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1.小明和小刚从相距25千米的两地同时相向而行,3小时后两人相遇,小明的速度是4千米/时,设小刚的速度为$ x $千米/时,列方程得 （
A.$ 4 + 3x = 25 $
B.$ 12 + x = 25 $
C.$ 3(4 + x) = 25 $
D.$ 3(4 - x) = 25 $
C
）A.$ 4 + 3x = 25 $
B.$ 12 + x = 25 $
C.$ 3(4 + x) = 25 $
D.$ 3(4 - x) = 25 $
答案
1.C
解析
【分析】
这是行程中的相遇问题，解题核心是先找准等量关系：相向而行的两人相遇时，走过的路程之和等于两地的初始距离。我们可以先分别表示出两人3小时走的路程，相加等于总路程25千米；也可以直接用“速度和×相遇时间=总路程”的公式列方程，再对应选项判断即可。
【解析】
已知小明速度为4千米/时，小刚速度为x千米/时，两人的速度和为(4+x)千米/时，相遇时间是3小时，两地总距离25千米。
根据相遇问题的公式：速度和×相遇时间 = 总路程，代入数值可得：
$3(4 + x) = 25$，对应选项C。
也可分步推导：小明3小时走的路程为$4×3=12$千米，小刚3小时走的路程为$3x$千米，两人路程和为总路程，即$12+3x=25$，提取公因式后同样得到$3(4+x)=25$。
【答案】
C
【知识点】
相遇问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是行程类基础题，主要考查相遇问题的等量关系应用，只要理解相向而行相遇时两人路程和等于总距离，就能快速列出对应方程。
【难度系数】
0.85
这是行程中的相遇问题，解题核心是先找准等量关系：相向而行的两人相遇时，走过的路程之和等于两地的初始距离。我们可以先分别表示出两人3小时走的路程，相加等于总路程25千米；也可以直接用“速度和×相遇时间=总路程”的公式列方程，再对应选项判断即可。
【解析】
已知小明速度为4千米/时，小刚速度为x千米/时，两人的速度和为(4+x)千米/时，相遇时间是3小时，两地总距离25千米。
根据相遇问题的公式：速度和×相遇时间 = 总路程，代入数值可得：
$3(4 + x) = 25$，对应选项C。
也可分步推导：小明3小时走的路程为$4×3=12$千米，小刚3小时走的路程为$3x$千米，两人路程和为总路程，即$12+3x=25$，提取公因式后同样得到$3(4+x)=25$。
【答案】
C
【知识点】
相遇问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是行程类基础题，主要考查相遇问题的等量关系应用，只要理解相向而行相遇时两人路程和等于总距离，就能快速列出对应方程。
【难度系数】
0.85
2.(2025·天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马$ x $天可以追上慢马，则可以列出的方程为（
A.$ 240x=150(x+12) $
B.$ 240x=150(x-12) $
C.$ 150x=240(x+12) $
D.$ 150x=240(x-12) $
A
）A.$ 240x=150(x+12) $
B.$ 240x=150(x-12) $
C.$ 150x=240(x+12) $
D.$ 150x=240(x-12) $
答案
2.A
解析
【分析】
这是行程中的追及问题，解题核心是找到等量关系：快马追上慢马时，两匹马行走的总路程相等。首先确定两匹马各自的行驶时间和速度：快马走了x天，速度为每天240里，可表示出快马的总路程；慢马比快马先走12天，所以慢马一共走了$(x+12)$天，速度为每天150里，可表示出慢马的总路程，根据两者路程相等即可列出方程，再对应选项判断即可。
【解析】
解：当快马追上慢马时，两匹马行走的总路程相等。
快马x天行走的路程为：$240x$ 里；
慢马先走12天，总共行走的时间为$(x+12)$天，慢马行走的总路程为：$150(x+12)$ 里；
根据路程相等可列方程：$240x=150(x+12)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
追及问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题以我国古代数学著作中的问题为背景，考查一元一次方程在行程追及问题中的应用，解题的关键是找准追及时两物体路程相等的等量关系，注意先行的物体总行驶时间更长这一易错点。
【难度系数】
0.8
这是行程中的追及问题，解题核心是找到等量关系：快马追上慢马时，两匹马行走的总路程相等。首先确定两匹马各自的行驶时间和速度：快马走了x天，速度为每天240里，可表示出快马的总路程；慢马比快马先走12天，所以慢马一共走了$(x+12)$天，速度为每天150里，可表示出慢马的总路程，根据两者路程相等即可列出方程，再对应选项判断即可。
【解析】
解：当快马追上慢马时，两匹马行走的总路程相等。
快马x天行走的路程为：$240x$ 里；
慢马先走12天，总共行走的时间为$(x+12)$天，慢马行走的总路程为：$150(x+12)$ 里；
根据路程相等可列方程：$240x=150(x+12)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
追及问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题以我国古代数学著作中的问题为背景，考查一元一次方程在行程追及问题中的应用，解题的关键是找准追及时两物体路程相等的等量关系，注意先行的物体总行驶时间更长这一易错点。
【难度系数】
0.8
3.小明和爷爷去操场上散步.小明走一圈需要8分钟,爷爷走一圈需要10分钟.如果两人同时从同一个地方出发,同向而行,那么他们第一次相遇时都走了________分钟.
答案
3.40
解析
【分析】
这是一道行程类的追及应用题，解题思路如下：首先明确同向而行首次相遇的核心特征：走得快的小明比爷爷多走了整整1圈操场的路程；由于题目没有给出操场一圈的具体长度，我们可以把1圈的路程设为单位“1”，就能分别表示出两人的速度：小明每分钟走$\frac{1}{8}$圈，爷爷每分钟走$\frac{1}{10}$圈；接着设相遇时行走的时间为x分钟，根据“小明走的路程 - 爷爷走的路程 = 1圈”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设两人第一次相遇时都走了x分钟，将操场一圈的路程看作单位“1”。
由题意得，小明的速度为$\frac{1}{8}$圈/分钟，爷爷的速度为$\frac{1}{10}$圈/分钟。
同向而行首次相遇时，小明比爷爷多走1圈，列方程得：
$\frac{1}{8}x - \frac{1}{10}x = 1$
通分化简得：
$\frac{1}{40}x = 1$
解得：
$x = 40$
【答案】
40
【知识点】
一元一次方程应用、行程追及问题、单位“1”运用
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是抓住同向出发首次相遇时快者比慢者多走1个全程的等量关系，通过设单位“1”简化速度的表示，再列方程求解即可，考察对行程追及模型的理解和方程应用能力。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的追及应用题，解题思路如下：首先明确同向而行首次相遇的核心特征：走得快的小明比爷爷多走了整整1圈操场的路程；由于题目没有给出操场一圈的具体长度，我们可以把1圈的路程设为单位“1”，就能分别表示出两人的速度：小明每分钟走$\frac{1}{8}$圈，爷爷每分钟走$\frac{1}{10}$圈；接着设相遇时行走的时间为x分钟，根据“小明走的路程 - 爷爷走的路程 = 1圈”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设两人第一次相遇时都走了x分钟，将操场一圈的路程看作单位“1”。
由题意得，小明的速度为$\frac{1}{8}$圈/分钟，爷爷的速度为$\frac{1}{10}$圈/分钟。
同向而行首次相遇时，小明比爷爷多走1圈，列方程得：
$\frac{1}{8}x - \frac{1}{10}x = 1$
通分化简得：
$\frac{1}{40}x = 1$
解得：
$x = 40$
【答案】
40
【知识点】
一元一次方程应用、行程追及问题、单位“1”运用
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是抓住同向出发首次相遇时快者比慢者多走1个全程的等量关系，通过设单位“1”简化速度的表示，再列方程求解即可，考察对行程追及模型的理解和方程应用能力。
【难度系数】
0.8
4.甲、乙两人在400 m的环形跑道上跑步，已知甲每秒跑6 m，乙每秒跑4 m.
(1)当两人同时同地背向而行时，经过
(2)当两人同时同地同向而行时，经过
(1)当两人同时同地背向而行时，经过
40
s两人首次相遇；(2)当两人同时同地同向而行时，经过
200
s两人首次相遇.答案
4.(1)40 (2)200
解析
【分析】
这是环形跑道场景下的行程问题，需分两种情况找等量关系列一元一次方程求解：
（1）背向而行时，两人首次相遇时走过的路程之和恰好等于环形跑道一圈的长度400m，我们可设相遇时间为未知数，根据“路程=速度×时间”分别表示甲、乙的路程，利用路程和为400m列方程求解。
（2）同向而行时，甲的速度比乙快，首次相遇时甲比乙多跑了整整一圈400m，同样设时间为未知数，利用甲、乙的路程差为400m列方程求解。
【解析】
（1）设经过$ x \, \mathrm{s} $两人首次相遇。
背向而行时两人路程和为400m，列方程：
$ 6x + 4x = 400 $
合并同类项得：$ 10x = 400 $
解得：$ x = 40 $
（2）设经过$ y \, \mathrm{s} $两人首次相遇。
同向而行时甲比乙多跑400m，列方程：
$ 6y - 4y = 400 $
合并同类项得：$ 2y = 400 $
解得：$ y = 200 $
【答案】
（1）40；（2）200
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 相遇问题
3. 追及问题
【点评】
本题是环形行程问题的典型考题，解题核心是准确区分背向、同向两种运动模式对应的路程等量关系，熟练掌握列一元一次方程解实际问题的步骤即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
这是环形跑道场景下的行程问题，需分两种情况找等量关系列一元一次方程求解：
（1）背向而行时，两人首次相遇时走过的路程之和恰好等于环形跑道一圈的长度400m，我们可设相遇时间为未知数，根据“路程=速度×时间”分别表示甲、乙的路程，利用路程和为400m列方程求解。
（2）同向而行时，甲的速度比乙快，首次相遇时甲比乙多跑了整整一圈400m，同样设时间为未知数，利用甲、乙的路程差为400m列方程求解。
【解析】
（1）设经过$ x \, \mathrm{s} $两人首次相遇。
背向而行时两人路程和为400m，列方程：
$ 6x + 4x = 400 $
合并同类项得：$ 10x = 400 $
解得：$ x = 40 $
（2）设经过$ y \, \mathrm{s} $两人首次相遇。
同向而行时甲比乙多跑400m，列方程：
$ 6y - 4y = 400 $
合并同类项得：$ 2y = 400 $
解得：$ y = 200 $
【答案】
（1）40；（2）200
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 相遇问题
3. 追及问题
【点评】
本题是环形行程问题的典型考题，解题核心是准确区分背向、同向两种运动模式对应的路程等量关系，熟练掌握列一元一次方程解实际问题的步骤即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
5.小韦同学周末坐爸爸的车去百色起义纪念馆,从家里行驶7千米后,进入高速公路,在高速公路上保持匀速行驶,小韦记录的在高速公路上行驶的时间(t)和路程(s)数据如表,按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道,再行驶5千米到达纪念馆,求小韦家到纪念馆的路程.
答案
5.解:设小韦家到纪念馆的路程是x千米,根据题意,得
$\frac{x-7-5}{20÷0.2}=2$,解得$x=212$.
答:小韦家到纪念馆的路程是212千米.
$\frac{x-7-5}{20÷0.2}=2$,解得$x=212$.
答:小韦家到纪念馆的路程是212千米.
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住高速公路匀速行驶时速度不变的特点。首先我们可以从表格给出的时间和路程数据，计算出汽车在高速上的行驶速度；再找等量关系：高速公路上行驶的路程÷行驶速度=高速行驶的时间，其中高速行驶的路程是总路程减去家到高速口的7千米、高速出口到纪念馆的5千米，高速行驶时间为2小时，根据这个等量关系列方程即可求解。
【解析】
解：设小韦家到纪念馆的路程是x千米。
首先根据表格数据计算高速行驶速度：0.2小时行驶20千米，可得速度为$20÷0.2=100$千米/时。
高速路段的路程为总路程减去前后两段非高速路程，即$(x-7-5)$千米，高速行驶时间为2小时，根据“时间=路程÷速度”列方程：
$\frac{x-7-5}{20÷0.2}=2$
解方程：
$x-12=2×100$
$x=200+12$
$x=212$
【答案】
小韦家到纪念馆的路程是212千米。
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；路程速度时间关系
【点评】
本题结合出行场景命题，解题关键是准确区分高速路段和非高速路段的路程、时间，抓住匀速行驶时速度不变的特点找到等量关系，计算时要注意不要遗漏前后两段非高速的路程。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住高速公路匀速行驶时速度不变的特点。首先我们可以从表格给出的时间和路程数据，计算出汽车在高速上的行驶速度；再找等量关系：高速公路上行驶的路程÷行驶速度=高速行驶的时间，其中高速行驶的路程是总路程减去家到高速口的7千米、高速出口到纪念馆的5千米，高速行驶时间为2小时，根据这个等量关系列方程即可求解。
【解析】
解：设小韦家到纪念馆的路程是x千米。
首先根据表格数据计算高速行驶速度：0.2小时行驶20千米，可得速度为$20÷0.2=100$千米/时。
高速路段的路程为总路程减去前后两段非高速路程，即$(x-7-5)$千米，高速行驶时间为2小时，根据“时间=路程÷速度”列方程：
$\frac{x-7-5}{20÷0.2}=2$
解方程：
$x-12=2×100$
$x=200+12$
$x=212$
【答案】
小韦家到纪念馆的路程是212千米。
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；路程速度时间关系
【点评】
本题结合出行场景命题，解题关键是准确区分高速路段和非高速路段的路程、时间，抓住匀速行驶时速度不变的特点找到等量关系，计算时要注意不要遗漏前后两段非高速的路程。
【难度系数】
0.7
6.一艘轮船在A,B两港口之间匀速行驶,顺水航行需要6 h,逆水航行需要8 h,水流速度为5 km/h,则A,B两港口之间的路程是（
A.200 km
B.240 km
C.300 km
D.320 km
B
）A.200 km
B.240 km
C.300 km
D.320 km
答案
6.B
解析
【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题时首先明确流水行船的速度关系：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。本题可通过“轮船静水速度不变”作为等量关系列一元一次方程求解：先设A、B两港口的路程为未知数，分别表示出顺水速度和逆水速度，再结合水流速度表示出静水速度，根据静水速度相等列方程，最后解方程得到路程即可。
【解析】
设A、B两港口之间的路程为$ x $ km。
根据“速度=路程÷时间”可得：
顺水航行速度为$ \frac{x}{6} $ km/h，逆水航行速度为$ \frac{x}{8} $ km/h。
由“静水速度=顺水速度-水流速度=逆水速度+水流速度”列方程：
$ \frac{x}{6} - 5 = \frac{x}{8} + 5 $
两边同时乘24（6和8的最小公倍数）消去分母：
$ 4x - 120 = 3x + 120 $
移项合并同类项得：
$ x = 240 $
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；流水行船问题
【点评】
本题属于基础的行程类应用题，解题核心是抓住流水行船中静水速度不变的特点建立等量关系，熟练掌握流水行船的速度公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是流水行船类的行程问题，解题时首先明确流水行船的速度关系：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。本题可通过“轮船静水速度不变”作为等量关系列一元一次方程求解：先设A、B两港口的路程为未知数，分别表示出顺水速度和逆水速度，再结合水流速度表示出静水速度，根据静水速度相等列方程，最后解方程得到路程即可。
【解析】
设A、B两港口之间的路程为$ x $ km。
根据“速度=路程÷时间”可得：
顺水航行速度为$ \frac{x}{6} $ km/h，逆水航行速度为$ \frac{x}{8} $ km/h。
由“静水速度=顺水速度-水流速度=逆水速度+水流速度”列方程：
$ \frac{x}{6} - 5 = \frac{x}{8} + 5 $
两边同时乘24（6和8的最小公倍数）消去分母：
$ 4x - 120 = 3x + 120 $
移项合并同类项得：
$ x = 240 $
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；流水行船问题
【点评】
本题属于基础的行程类应用题，解题核心是抓住流水行船中静水速度不变的特点建立等量关系，熟练掌握流水行船的速度公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7.一辆汽车从甲地开往乙地需要5小时,返回时每小时少行驶15千米,多用了1小时,则甲、乙两地间的距离是（
A.300千米
B.450千米
C.550千米
D.650千米
B
）A.300千米
B.450千米
C.550千米
D.650千米
答案
7.B
解析
【分析】
这是典型的行程类方程应用题，核心公式为路程=速度×时间。解题时首先找等量关系：往返的甲乙两地距离相等，且去程速度比返程速度快15千米/小时。我们可以通过设未知数，结合已知的往返时间，利用速度差的等量关系列一元一次方程求解，也可以利用路程相等的关系设速度为未知数求解。
【解析】
设甲、乙两地间的距离为$ x $千米。
1. 去程用时5小时，因此去程速度为$ \frac{x}{5} $千米/小时；
2. 返回时多用1小时，返回用时$ 5+1=6 $小时，因此返程速度为$ \frac{x}{6} $千米/小时；
3. 根据“返回时每小时少行驶15千米”可列方程：
$ \frac{x}{5} - \frac{x}{6} = 15 $
通分计算：$ 6x - 5x = 15×30 $
解得：$ x=450 $
因此甲、乙两地间的距离为450千米，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题属于基础的一元一次方程应用题型，解题核心是抓住往返路程不变的隐含条件，结合速度差的已知信息找到等量关系，正确设未知数列式求解即可，熟练掌握行程问题基本公式是解题的前提。
【难度系数】
0.7
这是典型的行程类方程应用题，核心公式为路程=速度×时间。解题时首先找等量关系：往返的甲乙两地距离相等，且去程速度比返程速度快15千米/小时。我们可以通过设未知数，结合已知的往返时间，利用速度差的等量关系列一元一次方程求解，也可以利用路程相等的关系设速度为未知数求解。
【解析】
设甲、乙两地间的距离为$ x $千米。
1. 去程用时5小时，因此去程速度为$ \frac{x}{5} $千米/小时；
2. 返回时多用1小时，返回用时$ 5+1=6 $小时，因此返程速度为$ \frac{x}{6} $千米/小时；
3. 根据“返回时每小时少行驶15千米”可列方程：
$ \frac{x}{5} - \frac{x}{6} = 15 $
通分计算：$ 6x - 5x = 15×30 $
解得：$ x=450 $
因此甲、乙两地间的距离为450千米，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题属于基础的一元一次方程应用题型，解题核心是抓住往返路程不变的隐含条件，结合速度差的已知信息找到等量关系，正确设未知数列式求解即可，熟练掌握行程问题基本公式是解题的前提。
【难度系数】
0.7
8.(2025·南京月考)甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.出发时,甲、乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米.那么A,B两地相距
450
千米.答案
8.450
解析
【分析】
解题思路可分为三步：1. 相遇前：两车同时出发到相遇，行驶时间相同，路程比等于速度比5:4，因此可以把全程分为9份，方便计算；2. 相遇后：先根据速度变化比例算出相遇后甲乙的速度比；3. 相遇后甲需要走完剩下的4份路程到达B地，根据相同时间路程比等于速度比，算出这段时间乙走的路程，再结合乙离A地还有10千米的条件，列一元一次方程求解每份的长度，最终算出总路程。
【解析】
解：由出发时甲、乙速度比为5:4，可知相遇时甲、乙行驶的路程比也为5:4，因此可将A、B两地总路程设为9x千米，则相遇时甲行驶了5x千米，乙行驶了4x千米。
相遇后，甲的速度变为原来的(1-20%)，即对应5×(1-20%)=4份；乙的速度变为原来的(1+20%)，即对应4×(1+20%)=4.8份，此时甲、乙的速度比为4:4.8=5:6。
相遇后，甲需要行驶的路程为相遇前乙走的4x千米即可到达B地，相同时间内路程比等于速度比，因此当甲走完4x千米时，乙行驶的路程为：$4x × \frac{6}{5} = 4.8x$ 千米。
此时乙距离A地还有10千米，可列方程：
$5x - 4.8x = 10$
解得：$0.2x = 10$，$x=50$
则总路程为 $9x = 9 × 50 = 450$ 千米。
【答案】
450
【知识点】
行程相遇问题，一元一次方程应用，比的应用
【点评】
本题是行程问题和比的应用的结合，解题的核心是抓住时间相同时，路程与速度成正比的关系，通过设份数简化计算，能有效考察分析问题和列方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：1. 相遇前：两车同时出发到相遇，行驶时间相同，路程比等于速度比5:4，因此可以把全程分为9份，方便计算；2. 相遇后：先根据速度变化比例算出相遇后甲乙的速度比；3. 相遇后甲需要走完剩下的4份路程到达B地，根据相同时间路程比等于速度比，算出这段时间乙走的路程，再结合乙离A地还有10千米的条件，列一元一次方程求解每份的长度，最终算出总路程。
【解析】
解：由出发时甲、乙速度比为5:4，可知相遇时甲、乙行驶的路程比也为5:4，因此可将A、B两地总路程设为9x千米，则相遇时甲行驶了5x千米，乙行驶了4x千米。
相遇后，甲的速度变为原来的(1-20%)，即对应5×(1-20%)=4份；乙的速度变为原来的(1+20%)，即对应4×(1+20%)=4.8份，此时甲、乙的速度比为4:4.8=5:6。
相遇后，甲需要行驶的路程为相遇前乙走的4x千米即可到达B地，相同时间内路程比等于速度比，因此当甲走完4x千米时，乙行驶的路程为：$4x × \frac{6}{5} = 4.8x$ 千米。
此时乙距离A地还有10千米，可列方程：
$5x - 4.8x = 10$
解得：$0.2x = 10$，$x=50$
则总路程为 $9x = 9 × 50 = 450$ 千米。
【答案】
450
【知识点】
行程相遇问题，一元一次方程应用，比的应用
【点评】
本题是行程问题和比的应用的结合，解题的核心是抓住时间相同时，路程与速度成正比的关系，通过设份数简化计算，能有效考察分析问题和列方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
