km，那么从甲地到乙地需要29 min，从乙地到甲地需要25 min.从甲地到乙地的路程是多少千米？
答案
11.解:设经过平路所用的时间为x h,
根据题意,得$10(\frac{29}{60}-x)=18(\frac{25}{60}-x)$,解得$x=\frac{1}{3}$.
则从甲地到乙地的路程是$15×\frac{1}{3}+10×(\frac{29}{60}-\frac{1}{3})=6.5(\mathrm{km})$.
答:从甲地到乙地的路程是6.5 km.
根据题意,得$10(\frac{29}{60}-x)=18(\frac{25}{60}-x)$,解得$x=\frac{1}{3}$.
则从甲地到乙地的路程是$15×\frac{1}{3}+10×(\frac{29}{60}-\frac{1}{3})=6.5(\mathrm{km})$.
答:从甲地到乙地的路程是6.5 km.
解析
【分析】
首先明确往返行程中，平路的路程和行驶时间是固定的，差异在于去时的上坡路返回时变为下坡路，且这段坡路的长度往返相等，这是解题的核心等量关系。首先将时间单位由分钟换算为小时（与速度单位匹配），设平路行驶时间为未知数，分别表示出去时上坡的路程和返回时下坡的路程，根据两段路程相等列方程求解平路时间，再分别计算平路和上坡路的长度相加即为总路程。
【解析】
首先统一单位：$29\mathrm{min}=\frac{29}{60}\mathrm{h}$，$25\mathrm{min}=\frac{25}{60}\mathrm{h}$。
设经过平路所用的时间为$x\ \mathrm{h}$，
根据去程上坡路程=返程下坡路程，列方程得：
$10(\frac{29}{60}-x)=18(\frac{25}{60}-x)$
解方程：
$\frac{290}{60}-10x=\frac{450}{60}-18x$
$8x=\frac{160}{60}$
$x=\frac{1}{3}$
再计算总路程：平路路程为$15×\frac{1}{3}=5\mathrm{km}$，上坡路程为$10×(\frac{29}{60}-\frac{1}{3})=1.5\mathrm{km}$，总路程为$5+1.5=6.5\mathrm{km}$。
【答案】
6.5 km
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；路程=速度×时间
【点评】
解题的关键是找到往返过程中上坡路程与下坡路程相等的等量关系，要注意时间单位的统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.6
首先明确往返行程中，平路的路程和行驶时间是固定的，差异在于去时的上坡路返回时变为下坡路，且这段坡路的长度往返相等，这是解题的核心等量关系。首先将时间单位由分钟换算为小时（与速度单位匹配），设平路行驶时间为未知数，分别表示出去时上坡的路程和返回时下坡的路程，根据两段路程相等列方程求解平路时间，再分别计算平路和上坡路的长度相加即为总路程。
【解析】
首先统一单位：$29\mathrm{min}=\frac{29}{60}\mathrm{h}$，$25\mathrm{min}=\frac{25}{60}\mathrm{h}$。
设经过平路所用的时间为$x\ \mathrm{h}$，
根据去程上坡路程=返程下坡路程，列方程得：
$10(\frac{29}{60}-x)=18(\frac{25}{60}-x)$
解方程：
$\frac{290}{60}-10x=\frac{450}{60}-18x$
$8x=\frac{160}{60}$
$x=\frac{1}{3}$
再计算总路程：平路路程为$15×\frac{1}{3}=5\mathrm{km}$，上坡路程为$10×(\frac{29}{60}-\frac{1}{3})=1.5\mathrm{km}$，总路程为$5+1.5=6.5\mathrm{km}$。
【答案】
6.5 km
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；路程=速度×时间
【点评】
解题的关键是找到往返过程中上坡路程与下坡路程相等的等量关系，要注意时间单位的统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.6
12.如图,运动场环形跑道周长为 300 米,爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步,速度为3米/秒,与此同时小红在爷爷后面 100 米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动,速度为$a$米/秒.
(1)若$a=1$,求两人第一次相遇所用的时间;
(2)若两人第一次相遇所用的时间为 80 秒,试求$a$的值.
第 12 题图
(1)若$a=1$,求两人第一次相遇所用的时间;
(2)若两人第一次相遇所用的时间为 80 秒,试求$a$的值.
第 12 题图
答案
12.解:(1)设小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间为x秒,
根据题意,得$3x-x=300-100$,
解得$x=100$.
答:小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间为100秒.
(2)①当$a＞3$时,
根据题意,得$80a-80×3=100$,
解得$a=4.25$.
②当$a＜3$时,根据题意,得$80×3-80a=300-100$,
解得$a=0.5$.
故a的值为0.5或4.25.
根据题意,得$3x-x=300-100$,
解得$x=100$.
答:小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间为100秒.
(2)①当$a＞3$时,
根据题意,得$80a-80×3=100$,
解得$a=4.25$.
②当$a＜3$时,根据题意,得$80×3-80a=300-100$,
解得$a=0.5$.
故a的值为0.5或4.25.
解析
【分析】
本题是环形跑道追及问题，解题思路如下：
（1）当a=1时，小红速度小于爷爷速度，此时为爷爷追小红，两人初始路程差为跑道周长减去100米，利用“速度差×追及时间=路程差”的等量关系列一元一次方程即可求解。
（2）未明确小红和爷爷的速度大小，需分两类讨论：①小红速度大于爷爷速度时，为小红追爷爷，路程差为初始的100米；②小红速度小于爷爷速度时，为爷爷追小红，路程差为300-100=200米，分别结合路程差公式列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1) 设两人第一次相遇所用的时间为x秒，
根据爷爷比小红多跑的路程等于路程差，列方程：
$3x - x = 300 - 100$
解得$x=100$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$a＞3$时，小红速度更快，小红比爷爷多跑100米时相遇，列方程：
$80a - 80×3 = 100$
解得$a=4.25$。
② 当$a＜3$时，爷爷速度更快，爷爷比小红多跑200米时相遇，列方程：
$80×3 - 80a = 300 - 100$
解得$a=0.5$。
【答案】
(1) 100秒；(2) 0.5或4.25
【知识点】
一元一次方程应用，环形追及问题，分类讨论思想
【点评】
本题是环形追及的典型题型，核心是根据运动双方的速度大小关系找准对应的追及路程差，解题时需注意分类讨论，避免漏解，可有效锻炼方程建模能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
本题是环形跑道追及问题，解题思路如下：
（1）当a=1时，小红速度小于爷爷速度，此时为爷爷追小红，两人初始路程差为跑道周长减去100米，利用“速度差×追及时间=路程差”的等量关系列一元一次方程即可求解。
（2）未明确小红和爷爷的速度大小，需分两类讨论：①小红速度大于爷爷速度时，为小红追爷爷，路程差为初始的100米；②小红速度小于爷爷速度时，为爷爷追小红，路程差为300-100=200米，分别结合路程差公式列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1) 设两人第一次相遇所用的时间为x秒，
根据爷爷比小红多跑的路程等于路程差，列方程：
$3x - x = 300 - 100$
解得$x=100$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$a＞3$时，小红速度更快，小红比爷爷多跑100米时相遇，列方程：
$80a - 80×3 = 100$
解得$a=4.25$。
② 当$a＜3$时，爷爷速度更快，爷爷比小红多跑200米时相遇，列方程：
$80×3 - 80a = 300 - 100$
解得$a=0.5$。
【答案】
(1) 100秒；(2) 0.5或4.25
【知识点】
一元一次方程应用，环形追及问题，分类讨论思想
【点评】
本题是环形追及的典型题型，核心是根据运动双方的速度大小关系找准对应的追及路程差，解题时需注意分类讨论，避免漏解，可有效锻炼方程建模能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
13.金鸡湖环湖步道风景如画,漫步其中可以领略到湖光山色与都市繁华的交相映衬,感受到现代与自然的交融之美.甲从小木屋驿站出发,逆时针环湖步行,甲出发 0.6 h 后,乙从小木屋驿站出发沿相同路线环湖跑步,两人同时到达望湖角驿站.已知小木屋驿站与望湖角驿站之间的路程为 5.6 km,甲的平均速度是 4 km/h.
(1)求乙的平均速度；
(2)当甲、乙两人的路程相差 1.2 km 时,求甲步行的时间.
(1)求乙的平均速度；
(2)当甲、乙两人的路程相差 1.2 km 时,求甲步行的时间.
答案
13.解:(1)根据题意,得$5.6÷(5.6÷4-0.6)=7(\mathrm{km/h})$.
答:乙的平均速度是7 km/h.
(2)设甲步行的时间为x h,根据题意,得$4x=1.2$或$4x-7(x-0.6)=1.2$,
解得$x=0.3$或$x=1$.
答:甲步行的时间为0.3 h或1 h.
答:乙的平均速度是7 km/h.
(2)设甲步行的时间为x h,根据题意,得$4x=1.2$或$4x-7(x-0.6)=1.2$,
解得$x=0.3$或$x=1$.
答:甲步行的时间为0.3 h或1 h.
解析
【分析】
(1) 第一问先根据“时间=路程÷速度”算出甲走完全程的时间，乙比甲晚出发0.6h且同时到达，因此乙的用时等于甲的用时减去0.6h，再根据“速度=路程÷时间”即可求出乙的平均速度。
(2) 第二问需分两种情况讨论：①乙还未出发时，两人路程差就是甲行走的路程，直接列等式求解；②乙已经出发但还没追上甲时，甲走的路程减去乙走的路程等于1.2km，其中乙的运动时间为甲的时间减去0.6h，列一元一次方程求解即可，最后要验证解是否符合实际情况。
【解析】
(1) 甲走完全程的时间：$t_甲=\frac{5.6}{4}=1.4\ \mathrm{h}$
乙走完全程的时间：$t_乙=1.4-0.6=0.8\ \mathrm{h}$
乙的平均速度：$v_乙=\frac{5.6}{0.8}=7\ \mathrm{km/h}$
(2) 设甲步行的时间为$x\ \mathrm{h}$，分两种情况讨论：
① 当$0＜x≤0.6$时，乙还未出发，两人路程差为甲走的路程：
$4x=1.2$
解得$x=0.3$，符合取值范围。
② 当$0.6＜x＜1.4$时，乙已经出发，甲的路程为$4x\ \mathrm{km}$，乙的运动时间为$(x-0.6)\ \mathrm{h}$，乙的路程为$7(x-0.6)\ \mathrm{km}$，由路程差为1.2km得：
$4x-7(x-0.6)=1.2$
去括号得：$4x-7x+4.2=1.2$
移项合并同类项得：$-3x=-3$
解得$x=1$，符合取值范围。
【答案】
(1) 乙的平均速度是7 km/h；
(2) 甲步行的时间为0.3 h或1 h。
【知识点】
行程问题公式，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活场景考查行程问题，第一问难度较低，直接利用路程、速度、时间的基本关系即可求解；第二问需要分阶段讨论路程差的所有可能情况，易错点是遗漏乙未出发时的路程差情况，解题时需结合实际场景验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问先根据“时间=路程÷速度”算出甲走完全程的时间，乙比甲晚出发0.6h且同时到达，因此乙的用时等于甲的用时减去0.6h，再根据“速度=路程÷时间”即可求出乙的平均速度。
(2) 第二问需分两种情况讨论：①乙还未出发时，两人路程差就是甲行走的路程，直接列等式求解；②乙已经出发但还没追上甲时，甲走的路程减去乙走的路程等于1.2km，其中乙的运动时间为甲的时间减去0.6h，列一元一次方程求解即可，最后要验证解是否符合实际情况。
【解析】
(1) 甲走完全程的时间：$t_甲=\frac{5.6}{4}=1.4\ \mathrm{h}$
乙走完全程的时间：$t_乙=1.4-0.6=0.8\ \mathrm{h}$
乙的平均速度：$v_乙=\frac{5.6}{0.8}=7\ \mathrm{km/h}$
(2) 设甲步行的时间为$x\ \mathrm{h}$，分两种情况讨论：
① 当$0＜x≤0.6$时，乙还未出发，两人路程差为甲走的路程：
$4x=1.2$
解得$x=0.3$，符合取值范围。
② 当$0.6＜x＜1.4$时，乙已经出发，甲的路程为$4x\ \mathrm{km}$，乙的运动时间为$(x-0.6)\ \mathrm{h}$，乙的路程为$7(x-0.6)\ \mathrm{km}$，由路程差为1.2km得：
$4x-7(x-0.6)=1.2$
去括号得：$4x-7x+4.2=1.2$
移项合并同类项得：$-3x=-3$
解得$x=1$，符合取值范围。
【答案】
(1) 乙的平均速度是7 km/h；
(2) 甲步行的时间为0.3 h或1 h。
【知识点】
行程问题公式，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活场景考查行程问题，第一问难度较低，直接利用路程、速度、时间的基本关系即可求解；第二问需要分阶段讨论路程差的所有可能情况，易错点是遗漏乙未出发时的路程差情况，解题时需结合实际场景验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
